浙江省名校协作体2024-2025学年高三上学期开学适应性考试数学试题

高三年级数学学科试题 第 1页（共 4页） 2024 学年第一学期浙江省名校协作体适应性试题 高三年级数学学科 考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．数据 4， 2，5 ， 2， 6 ， 0 的上四分位数是 A．2 B．4 C．5 D．6 2．设随机变量 X 服从二项分布 4( , ) 5 B n ，若 ( 1) 0.998 4P X≥  ，则 ( )D X  A． 0.16 B． 0.32 C． 0.64 D． 0.84 3．设集合 2{ 1, , 2}A a a   ， {0,2, 2}B a  ， { }C a  ，则下列选项中一定成立的是 A． A C A B． A C   C． B C B D． A B   4．方程 3 6 9log log logx x x  的实数解有 A． 0 个 B．1个 C． 2 个 D． 3个 5．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  与斜率为 32p的直线恰有一个公共点 P，则点 P的纵坐标为 A． 1 64 B． 1 32 C． 1 16 D． 1 8 6．如图，在下列四个正方体中，P是顶点， A，B，C是棱的中点，则三棱锥 P ABC 体 积最大的是 A B C D 7．已知函数 2 , 0, ( ) , 0. x k x f x x k x ≤     若 ( ( )) 1f f x  恰有三个不同实根，则 k的取值范围是 A． 1 5[ 1, ) 2   B． 5 3[ 1, ) 2   C． 3 5( ,1] 2  D． 5 1( ,1] 2  高三年级数学学科试题 第 2页（共 4页） 8．空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为 1N ， 2 N ， 3N ，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为 60，则该物体的重力大小为 A． 2 2 N B． 2 5 N C． 5N D． 6 N 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．设双曲线 2 2: 2 3C x y  ，则 A．C的实轴长为 2 B．C的焦距为 3 2 C．C的离心率为 3 D．C的渐近线方程为 2 0x y  10．在复平面内，复数 1z ， 2z 对应的点分别是 ( , )a b ， ( , )b a ．已知 1 2z z ， 1 2 0z z  ，则 A． 1 2 2 1 z z z z  B． 1 2 1 2| | | |z z z z   C． 1 2 1 2| | | |z z z z   D． 1 2 1 2| | | |z z z z 11．已知数列 { }na 为公差为 d 的等差数列， { }nb 为公比为 q 的正项等比数列．记 1 2 n n a a a A n      ， 1 2 n n nG bb b  ， 2 1 1 ( ) n n k n k D a A n    ， 1 1 n k n k n b F n G   ，则 A．当 3 7 2 F  时， 2q  B．当 5 2D  时， 7 4D  C． 1nF ≥ D． 2 1 2 1 1 3n k kD d   三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知向量 (1,2)a ， (2 , )  b ，若 a 与 b 的夹角为锐角，则 的取值范围是 ． 13．设 π0 2 x y   ，且 1tan tan cos y x x   ，则 2 xy   ． 14．四个村庄 A， B，C，D之间建有四条道路 AB， BC，CD， DA．在某个月的 30 天 中，每逢单数日道路 AB，CD开放，BC，DA封闭维护，每逢双数日道路 BC，DA开 放， AB，CD封闭维护．一位游客起初住在村庄 A，在该月的第 (1 30)k k≤ ≤ 天，他 以 1 k 的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以 11 k  的概率留在当前村庄，并且 他在这 30 天里的选择是相互独立的．则第 30 天结束时该游客住在村庄 B 的概率 为 ． 高三年级数学学科试题 第 3页（共 4页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 已知函数 4( ) ( )f x x a b x ab    ，其中 1 1a b    ． （1）若 0a  ， 1 2 b  ，求 ( )f x 的最小值； （2）证明： ( )f x 至少有两个零点． 16．（15 分） 记 ABC△ 的内角 A， B，C的对边分别为 a，b， c，已知 cos 5 sina C a C b c   ． （1）求 tan A； （2）求 2 bc a 的取值范围． 17．（15 分） 已知是棱长为 2 的正四面体 ABCD，设的四个顶点到平面 的距离所构成的集合 为M ，若M 中元素的个数为 k，则称 为的 k阶等距平面，M 为的 k阶等距集． （1）若 为的1阶等距平面且1阶等距集为{ }a ，求 a的所有可能值以及相应的 的 个数； （2）已知  为的 4阶等距平面，且点 A与点 B，C，D分别位于  的两侧．若的 4阶等距集为{ ,2 ,3 ,4 }b b b b ，其中点 A到  的距离为 b，求平面 BCD与  夹角的余弦值． 高三年级数学学科试题 第 4页（共 4页） 18．（17 分） 设数列{ }na 的前 n项和为 nS ，已知 2 2a  ， (1 ) 2 n n n a S   ．令 1 1 na n nb a  ． （1）求{ }na 的通项公式； （2）当 n N 时， n kb b≤ ，求正整数 k； （3）数列{ }nb 中是否存在相等的两项？若存在，求所有的正实数 x，使得{ }nb 中至少 有两项等于 x；若不存在，请说明理由． 19．（17 分） 在直角坐标系 xOy 中，过椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yE a b a b     的右焦点的直线与 E截得的线段 长的取值范围是 [3,4]． （1）求 E的方程； （2）已知曲线 : 1( , , 0)m mC x y x y m   的切线 l被坐标轴所截的线段长为定值． （i）求 l与C截得的线段长； （ii）求 l与 E截得的线段长的取值范围． 命题：金华一中 审核：金华一中 说明：2024 学年第一学期浙江省名校协作体联考将于 2024 年 9 月进行，本 卷仅供训练使用。 1 2024 学年第一学期浙江省名校协作体适应性试题 高三年级数学学科参考答案 首命题：金华一中 次命题兼审校：××中学 审核：××中学 说明：2024 学年第一学期浙江省名校协作体联考将于 2024 年 9 月进行，本卷仅供训练使用。 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1-4 CCBC 5-8 BADC 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．BD 10．ACD 11．BCD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。把答案填在答题卡中的横线上。 12． 4 4( 2, ) ( , ) 3 3   13． π 4 14． 15 58 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：（1）由�' � = 4�3 − 1 2 知� � 在 −∞, 1 2 递减，在 1 2 , ∞ 递增． …………4分 因此� � 最小值为� 1 2 =− 3 16 ． …………6分 （2）�, �不全为 0，不妨� ≠ 0，注意到� � = �2 �2 − 1 < 0, � −1 = 1 + � 1 + � > 0, � 1 = 1 − � 1 − � > 0，因此由零点存在定理，� � 在 −∞, � , �, + ∞ 各至少有一个零 点． …………13分 16．（15分） 解：（1）因为�cos� + 5�sin� − � − � = 0，所以由正弦定理知 sin�cos� + 5sin�sin� = sin� + sin�，而 sin� = sin � + � = sin�cos� + sin�cos�，故 sin�cos� + 5sin�sin� = sin�cos� + sin�cos� + sin�，从而 5sin�cos� = cos�sin� + sin�．由于�是三角形内角，故 sin� ≠ 0，从而 5sin� = cos� + 1，故 5sin� − cos� 2 = sin2� + cos2�，亦即 5sin2� = 2 5sin�cos�，显然 sin� ≠ 0，故 tan� = 5 2 ． …………6分 （2）由（1）可得 sin� = 5 3 ，从而 �� �2 = sin�sin� sin� = 9 10 cos � − � − cos � + � = 9 10 cos � − � + cos� = 3 5 + 9 10 cos � − � ． …………11分 2 不妨设� ≥ �，则 0 ≤ � − � < � − �，故 cos � − � ∈ (cos � − � , 1]，而 cos � − � =− cos� =− 2 3 ，代入上式得 �� �2 ∈ 0, 3 2 ． …………15分 17．（15分） （1）①情形一：分别取��, ��, ��的中点�, �, �， 由中位线性质可知�� = �� = 2 2 ， 此时平面���为�的一个 1阶等距平面， �为正四面体高的一半，等于1 2 × 6 3 × 2 = 3 3 ． 由于正四面体有 4个面，这样的 1阶等距平面�平行于其中一个面，有 4种情况； …4分 ②情形二：分别取��, ��, ��, ��的中点�, �, �, � 将此正四面体放置到棱长为 1的正方体中， 则�为正方体棱长的一半，等于1 2 ． 由于正四面体的六条棱中有 3组对棱互为异面直线， 这样的 1阶等距平面�平行于其中一组异面直线，有 3种情况． 综上，当�的值为 3 3 时，�有 4个；当�的值为1 2 时，�有 3个． …………8分 （2）在线段��, ��, ��上分别取一点�, �, �， 使得��: �� = 1: 2, ��: �� = 1: 3, ��: �� = 1: 4，则平面�即为平面 DEF． …………11分 建系易得所求角的余弦值为 42 7 ． …………15分 18．（17分） 解：（1）�1 = 1+�1 2 = �1，即�1 = 1．当� ≥ 2 时，�� = �� − ��−1 = � 1+�� 2 − �−1 1+��−1 2 ， 即 � − 2 �� − � − 1 ��−1 + 1 = 0. 将�换成� + 1，有 � − 1 ��+1 − ��� + 1 = 0. 上述两式相减得 � − 1 ��+1 − 2 � − 1 �� + � − 1 ��−1 = 0，即��+1 = 2�� − ��−1, � ≥ 2， 故 �� 为等差数列．由�1 = 1, �2 = 2，知�� = �． …………5分 （2）由�� = � 1 �+1，易得�1 < �2 < �3 < �4．当� ≥ 4时，由 1 + 1 � � = 1 + �=1 � C�� ⋅ 1 �� = 1 + �=1 � 1 �! � �−1 ⋯ �−�+1 �� ≤ 1 + �=1 � 1 �! < 1 + �=1 � 1 2�−1 < 3 可 得 �+1 � �+1 = 1 + 1 � � 1 + 1 � < 3 1 + 1 � = 3 + 3 � < �，即 � + 1 �+1 < ��+2，亦即� 1 �+1 < � + 1 1 �+2．从而可得�� < ��+1 � ≥ 4 ，故 �� 的最大项是第 4项�4．证毕． …………11分 （3）由（2）知，1 = �1 < �2 < �3 < �4, �4 > �5 > �6 > ⋯．又对� ≥ 2, �� = � 3 �+1 > �1，故 若 �� 中有两项相等，只可能是�2 = ��或�3 = ��, �, � ≥ 5 ，且这样的�, �若存在，则必唯 一．易得�2 = 2 1 3 = 8 1 5 = �8, �3 = 3 1 4 > �5 = 5 1 6，又�3 < �4，则仅有�2 = �8 = 3 2两项相等．故 � = 3 2． …………17分 3 19．（17分） 解：（1）设�1的焦距为 2�，设�与�1交于� �1, �1 , � �2, �2 ． ①当�与�轴重合时，显然 �� = 2�； ②当�不与�轴重合时，设�: � = �� + �， 则将�与�1联立 � = �� + � �2 �2 + � 2 �2 = 1，整理得 � 2�2 + �2 �2 + 2�2��� − �4 = 0，则 �1 + �2 =− 2�2�� �2�2+�2 �1�2 =− �4 �2�2+�2 ， 所以 �� = 1 + �2 �1 − �2 = 1 + �2 �1 + �2 2 − 4�1�2 = 2�� �2+1 �2+� 2 �2 = 2�� 1 − �2 �2 �2+� 2 �2 ， 则有 �� ∈ 2� 2 � , 2� ，因此有2� 2 � = 3,2� = 4，解得� = 2, � = 3， 所以椭圆�1: �2 4 + � 2 3 = 1． …………5分 （2）（i）设� �0, �0 为�1上任意一点， 由条件，� ≠ 0，则有� = 1 − �� 1 �, �′ = −� �−1 1−�� �−1 � =− � �−1 ��−1 ，则� − �0 =− �0 �0 � − �0 ． 设直线交�, �轴分别于�, �，代入� = 0， 解得� = �0 � �0 �−1 + �0 = 1 �0 �−1，即�的横坐标． 则有 �� = 1 + �′ 2 � − 0 = �02−2� + �02−2�为定值， 则只能有�02−2� + �02−2� = �0� + �0� = 1,2 − 2� = �，解得� = 2 3 ， 否则，�02−2� + �02−2�, �0� + �0�，均为定值，则其解有限，矛盾． 此时有 �� = 1． …………10分 （ii）设切线与椭圆交于� �3, �3 , � �4, �4 ， 此时令� = 3 �0 �0 > 0，则切线� − �0 =− � � − �0 ． 将切线与�1联立，得 � − �0 =− � � − �0 �2 4 + � 2 3 = 1 ，则有 �3 + �4 = 8� �0+��0 3+4�2 �3�4 = 4 �0+��0 2−3 3+4�2 ， 因此 �� = 1 + �2 �3 − �4 = 1 + �2 �3 + �4 2 − 4�3�4 = = 4 3 1 + �2 3 + 4�2 3 + 4�2 − �0 + ��0 2 = 4 3 1 + �2 3 + 4�2 3 + 4�2 − �0 + ��0 2 �02 + �02 3 = 4 3 1 + �2 3 + 4�2 3 + 4�2 − �3 + � 2 �2 + 1 = 4 3 3 + 4�2 3 + 4�2 �2 + 1 − �2 = 4 3 4�4 + 6�2 + 3 3 + 4�2 = 4 3 4�4 + 6�2 + 3 16�4 + 24�2 + 9 = 2 3 1 + 3 16�4 + 24�2 + 9 ∈ 2 3, 4 …………17分