精品解析：江苏省平潮高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

2023-2024学年高一数学下学期第二次月考 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　) A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 平行 2. 已知，，则（ ） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 3. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知分别是内角所对的边，是方程的两个根，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，E为线段CD中点，AC与BE交于点F，设，则=（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若∥，则的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知，，，则的值为（ ） A. 或0 B. 0 C. D. 8. 在中，为线段上的动点，且，则的值为（   ） A. 12 B. 8 C. 4 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若直线a不在平面内，则a∥ B. 若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥ C. 若l∥，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点 D. 平行于同一平面的两直线可以相交 10. 已知，则（ ） A. ，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则的最大值为 11. 如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12. 如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为______. 13. 设向量，满足，，与的夹角为，则______． 14. 设向量，且，则________；＝________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点. （1）若底面是平行四边形，求证：平面； （2）若底面是菱形，证明：. 16. 已知向量． （1）求函数的最小正周期； （2）已知均为锐角，，求的值． 17. 在中，，，，且，与交于点，设，． （1）用向量，表示，； （2）求的值． 18. 如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且. （1）若，求EF的值； （2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值. 19. 如图，四边形是边长为2的正方形，平面，且为的中点． （1）求证：； （2）设平面平面与直线所成的角为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年高一数学下学期第二次月考 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　) A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 平行 【答案】C 【解析】 【详解】如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C. 2. 已知，，则（ ） A. －3 B. －2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先将表示为，展开后将坐标代入即可得出结果. 【详解】解：因为，， 所以 . 故选：C 3. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，解三角形可求得结果. 【详解】连接如下图所示， 分别是棱和棱的中点， ， 正方体中可知， 是异面直线所成的角， 为等边三角形， . 故选：C. 【点睛】此题是个基础题，考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想. 4. 已知分别是内角所对的边，是方程的两个根，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理去求的值. 【详解】是方程的两个根，则有， 则 故选：B 5. 在平行四边形ABCD中，E为线段CD中点，AC与BE交于点F，设，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，与交于点，所以，所以， 所以， 又因为， 所以. 故选：C 6. 已知向量，若∥，则的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，且∥，由平面向量共线的坐标表示结合商数关系求解. 【详解】因为，且∥， 所以， 即， 所以. 故选：D 【点睛】本题主要考查平面向量共线的坐标表示以及同角三角函数基本关系式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7. 已知，，，则的值为（ ） A. 或0 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式，结合同角三角函数的关系与求解即可. 【详解】∵，∴， ∵，， ∴，. 则或0. ∵，∴. 故选：D 8. 在中，为线段上的动点，且，则的值为（   ） A. 12 B. 8 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用数量积结合正弦定理求得，再求得，可得到. 【详解】设， 因为，则，① 又因为，且， 则，由正弦定理可得，② 且，即，③ 由①，②，③解得， 由余弦定理可得， 因为， 因为点三点共线，则，即. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 下列命题中的真命题是（ ） A. 若直线a不在平面内，则a∥ B. 若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥ C. 若l∥，则直线l与平面内任何一条直线都没有公共点 D. 平行于同一平面的两直线可以相交 【答案】CD 【解析】 【分析】根据线面平行的性质可判断AB错误，C正确，在长方体中，存在与相交，且都与平面平行，可得D正确. 【详解】对于A，直线a不在平面内，直线a也可能与平面相交，故A是假命题； 对于B，直线l与平面相交时，l上也有无数个点不在平面内，故B是假命题； 对于C，l∥时，l与没有公共点，所以l与内任何一条直线都没有公共点，故C是真命题； 对于D，在长方体中，与都与平面平行，且与相交，故D是真命题. 故选：CD 10. 已知，则（ ） A. ，使得 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据方程无解，可判定A错误；根据题意求得，结合两角差的正弦公式，可判定B正确；结合两角和的正弦公式，求得，利用余弦的倍角公式，可判定C错误；化简，结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A中，若，可得 因为，可得，解得， 又因为时，，所以方程无解，所以A错误； 对于B中，因为，可得，所以， 又因为，所以， 则，所以B正确； 对于C中，由， 则，所以C错误； 对于D中，因为，可得，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，所以D正确. 故选：BD. 11. 如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知可得，进而可得，判断A；设，利用，，共线可求，进而可判断B；根据，利用三角形面积比可判断D；根据向量的线性运算可判断C． 【详解】对于A：根据， 故，故A正确； 对于B：设，则 ，又， ，，三点共线，， 且，，故，故B错误； 对于D：由于，故， ，故D正确； 对于C， ， ， ，故C正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的线性运算与基底法，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12. 如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据图形推出截面周长最小值的情形，确定展开图的有关的角，利用勾股定理求出距离即可. 【详解】如图， 沿着侧棱把正三棱锥展开在同一个平面内，原来的点被分到两处， 则线段的长度即为周长的最小值. 在中，，， 故，所以. 故答案为：. 13. 设向量，满足，，与的夹角为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出，从而求出. 【详解】， 故. 故答案为： 14. 设向量，且，则________；＝________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用向量坐标运算得到方程组，利用和角的三角公式展开化简后即可求出的值，再运用二倍角公式与和角公式化简所求式，最后化弦为切即得. 【详解】由题意，， 化简得， 由； 则 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点. （1）若底面是平行四边形，求证：平面； （2）若底面是菱形，证明：. 【答案】（1） 如图，连结交于点，连接. 因是平行四边形，则为的中点，又因为的中点，故. 又因为面，面，所以平面； （2） 因是菱形，则， 又平面，平面，则， 因平面，则平面， 又平面，故. 【解析】 【分析】（1）连结交于点，连接，证明，由线线平行证线面平行即得； （2）先证，再证，得平面，即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 已知向量． （1）求函数的最小正周期； （2）已知均为锐角，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦的二倍角公式和两角差的余弦公式以及辅助角公式化简解析式,由周期公式可得答案; （2）利用同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由知 函数的最小正周期为； 【小问2详解】 ∴ 因为，所以 因为，所以 因为，所以 所以 所以 17. 在中，，，，且，与交于点，设，． （1）用向量，表示，； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算来表示即可； （2）求出和，然后利用夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为，即，且， 则， ， ； 【小问2详解】 由（1）得 ， ， 则， 所以 18. 如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且. （1）若，求EF的值； （2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果； （2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 由题意可得， 设，则， 在中，由余弦定理， 则，即， 由正弦定理，可得， 即，可得， 在中，， ， 由正弦定理，可得， 故. 故EF的值. 【小问2详解】 设，则， 由正弦定理，可得， 在中，由正弦定理，可得， 故的面积 ， ∵，∴，∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最小值. 19. 如图，四边形是边长为2的正方形，平面，且为的中点． （1）求证：； （2）设平面平面与直线所成的角为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过作交于，连接，然后利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形为平行四边形，则，由已知线面垂直可得，从而可证得结论； （2）延长和交于点，连接和，则可得与重合，证得，从而可得为与直线所成的角，进而可求得结果. 【小问1详解】 过作交于，连接 ， 为的中点，为的中点， ，且， ∴四边形为平行四边形， 平面，面，， ∴ 【小问2详解】 延长和交于点，连接和， ∵平面平面，与重合， ，∴∽，从而， ∵四边形是正方形，， 从而为平行四边形， 由（1）可知，， 为与直线所成的角，即， 在边长为2的正方形中，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $