精品解析：河南省洛阳市孟津县直中学2022-2023学年上学期第二次学情诊断九年级数学卷（期中）

2022—2023学年上学期第二次学情诊断（期中） 九年级数学（华师版） （诊断范围：第21章至23章第3节） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. ±2 3. 若使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 若a，b，c是△ABC的三边长，则关于x的方程的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两相等的实数根 C. 有两不相等的实数根 D. 无法确定 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）． A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 9. 如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 九年级毕业时，某班每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了2550份毕业留言，则全班共有学生（） A. 52名 B. 51名 C. 50名 D. 49名 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为．这个一元二次方程可以是______．（写出一个即可） 12. 如图，若，则_________． 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是_______________． 14. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 15. 设是方程的两实数根，则_______________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 18. 若x，y为实数，且，求的值． 19. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长． 20. 如图在中，，． （1）求证：； （2）如果，，求的面积． 21. 小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的： ． ，即． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）填空：_______________，_______________； （2）计算：； （3）若，求的值． 22. 某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． （1）若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． （2）若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． （3）饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）方程_______________（选填“是”或“不是”）“邻根方程”； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程是常数，且是“邻根方程”，令，试求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022—2023学年上学期第二次学情诊断（期中） 九年级数学（华师版） （诊断范围：第21章至23章第3节） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．是最简二次根式，符合题意； D．被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式满足的条件是解答的关键． 2. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. ±2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得出方程即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：m=3， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型． 3. 若使在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握知识点是解题关键． 利用二次根式的定义和分母不为零，分析得出答案即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ， 解得， ∴的取值范围是：． 故选：C． 4. 如图，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴，即， 解得，BD＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 5. 若a，b，c是△ABC的三边长，则关于x的方程的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两相等的实数根 C. 有两不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可得，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解： ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴， ∴， ∴ ∴方程有两不相等的实数根． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解． 【详解】解：原式 ＝， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键． 7. 如图，在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案. 【详解】矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件；锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件. 故选：. 【点睛】边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形. 8. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则一元二次方程必有一根为（ ）． A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】对一元二次方程变形，设得到，利用的一个根是可得，从而求出x即可． 【详解】解：对于一元二次方程即， 设，则可得， 而关于x的一元二次方程的一个根是， 所以有一个根为， 所以， 解得， 所以一元二次方程必有一根为． 9. 如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣两个小正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为15和6， ∴两个小正方形的边长为，， ∵大正方形的边长为：+， ∴阴影部分的面积＝（+）2﹣6﹣15 ＝15+2××+6﹣6﹣15 ＝6（cm2）， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的应用，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键． 10. 九年级毕业时，某班每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了2550份毕业留言，则全班共有学生（） A. 52名 B. 51名 C. 50名 D. 49名 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设全班共有学生名，则每个同学需写份毕业留言，根据全班共写了毕业留言2550份，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设全班共有学生名，则每个同学需写份毕业留言， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 全班共有学生51名． 故选：B 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为．这个一元二次方程可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的定义进而得出答案． 【详解】解：根据题意得：这个一元二次方程可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确掌握相关定义是解题关键． 12. 如图，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型． 利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为： 13. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是_______________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．根据同类二次根式以及最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， ． 故答案为：4 14. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键． 15. 设是方程的两实数根，则_______________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 根据一元二次方程的解可得，根据根与系数的关系可得，再将化简即可求解． 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴，，即， ∴ ， 故答案为：7． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则及完全平方公式的运用是关键． （1）先化成最简二次根式、绝对值、零次幂，再合并同类二次根式，最后合并即可； （2）按照运算顺序，先算括号，再算乘除，最后算加减，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了公式法和因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，然后，即可作答． （2）把原方程移项，得，再提公因式，运用因式分解法解一元二次方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ， ∴， 即． 【小问2详解】 解：∵ ∴移项，得． 方程左边分解因式，得． ∴或． 得． 18. 若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，先根据二次根式有意义的条件，求出，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 19. 已知关于的方程． （1）求证：无论为何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：， ∵，即， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）12． 【解析】 【分析】（1）先计算出，然后根据平方的性质和一元二次方程根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）依题意方程一个根为5，代入方程求得，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等腰三角形一腰长为5， ∴另外一边长度为5， ∴方程一个根为5， ∴， 解得， ∴方程为， ∴， 解得，， 故的周长． 【点睛】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）求出． 20. 如图在中，，． （1）求证：； （2）如果，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）先分别证明，，再根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）根据，得出，代入数据求出，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的： ． ，即． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）填空：_______________，_______________； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）2021 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握平方差公式的结构是解题关键． （1）利用平方差公式进行二次根式的分母有理化计算； （2）根据二次根式的分母有理化计算发现数字的变化规律，从而进行计算； （3）先对字母的值进行二次根式的分母有理化计算，然后代入求值． 【小问1详解】 ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 原式 ． 【小问3详解】 ， ． ，即． ． 22. 某农场要建一个饲养场（矩形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为位置的墙最大可用长度为），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在上各留宽的门（不用木栏），建成后木栏总长． （1）若饲养场（矩形）的一边长为，则_______________m． （2）若饲养场（矩形）的面积为，求边的长． （3）饲养场的面积能达到吗？若能达到，求出边的长；若不能达到，请说明理由． 【答案】（1）27 （2）边的长为 （3） 解：不能，理由如下： 设米， 则米， 依题意得：， 整理得：． ， ∴该方程没有实数根， ∴饲养场的面积不能达到198平方米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）直接根据图形计算即可； （2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解； （3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 【小问1详解】 解：(米)． 故答案为：27． 【小问2详解】 解：设米， 则米， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 当时，(米)， ，符合题意， 答：边的长为8米． 【小问3详解】 略 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． （1）方程_______________（选填“是”或“不是”）“邻根方程”； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程是常数，且是“邻根方程”，令，试求的最大值． 【答案】（1）不是 （2）或 （3）当时，有最大值，最大值为16 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． （1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出最大值； 【小问1详解】 解：∵， ， 解得：， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； 【小问2详解】 解：∵关于的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ， ， ∴或； 【小问3详解】 解：∵关于的方程是常数是邻根方程， 设两个根分别为， ， 由韦达定理：， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为16， 答：的最大值为16． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $