考点规范练30平面向量的概念及线性运算练习-2025届高三数学一轮复习

考点规范练30　平面向量的概念及线性运算 一、基础巩固 1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(　　) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b,且|a|=|b| 2.在△ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则等于(　　) A.b+c B.c-b C.b-c D.b+c 3.设向量a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2,则(　　) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 5.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且=0,则△ABC的内角A等于(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 6.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 7.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5+3,则△ABM与△ABC的面积比为(　　) A. B. C. D. 8.在△ABC中,E为AB边的中点,D为AC边上的点,BD,CE交于点F.若,则的值为　　　　　.  9.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足=0,=λ,则实数λ的值为　　　　　.  二、综合应用 10.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则等于 (　　) A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b 11.(多选)在△ABC中,D为AC上一点,且满足.若P为BD上一点,且满足=λ+μ,λ,μ均为正实数,则下列结论正确的是 (　　) A.λμ的最小值为16 B.λμ的最大值为 C.的最大值为16 D.的最小值为4 12.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足+2,则点P一定为△ABC的(　　) A.边AB中线的中点 B.边AB中线的三等分点(非重心) C.重心 D.边AB的中点 13.已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足),,则△APD的面积为(　　) A. B. C. D.2 14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　　.  三、探究创新 15.如图,有5个全等的小正方形,=x+y,则x+y的值是　　　　　.  16.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,若3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点规范练30　平面向量的概念及线性运算 一、基础巩固 1.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(　　) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b,且|a|=|b| 答案:C 解析:由表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量,故只要a与b同向即可,观察可知C满足题意. 2.在△ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则等于(　　) A.b+c B.c-b C.b-c D.b+c 答案:A 解析:如图,可知)=c+(b-c)=b+c.故选A. 3.设向量a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b.若A,B,D三点共线,则实数p的值是(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案:B 解析:∵=a+b,=a-2b, ∴=2a-b. 又A,B,D三点共线,∴共线, ∴存在实数λ,使得=λ,即2a+pb=λ(2a-b), ∴2=2λ,p=-λ,解得λ=1,p=-1. 4.已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且2=2,则(　　) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 答案:B 解析:因为2=2,所以2. 所以点P在线段AB的反向延长线上,故选B. 5.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且=0,则△ABC的内角A等于(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案:B 解析:由=0,得点O为△ABC的重心. 因为点O为△ABC外接圆的圆心,所以△ABC为等边三角形,故A=60°. 6.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 答案:C 解析:∵=-8a-2b=2(-4a-b)=2, ∴. 又不平行,∴四边形ABCD是梯形. 7.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足5+3,则△ABM与△ABC的面积比为(　　) A. B. C. D. 答案:C 解析:设AB的中点为D. 由5+3, 得3-3=2-2,即3=2. 如图,故C,M,D三点共线,且,得△ABM与△ABC对于边AB上的两高之比为3∶5,则△ABM与△ABC的面积比为,故选C. 8.在△ABC中,E为AB边的中点,D为AC边上的点,BD,CE交于点F.若,则的值为　　　　　.  答案:4 解析:设=λ,因为,所以. 因为B,F,D三点在同一条直线上,所以λ=1,所以λ=4,所以=4. 9.已知D为△ABC的边BC的中点,点P满足=0,=λ,则实数λ的值为　　　　　.  答案:-2 解析:由=0,得. 又=2,所以=2,所以=-2,即λ=-2. 二、综合应用 10.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则等于 (　　) A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b 答案:D 解析:如图,连接OC,OD,CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,从而△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以a+b,故选D. 11.(多选)在△ABC中,D为AC上一点,且满足.若P为BD上一点,且满足=λ+μ,λ,μ均为正实数,则下列结论正确的是 (　　) A.λμ的最小值为16 B.λμ的最大值为 C.的最大值为16 D.的最小值为4 答案:BD 解析:∵,∴=4, ∴=λ+4μ,又P,B,D三点共线, ∴λ+4μ=1. 已知λ,μ均为正实数,∴1=λ+4μ≥2=4,可得λμ≤,当且仅当λ=,μ=时取等号; =(λ+4μ)·=2+≥2+2=4,当且仅当λ=,μ=时取等号. 12.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是△ABC的重心,动点P满足+2,则点P一定为△ABC的(　　) A.边AB中线的中点 B.边AB中线的三等分点(非重心) C.重心 D.边AB的中点 答案:B 解析:设AB的中点为M,则, 所以+2), 即3+2=2-2,即=2. 因为有公共点P,所以P,M,C三点共线,且P是CM上靠近点C的一个三等分点. 13.已知△ABC是边长为4的正三角形,D,P是△ABC内的两点,且满足),,则△APD的面积为(　　) A. B. C. D.2 答案:A 解析:如图,取BC的中点E,连接AE,因为△ABC是边长为4的正三角形, 所以AE⊥BC,). 又), 所以D是AE的中点,即AD=. 取,以AD,AF为邻边作平行四边形,可知. 因为△APD是直角三角形,且DP=AF=,所以△APD的面积为. 14.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　　.  答案: 解析:因为)=-,所以λ1=-,λ2=,所以λ1+λ2=. 三、探究创新 15.如图,有5个全等的小正方形,=x+y,则x+y的值是　　　　　.  答案:1 解析:由平面向量的运算可知. ∵=2=2, ∴=2-(2)=3-2. ∵不共线,且=x+y, 即x+y=3-2, ∴x=3,y=-2,∴x+y=1. 16.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,若3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值;若不存在,请说明理由. 解:由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因为a,b不共线,所以有解得t=. 故存在实数t=,使C,D,E三点在一条直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $$