考点规范练27等比数列及其前n项和练习-2025届高三数学一轮复习

考点规范练27　等比数列及其前n项和 一、基础巩固 1.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(　　) A.14 B.12 C.6 D.3 2.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　) A. B.9 C.±9 D.35 3.(2023新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　) A.120 B.85 C.-85 D.-120 4.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,上一层的数量是下一层的2倍,总共有1 016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案.若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an},则log2(a3·a5)的值为(　　) A.8 B.10 C.12 D.16 5.(多选)已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A. B. C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2} 6.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=　　　　　.  7.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=-5,则公比q=　　　　　;若an>1,则n的最大值为　　　　　.  8.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (3)求数列{an}的通项公式. 9.已知数列{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.求: (1)数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}的前n项和. 二、综合应用 10.(多选)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.连接嵌套的各个正方形的顶点就可得到近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF……),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EQM的面积为S2……),则下列结论正确的有(　　) A.数列{an}是公比为的等比数列 B.S1= C.数列{Sn}是公比为的等比数列 D.数列{Sn}的前n项和Tn< 11.(多选)已知数列{an}是等比数列,则下列说法中正确的是(　　) A.数列{}是等比数列 B.若a3=2,a7=32,则a5=±8 C.若a1<a2<a3,则数列{an}是递增数列 D.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1 12.已知数列{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=　　　　　,a4的最大值为　　　　　.  13.已知等比数列{an}与等差数列{bn}满足a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设Sn,Tn分别是数列{an},{bn}的前n项和,若Sn+Tn>100,求n的最小值. 三、探究创新 14.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可通过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 15.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　　.  16.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则+…+=　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点规范练27　等比数列及其前n项和 一、基础巩固 1.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=(　　) A.14 B.12 C.6 D.3 答案:D 解析:设公比为q(q≠0),则a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=168,a2-a5=a1q-a1q4=a1q(1-q)(1+q+q2)=42,∴q(1-q)=,解得q=,∴a1=96,∴a6=a1q5=96×=3. 故选D. 2.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　) A. B.9 C.±9 D.35 答案:B 解析:∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根, ∴a2·a48=3. 又a1·a49=a2·a48==3,且a25>0, ∴a1·a2·a25·a48·a49==9. 故选B. 3.(2023新高考Ⅱ,8)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　) A.120 B.85 C.-85 D.-120 答案:C 解析:若q=1,则S6=6a1,S2=2a1,不满足S6=21S2,所以q≠1. 由S6=21S2得=21,所以1-q6=(1-q2)(1+q2+q4)=21(1-q2),则q4+q2-20=0,解得q2=4或q2=-5(舍去). 由已知S4==-5,则S8==-85.故选C. 4.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,上一层的数量是下一层的2倍,总共有1 016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案.若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an},则log2(a3·a5)的值为(　　) A.8 B.10 C.12 D.16 答案:C 解析:根据题意可知,最下层的“浮雕像”的数量为a1,且数列{an}为公比q=2的等比数列. 由题意知数列{an}的前7项和S7==1 016, 解得a1=8,则an=8×2n-1=2n+2(1≤n≤7),于是a3=25,a5=27, 从而a3·a5=25×27=212, 可得log2(a3·a5)=log2212=12,故选C. 5.(多选)已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A. B. C.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2} 答案:AD 解析:当an=1时,log2=0,数列{log2}不一定是等比数列; 当公比q=-1时,an+an+1=0,数列{an+an+1}不一定是等比数列;由等比数列的定义知数列和{an+an+1+an+2}都是等比数列. 6.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=　　　　　.  答案:1 解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8, 即解得 故=1. 7.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=-5,则公比q=　　　　　;若an>1,则n的最大值为　　　　　.  答案:-　3 解析:因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q==-, 所以a1+a3=a1+a1q2=10,即a1=8,所以an=a1qn-1=8×. 所以当n为偶数时,an<0;当n为奇数时,an=8×=8×=24-n>0. 要使an>1,需4-n>0且n为奇数,即n<4且n为奇数,所以n=1或n=3. 8.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=. (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由; (3)求数列{an}的通项公式. 解:(1)由题意可得an+1=an. 将n=1代入,得a2=4a1,而a1=1, 得a2=4. 将n=2代入,得a3=3a2, 得a3=12. 由于bn=, 则b1=1,b2=2,b3=4. (2)数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列. 理由如下: 由题意可得,即bn+1=2bn, 又b1=1,所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得=2n-1, 故an=n·2n-1. 9.已知数列{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.求: (1)数列{an}的通项公式; (2)数列{bn}的前n项和. 解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2. 即数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1. (2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,因此数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列. 设数列{bn}的前n项和为Sn, 则Sn=. 二、综合应用 10.(多选)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.连接嵌套的各个正方形的顶点就可得到近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF……),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EQM的面积为S2……),则下列结论正确的有(　　) A.数列{an}是公比为的等比数列 B.S1= C.数列{Sn}是公比为的等比数列 D.数列{Sn}的前n项和Tn< 答案:BD 解析:如图,由图知an=an+1(sin 15°+cos 15°)=an+1×sin(15°+45°)=an+1. 对于A,因为an=an+1,所以,即数列{an}是公比为的等比数列,故A不正确; 对于B和C,因为an=1×, 所以Sn=[()n-1-()n]=, 所以数列{Sn}是首项为,公比为的等比数列,故B正确,C不正确; 对于D,因为Tn=[1-()n],所以Tn<,故D正确. 11.(多选)已知数列{an}是等比数列,则下列说法中正确的是(　　) A.数列{}是等比数列 B.若a3=2,a7=32,则a5=±8 C.若a1<a2<a3,则数列{an}是递增数列 D.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1 答案:AC 解析:由于数列{an}是等比数列, 则q2n-2,可得=q2是常数,即数列{}是等比数列,故A正确; 若a3=2,a7=32,则a5==8,故B错误; 若0<a1<a2<a3,则q>1,数列{an}是递增数列;若a1<a2<a3<0,则0<q<1,数列{an}是递增数列, 故C正确; 若数列{an}的前n和Sn=3n-1+r,则a1=S1=1+r,a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2,a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6, 由于a1,a2,a3成等比数列,则=a1a3,即4=6(1+r), 解得r=-,故D错误. 12.已知数列{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=　　　　　,a4的最大值为　　　　　.  答案:5　 解析:因为{an}是等比数列,a2a4+2a3a5+a4a6=25, 所以+2a3a5+=25,即=25, 因为an>0, 所以a3+a5=5, 故a3+a5≥2=2a4, 即a4≤. 13.已知等比数列{an}与等差数列{bn}满足a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设Sn,Tn分别是数列{an},{bn}的前n项和,若Sn+Tn>100,求n的最小值. 解:(1)设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d, 则 解得(舍)或 故an=2n-1,bn=n. (2)由(1)易知Sn==2n-1,Tn=. 由Sn+Tn>100, 得2n+>101. 由于是递增数列, 且26+=85<101,27+=156>101, 故n的最小值为7. 三、探究创新 14.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可通过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:D 解析:∵a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点, ∴a+b=p,ab=q. ∵p>0,q>0, ∴a>0,b>0. 又a,b,-2这三个数可通过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列, ∴①或② 解①得解②得 ∴p=a+b=5,q=1×4=4. ∴p+q=9. 故选D. 15.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　　.  答案:64 解析:设等比数列{an}的公比为q. 由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5, 两式相除得, 解得q=,a1=8, 所以a1a2…an=8n·, 由于抛物线f(n)=-n2+n的对称轴为直线n=-=3.5, 又n∈N*,所以当n=3或n=4时,a1a2…an取最大值为=26=64. 16.已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则+…+=　　　　　.  答案:502 解析:数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1, 则当n≥2时,an-1+Sn-1=1, 两式相减,可得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,即an=an-1(n≥2). 令n=1,可得a1+S1=2a1=1, 解得a1=. 所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,所以an=. 所以Sn==1-,从而=2n-1. 所以+…+=(2+22+…+28)-(1+1+…+1)=-8=29-10=502. 学科网（北京）股份有限公司 $$