2025年中考物理一轮复习 第一讲 杠杆

第一讲 杠杆 思 维 导 图 知 识 梳 理 一、杠杆 1.定义：一根在力的作用下能绕固定点转动的硬棒。 一根硬棒能成为杠杆要具备两个条件：①有力的作用；②能绕某固定点转动。 两个条件缺一不可，杠杆的形状可以是直的，也可以是弯的，但必须是硬的，支点可以在杠杆的一端，也可以在杠杆上的其他位置处。 2.杠杆的五要素 ①支点：杠杆绕着固定转动的点，用字母“O”表示。 ②动力：促使杠杆转动的力，常用字母“F₁”表示。 ③阻力：阻碍杠杆转动的力，常用字母“F₂”表示。 ④动力臂：支点到动力作用线的距离，常用字母“L₁”表示。 ⑤阻力臂：支点到阻力作用线的距离，常用字母“L₂”表示。 二、杠杆分类 杠杆 力臂 力 特点 应用举例 省力杠杆 L₁>L₂ F₁<F₂ 省力费距离 撬棒 费力杠杆 L₁<L₂ F₁>F₂ 费力省距离 船桨 等臂杠杆 L₁=L₂ F₁=F₂ 不省力也不费距离 天平 三、杠杆的平衡条件 1.杠杆的平衡条件是指杠杆静止不动或匀速转动。 2.杠杆的平衡条件又称杠杆原理，其表达式为：动力×动力臂=阻力×阻力臂， 3.从杠杆的平衡可知，力和力臂的大小成反比，即力臂越长，力就越小，计算时，单位要统一，即动力和阻力的单位要统一，动力臂和阻力臂的单位也要统一。 精 讲 精 练 一、画“最小力”，找最长力臂 方法：找到支点(检验过程)，连结支点与杆上最远一点，作垂线。 【例题1】如图所示，要使杠杆处于平衡状态，在A 点分别作用的四个力中，最小的是 ( ) A. F₁ B. F₂ C. F₃ D. F₄ 【例题2】如图所示,一半径为30 cm,高为 80 cm,重为500 N的圆柱体竖放在地面上，如用力使圆柱体底部A 点稍微离开地面，则所用力 F 的最小值是多少? 【变式训练1】在图中，画出使轻质杠杆保持平衡的最小的力 F 的示意图。(要求保留作图痕迹) 【变式训练2】在电视剧《三国》中，有这样一个情景：一群士兵用力拉动一个杠杆，会将石块抛向敌方阵营.它是一个 杠杆。要把石块抛出去，图中作用在A点的力沿 (填“a”“b”或“c”)方向最小。 二、动力的变化 A.杠杆旋转力的变化 方法： 通常 F₂(物重)不变,L₁、L₂一变大一变小则容易判断；同大同小，则通常 F₁ 保持不变(由几何方法可推)。 【例题1】某人将一根木头的一端缓慢抬起，另一端支在地上，在抬起的过程中，该人所用的力的方向始终竖直向上，则所用力的大小 ( ) A.逐渐减小 B.逐渐变大 C.保持不变 D.先减小后增大 【例题2】如图所示，用一个可以绕O点转动的硬杆提升重物，若在提升重物的过程中动力 F始终沿水平方向，则在如图所示的过程中，动力 F(硬杆重力忽略不计) ( ) A.由小变大 B.由大变小 C.先变大后变小 D.保持不变 【变式训练 1】如图所示，O为杠杆的支点，为了提升重物A，用一个跟杠杆始终保持垂直的力 F，使杠杆由竖直位置旋转到水平位置，在这个过程中 ( ) A.杠杆始终是省力的 B.杠杆始终是费力的 C.杠杆先是省力的后是费力的 D.杠杆先是费力的后是省力的 【变式训练2】如图所示杠杆，力F 方向始终竖直向上，当此杠杆在动力 F作用下，将一个由细绳系的物体由图中位置逆时针匀速转动到水平位置时，则 ( ) A. F大小始终不变 B. F先变大后变小 C. F先变小后变大 D.无法判断F 大小的变化 B.杠杆不动，旋转力的变化(阻力、阻力臂不变) 方法：作出最小力(垂直)。 【例题】如图所示，杆OB 的O端用铰链(可自由转动)固定在竖直壁上，杆的中点挂一重物G，杆的B 点受水平拉力 F 而平衡，若拉力 F沿逆时针方向逐渐转向竖直方向，而保持OB在原位置平衡，则在此过程中F 将 ( ) A.大小保持不变 B.逐渐变大 C.逐渐变小 D.先变小后变大 【变式训练】如图所示，杠杆 AB 可绕O转动，绳AD 连在以A 为圆心的弧形槽MN 上，D球可以在MN上自由滑动，在 D 球从 N向M滑动过程中杠杆仍能保持平衡，则绳AD 对杠杆的拉力变化情况是 ( ) A.变大 B.变小 C.先变大后变小 D.先变小后变大 三、平衡杠杆同加同减 A.无浮力 方法：比较力臂后，无视原有平衡，只考虑新“加减”。 【例题1】一根轻质杠杆，在左、右两端分别挂上200 N和300N的重物时，杠杆恰好平衡。若将两边物重同时减少50 N，则杠杆 ( ) A.左端下沉 B.右端下沉 C.仍然平衡 D.无法确定 【例题2】一根均匀直尺可绕中点O自由转动，直尺上有三只垂直而立蜡烛A、B、C，它们粗细和材料都相同但长度不相同， 如图所示，那么点燃过程中直尺将 ( ) A.逆时针转动 B.顺时针转动 C.始终平衡 D.无法判断 【变式训练1】如图(a)所示的杠杆是平衡的，在此杠杆支点两侧的物体下方分别加挂一个同样物体，如图(b)所示，那么，以下说法中正确的是 ( ) A.杠杆仍然平衡 B.杠杆可能平衡 C.杠杆一定不能平衡 D.杠杆是否平衡与加挂物体的质量多少无关 【变式训练2】不等臂直杠杆在动力和阻力作用下，已处于平衡状态，采用下列办法不能使杠杆平衡的是 ( ) A.在杠杆上施加一个力，使这个力的作用线通过杠杆的中点，但不通过支点 B.在杠杆上再施加一个力，使这个力的作用线通过支点 C.使动力和阻力同时减小到原来 D.使动力臂和阻力臂同时变为原来的2倍 B.有浮力 方法：由 和F浮l’·L₁与F浮₂·L₂关系求解。 【例题1】乒乓球、保龄球等表面都是光滑的，为什么高尔夫球的表面上布满小坑呢?经有关科学家研究发现：两个等大的球，一个表面布满小坑，另一个光滑，在空中高速飞行时，表面布满小坑的球受到的空气阻力较小。现将质量与体积均相等的两个小球A(表面布满小坑)与B(表面光滑)分别利用细绳悬挂在等臂杠杆的两端，使杠杆水平平衡，如图所示。当从两球正下方同时以相同速度(足够大)的风对准它们竖直向上吹时，则以下的说法中正确的是 ( ) A.杠杆左端下降 B.杠杆右端下降 C.杠杆仍然在水平方向处于平衡状态 D.无法判断杠杆的转动情况 【例题2】如图，轻质杠杆两端悬挂同种材料制成的大小不同的金属球时，杠杆平衡。把它们同时浸没在水中，杠杆仍然平衡，则 ( ) A.两球都是实心的 B.大球实心，小球空心 C.大球空心，小球实心 D.两球都空心，且空心部分体积相同 【例题3】如图所示，将体积相同的物体G₁、G₂分别挂在杠杆的两端，杠杆处于平衡状态。若将两个物体G₁、G₂ 同时浸没在水中，则 ( ) A.杠杆仍能保持平衡 B.杠杆不能平衡，A端下沉 C.杠杆不能平衡，B端下沉 D.无法确定杠杆的状态 【变式训练1】如图所示，两杠杆均处于平衡状态，甲杠杆上平衡的是两个同种密度但体积不同的物体，乙杠杆上平衡的是两个体积相同但密度不同的物体，如果将它们都浸没在水中，则两杠杆将 ( ) A.仍保持平衡 B.都失去平衡 C.甲仍保持平衡，乙失去平衡 D.甲失去平衡，乙仍保持平衡 【变式训练2】如图所示，将物块甲和乙分别挂在轻质杠杆的两端，O是杠杆的支点，杠杆在水平位置平衡时发现OA：OB=1：2；再将物块甲浸没到水中，如图所示，杠杆平衡时发现OA：OC=1：1。则下列说法正确的是 ( ) A.甲乙的质量之比是1：2 B.甲乙的质量之比是3：1 C.甲的密度是1.5ρ水 D.甲的密度是2ρ水 四、重心问题 我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。如图由重量分别为G₁、G₂的两均匀圆球和重量为G₃的均匀杆连成的系统，设立如图坐标系，原点取在A 球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为x₁、x₂、x₃，系统重心在 P 点，我们现在求其坐标x。设想在 P处给一支持力R，令 ，达到平衡时有： 【例题1】如图所示，A、B原为两个相同的均质实心球，半径为R，重量为G，A、B球分别挖去半径为R₂和 的小球，均质杆重量 ₄G,长度l=4R,点C杆的中点，试求系统的重心位置。 【例题2】如图是一均匀薄板，半径R=30cm，现从圆形板上挖出一个半径r=15 cm的内切圆板，试求剩余的薄板的重心C与大圆圆心O的距离。 【变式训练1】一个六角螺帽如图所示，螺帽的中心点O到边的距离为h。由于加工时的误差，使孔中心O'偏离螺帽的几何中心O的距离为d，内部圆半径为R，由于这一偏离引起螺帽中心C 偏离O 多远? 【变式训练 2】如图所示是一块厚度相同、质量分布均匀的正方形板，它的边长为L。如果在板上截去阴影部分 B，剩余部分的板的重心距 A 点为多少? 【变式训练3】一块厚度相同、质量分布均匀的正方形板，它的边长为L。如果在板上再黏上同样厚度的一个小正方形，如图阴影部分 B 所示。此时板的重心距 A 点多远? 【变式训练4】如图所示，有一串珍珠，每颗间距均为a，共n颗，其质量依次为m、2m、3m、…… mm,求其重心离悬挂点的距离。(提示：1 【变式训练5】如图所示，将边长为a的正六边形均匀木板由中心O点沿径向向外挖除一块后，用一根细线系住该多边形A点，将其竖直悬挂。当多边形处于平衡状态时，竖直线与 AB 的夹角为θ,则 tanθ为多大? 五、杠杆平衡条件的应用 A.摩擦力因素 【例题1】如图所示，地面是粗糙的，竖直墙壁是光滑的，人沿着梯子匀速向上爬的过程中，分析地面对梯子的摩擦力、地面对梯子的弹力和墙壁对梯子的作用力的变化。 【例题2】如图所示，杆OA 长为0.5 m,重500 N,O 端用铰链铰于竖直墙面，杆中 B 处有一制动闸,重400 N,OB 为0.2m,闸厚 d为0.04 m,轮子C的半径R为0.2m,闸与轮间动摩擦因数μ为0.5。 (1)飞轮顺时针转动时，要对轮施加力矩(力×力臂)1000 N·m才能使轮减速而制动，则在杆的 A 端需加垂直于杆的力F₁为多大? (2)飞轮逆时针转动时，要对轮施加同样大小的力矩使轮减速而制动，则在杆的 A 端需加垂直于杆的力F₂为多大? 【变式训练 1】如图所示是一种手控制动器，a是一个转动着的轮子，b是摩擦制动片，c是杠杆，O是其固定转动轴，手在 A 点施加一个作用力F 时，b将压紧轮子，使轮子制动。若使轮子制动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是（ ） A.轮a 逆时针转动时，所需的力 F 较小 B.轮a 顺时针转动时，所需的力 F 较小 C.无论a 逆时针还是顺时针转动，所需的力 F 相同 D.无法比较F 的大小 【变式训练2】半径为R 的匀质半球体放置于水平面上，其重心C离球心O点的距离OC 半球质量为m。在半球的平面上放一质量为m/₈的物体，它与半球平面间的静摩擦因数为0.2。则在保持平衡状态的条件下，物体离球心的最大距离为 。 B.压力因素 【例题 1】有三块密度均匀、完全相同的砖，长为 H，采用如图所示的方法，叠放在水平桌面上，使每一块砖压着下面的砖并伸出一部分，求砖能伸出桌面的最大长度 L 为多少。 【例题2】如图所示，两不相接桌面间由三块密度均匀、质量和形状完全相同的长方体木块搭成梁，每个长方体长 12 cm，求木板伸出桌面的最长距离x。 【变式训练1】如图所示，七块完全一样的砖块按照图示的方式叠放起来，每块砖的长度均为 L，为保证砖块不倒下，6号砖块与7号砖块之间的距离s将不超过( ) B.2L 【变式训练 2】一个600 N 重的成年人和一个小孩都过一道5 m 宽的水渠。成人从左岸到右岸，而小孩从水渠右岸到左岸，两岸各有一块 4 m长的坚实木板，请你想出一种方式过渠。并分析在忽略木板自身重量和木板叠交的距离情况下，要使成年人和小孩都能平安过渠，小孩的体重不能轻于多少牛? C.循环型杠杆问题 【例题】有四条完全相同的刚性长条薄片AᵢBᵢ(i=1,2,3,4),其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重力均不计。现将四薄片架在一只水平的碗口上，使每条薄片一端的小突起 B；搭在碗口上，另一小突起Aᵢ位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示。现将一个质量为m的小物体放在薄片A₄B₄上的一点，这一点与A₃、A₄的距离相等，则薄片A₄B₄中点受A₃的压力是 。 【变式训练】有 6个完全相同的刚性长条薄片 AᵢBᵢ(i=1,2…),其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此6个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起 B；恰在碗口上，另一端小突起A₁位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为m 的质点放在薄片A₆B₆上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A。的距离，则薄片A₆B₆中点所受的(由另一薄片的小突起A₁所施的)压力 D.经验公式 【例题1】有一架不准确的天平，主要是由于它横梁左右两臂不等长.为减小实验误差，常用“交换法”来测定物体质量，即先将被测物体放在左盘中，当天平平衡时，右盘中砝码总质量为m₁；再把被测物体放在右盘中，当天平平衡时，左盘中砝码总质量为m₂，则被测物体质量的真实值为 ( ) 【例题2】如图，用测力计将长杆一端A 微微抬离地面，测力计示数是F₁；同理，用测力计将长杆的另一端B微微抬离地面，测力计示数是 F₂，则长杆的重力是(测力计保持竖直向上) ( ) 【变式训练1】用不等臂天平称质量为4g 的药品，先放在左盘中称，再放入右盘中称，记下两次结果，其记录数据可能是下列的哪一组 ( ) A.2g、6g B.4g 、1g C.10g、6g D.2g、8g 【变式训练2】有一特殊材料制成的质量为30g的泥块，现把它切开为大、小两块，将较大泥块放在一架不等臂天平的左盘中，称得质量为27 g；又将较小泥块放在该天平的右盘中，称得质量为8g。若只考虑该天平的臂长不等，共他因素忽略不计，请你依据杠杆的平衡原理，求出较大泥块和较小泥块的质量。 六、杆秤问题 【例题1】如图所示是一把小贩卖瓜子用的杆秤，A挂托盘处，B为零刻度点，O为提纽处，C为杆秤的重心。若不诚实的小贩把杆秤秤砣换成质量小一些的，那么他称出的瓜子的质量数为 ( ) A. 读数都比实际数多 B.读数都比实际数少 C.买得少时读数比实际数少 D.买得多时读数比实际数少 【例题2】在菜市场内个别商贩会违反公平交易的原则，使用杆秤时通过不正当方式侵犯消费者的合法权益，例如某标准杆秤的秤砣质量为1千克，秤和秤盘的总质量为0.5千克，O点为提钮悬点，A点为零刻度点，OA=3厘米，OB=9厘米，如图所示。如换一个质量为0.7千克的秤砣，售出3.0千克的物品，消费者得到的物品实际质量为 ( ) A.2.0千克 B.2.3 千克 C.2.5千克 D.2.8千克 【变式训练1】为保证市场的公平交易，我国已有不少地区禁止在市场中使用杆秤。杆秤确实容易为不法商贩坑骗顾客提供可乘之机。请看下例。 秤砣质量为1千克，秤杆和秤盘总质量为0.5千克，定盘星到提纽的距离为2厘米，秤盘到提纽的距离为10厘米。若有人换了一个质量为0.8千克的秤砣，售出2.5千克的物品，物品的实际质量是多少? 【变式训练2】如图所示，c为杆秤秤杆系统的重心，a为杆称的定盘星，证明：无论称杆的粗细如何变化，杆秤的刻度沿杆轴线的方向总是均匀分布的。 【变式训练3】图(A)所示的是一把杆秤的示意图，O是秤杆的悬点，使用该秤最多能称量5千克的重物。小王用一个相同的秤砣系在原来的秤砣下面，采用“双秤砣法”去称量7千克的重物时，秤上的示数为3千克，如图(B)所示。那么当只挂一个秤砣时，该秤零刻度线的位置应该在 (选填“O点”“O 点的右侧”或“O 点的左侧”)。若采用“双秤砣法”，则利用该秤最多能称量 千克的重物。 七、浮力与杠杆 【例题1】如图可以估测一支蜡烛的密度。用手提着蜡烛的引线，使蜡烛稳定在水中，测出蜡烛在水中的长度L₁与蜡烛全长L，请计算蜡烛的密度。 【例题2】漂浮在水面的物体，浮力与重力二力平衡。如图甲所示的沉船浮力与重力是否二力平衡取决于具体情况。如果该船船头触及水底，我们把它简化成一根下端搁在水底的粗细均匀棒状物。假设棒状物的四分之一露出水面，上一半质量很小，下一半质量分布均匀，如图所示。请你计算棒状物下一半的密度。(写出必要的解题过程) 【变式训练1】如图所示，密度分布均匀的圆柱形棒的一端悬挂一个小铁块并一起浸入水中，平衡时棒浮出水面的长度是浸在水中长度的n倍，若水的密度为ρ，则棒的密度为 。 【变式训练 2】如图1，一根长为 20 cm，横截面积为10cm²的均匀木杆用细线和弹簧测力计竖直悬挂起来，置于烧杯内水平面上方。现将烧杯竖直缓缓提升，木杆逐渐浸入水中，已知木杆的密度为 10³kg/m³,水的密度为 (1)当弹簧测力计读数为1.2N时，求木杆浸入水中的长度。 (2)继续缓慢提升烧杯，当木杆浸入水中一定深度时，开始出现倾斜，当木杆再次静止时，木杆与竖直方向成30°角，如图2所示，求木杆浸入水中的长度。(忽略木杆横截面积的影响) 第一讲 杠 杆 【例题精讲】 一、画“最小力”，找最长力臂 【例题 1】C 【解析】根据杠杆平衡中力的方向和最长力臂，选C。【例题2】解：找出最长力臂为 BD，根据杠杆平衡公式： 则： 【变式训练1】 【变式训练 2】费力 c 二、动力的变化 A、杠杆旋转力的变化 【例题 1】C 【例题2】A 【变式训练 1】C 【变式训练2】A B、杠杆不动，旋转力的变化(阻力、阻力臂不变) 【例题】D 【变式训练】D 三、平衡杠杆同加同减 A、无浮力 【例题 1】B 【例题2】A 【变式训练1】C 【变式训练2】A B、有浮力 【例题 1】A 【例题 2】A 【例题 3】C 【变式训练1】C 【变式训练2】D 四、重心问题 【例题1】解：将挖去部分的重力，用等值、反向的力取代， 设重心位置为O，则根据力矩平衡，有G(3R-OC)+ OC+G(3R+OC) 解得:OC=0.53R 【例题2】解：由题可得大圆面积是小圆面积的4倍，因此挖去小圆后的部分面积是小圆的3倍，由于厚薄均匀，质量因此也是3倍关系。 根据杠杆平衡： OC=5cm 【变式训练1】解：构建杠杆平衡模式：圆面积和正六边形面积之比等于质量之比，可认为原正六边形不挖去圆，等效为在O'处施加一个大小等于圆部分重力的力F，则有： 【变式训练2】解：截取阴影部分可等效于不截取阴影部分而在该部分重心上施加一个大小等 ₄G 的F，设重心离O点距离为x，根据杠杆平衡，有： 解得： 则重心离 A 点距离为： 【变式训练 3】解：设重心与O点距离为x，根据杠杆平衡，有： 解得： 重心到 A 点的距离为： 【变式训练4】解：令最终的重心据天花板距离为x，则有： 【变式训练5】解：由图可知，O点为原来正六边形木板的质心，取O点为坐标系的原点，所挖掉的三角形的质心位置坐标为 设挖掉一边的六边形的新的质心C的位置为(x，y)，由对称性可知，C点应该在∠AOD的角平分线上，利用力矩平衡可得： 联立两式得： 当木板处于平衡状态时，AC 成竖直线，所 以有： 五、杠杆平衡条件的应用 A. 摩擦力因素 【例题1】把人和梯看成一个整体，则N=G始终不变。以梯子与地面接触点为支点，人向上爬的高度增加时，墙壁对梯子作用力 F 变大，根据水平方向力的平衡，则f 也变大。 【例题 2】 解：(1)根据飞轮的制动力矩：M=f·r 则飞轮所受的摩擦力为： 则飞轮所受的压力为： 根据杠杆平衡条件有： (2)飞轮逆时针转动时，摩擦力方向改变，有： 【变式训练1】【解析】轮子制动需要的力矩是一定的，所以b对轮子的压力大小是一定的，所以无论轮子a逆时针转动还是顺时针转动，制动所需的摩擦力 f大小相同； 选取O点为转轴，A向后拉时的力矩沿顺时针方向；轮子顺时针转动时，轮子对b的摩擦力方向向下，对转轴O产生逆时针方向的力矩；轮子逆时针转动时，轮子对b的摩擦力方向向上，对转轴O产生顺时针方向的力矩；a对b的支持力产生的力矩始终沿逆时针方向。 轮子顺时针转动时， 轮子逆时针转动时， 比较以上两式，可得在轮子制动需要的力矩MN是一定的条件下，轮子逆时针转动时，制动所需的力矩小，所以制动所需的力 F 也小。故A 正确，B、C、D错误。 【答案】A 【变式训练2】 【解析】解：物体离O点放得越远，由力矩平衡条件可知，半球体转过的角度θ越大，但物体在球体斜面上保持相对静止时，θ有限度。 设物体距球心为x时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴： 由力矩平衡条件得： 5 解得:x=3Rtanθ,可见,x 随θ增大而增大,临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则：tanθm 所以,x=3μR=0.6R 【答案】0.6R B. 压力因素 【例题1】解：甲砖的重心在距砖的右端H₂处，甲砖放在乙砖上面，乙砖的右端是甲砖的支点，当甲砖伸出的长度 ₂时，甲砖的重心恰好在支点上，甲砖恰能衡，如果砖伸出的长度大于H₂，砖将翻倒，不会平衡，因此甲砖伸出的最大长度是砖长 同理：甲、乙两块砖组成的整体重心在它们的几何中心，丙砖的右端是它们的支点，它们重心距第1块砖最右端的距离 ₄H，甲与乙 2块砖组成的整体心距支点的距离为： 则乙砖伸出的最大长度是砖长 因此丙伸出桌面H/₆，总伸出的长度为： 【例题2】解：对左边木块受力分析后，利用力矩平衡： 解得:x=4 cm 【变式训练1】A 【解析】先分析砖块“2”平衡时的极限，再分析砖块“4”“6”平衡时的极限。 【变式训练2】解：小孩站在 B 处让成年人先从木板上过水渠，待成年人站在原小孩处，再让小孩过水渠。把AB 木板视为杠杆，A为支点，成年人对木板压力视为阻力，A'对B 的支持力视为动力，那么阻力臂总小于动力臂，所以，人在A'时，A'对B 的支持力最大，最大值为600N。把A'B'视为杠杆，O为支点，成年人对 A'B'压力视为阻力F₁，小孩对木板的压力视为动力F₂。则: 而 即小孩体重不能轻于200N。 C.循环型杠杆问题 【例题】 【解析】解：设A₃对A₄B₄的压力为F，根据杠杆平衡的原理和力的作用是相互的，A₂对A₃B₃的压力为2F,A₁对A₂B₂的压力为4F,A₄对A₁B₁的压力为8F,那么 A₁B₁对 A₄B₄的压力为8F,以B₄为支点,根据杠杆平衡的条件可得:8F×4=mg×3+F×2, 得F=0.1mg。 【答案】0.1mg 【变式训练】 解：设另一薄片的小突起 A₁所施的压力 为F，则以B₁为支点，有： 同理， 以B₆为支点研究A₆B₆棒力矩平衡： 解得： D. 经验公式 【例题1】 【解析】解：当物体放在天平的左盘时，由杠杆平衡得到①式，当物体放在天平的右盘时，由杠杆平衡得到②式， ) 由①÷② 得 【答案】D 【例题2】【解析】在杠杆的右端竖直抬起时，B是支点，根据杠杆平衡条件得，F₁×AB=G×OB ① 在杠杆的左端竖直抬起时，A是支点，根据杠杆平衡条件得，F₂×AB=G×OA ② ①+②得, 【答案】B 【变式训练1】 解：先设不等臂天平的左边力臂为L，右边的力臂为l； 第一次把4g的物体放左盘，砝码放右盘，砝码质量为M,根据平衡定理可得:4·L=M·l ①; 第二次把4g的物体放右盘，砝码放左盘，质量为m，根据平衡定理可得:m·L=4·l ②; ①÷②得4÷m=M÷4,得16= Mm 【答案】D 【变式训练2】解：设较大泥块的质量为x克，则较小泥块的质量为(30-x)克，若天平左、右臂长分别为a cm,b cm,由题意得: ax=27b ① 8a=b(30-x) ② 两式相除，解得. 经检验都是原方程的解，根据题意x=12应该舍去，当x=18时,30-x=12, ∴较大的泥块的质量为18克，较小的泥块的质量为12克。 六、杆秤问题 【例题1】【解析】设杆秤的质量为m，杆秤原配秤砣质量为m₁，换用较轻的秤砣质量为m₂。 若买的瓜子质量 M 较少，杆秤平衡时，秤砣在 B 点到O点之间，由杠杆平衡条件可得使用秤砣m₁时， Mg·AO+m₁g·DO= mg·OC; 使用秤砣m₂时， 因为m₁>m₂,所以DO<D'O 即 D'点较D 点更靠近零刻度线B 处，则顾客买得少时，读数小于瓜子实际质量。 若买的瓜子质量 M'较大，杆秤平衡时，秤砣在 O 点的右边，由杠杆平衡条件可得 使用秤砣m₁时， 使用秤砣m₂时， 因为 所以,OE<OE' 即E'点较E 点更远离零刻度B 处，所以顾客买得多，读数大于瓜子的实际质量。 【答案】C 【例题2】【解析】杆秤的原理就是杠杆原理。在无重物的情况下，若秤砣放在A 处，杆秤处于平衡状态，通常标准杆秤就采用这种方法。设秤的重心处于O点左边C的位置处，则 即=6cm 又设3.0千克刻度线距O点距离为OD，并设秤盘中放入3.0千克的重物，则 即再设秤砣放在3.0千克刻度处，而用的是0.7千克的秤砣时，秤盘中的重物为 mx， 则:m 即mₓ×9+0.5×6=0.7×30,m,=2kg。 【答案】A 【变式训练1】 解：设秤杆和秤盘的重心为C，当杠杆平衡时秤砣放在A 点， 即:m秤g×OC=mxg×OA, 0.5kg×OC=1kg×2cm, ∴OC=4cm, 使用1 kg秤砣(正常情况下)，设秤砣到 O 点的距离L, ∵m物g×OB+m秤g×OC=m砣g×L 即:2.5kg×g×10cm+0.5kg×g×4cm=1kg×g×L, 解得:L=27cm, 当使用0.8kg秤砣时，秤砣到O点的距离不变， 即： m物'g×10cm+0.5kg×g×4cm=0.8kg×g× 27cm,解得： 物品的实际质量是1.96kg。 答：物品的实际质量是1.96kg。 【变式训练2】 证明：当秤钩不挂重物时，设秤砣重力为G₁，杆秤自重为G₂，则 设挂物重为G时， ② 将①式代入②式，得： 则 因为 od、G 是定值，所以 Lx与所挂物体重力成正比。即L，是均匀变化。 【变式训练3】 【解析】 (1)假设秤(含秤物)的重心在C(见图(1))，质量为M，零刻度线在A 处，秤砣的质量是m₀，那么单砣称(见图(2)): 双砣称(见图(3)): 可解得 说明C在O点的左边，零刻度线A 在O点右侧。 (2)因为 将 代入， 可得 【答案】O 点右侧 11 七、浮力与杠杆 【例题1】解：设蜡烛横截面积为S，蜡烛与水平面的夹角为θ，如图： 则根据题意知，蜡烛稳定在水中受重力、浮力和拉力作用。 以蜡烛的引线点为支点，设重力的力臂为 则浮力的力臂为 根据杠杆的平衡条件： 即： 计算得出 【例题2】解：如图所示： 根据题意知，船在水中所受浮力： ① 物体的重力为： 根据杠杆的平衡条件： ) 联立得 答：棒下一半的密度为 【变式训练1】解：设棒的横截面积为S，水中的棒长度为L，则露出的长度为nL，整个棒的长度为(n+1)L，如下图所示： 由 可得，棒的质量： 棒的重力： 棒受到的浮力： 由相似三角形对应边成比例可得： 以C 为支点，A是棒的重心(即棒的中心)，由杠杆的平衡条件可得： 即ρ棒 S(n+1)Lg×CE=ρgSL×CD, 则 【变式训练2】解：(1)木杆的体积： 木杆的重力： 10 N/ kg=1.6 N, 当弹簧测力计读数 时，木杆受到的浮力： ∴木杆浸入的长度： 0.04 m=4 cm; (2)设木杆长为L，此时木杆浸入的长度为h，如右图， 木杆受到水的浮力，作用点在 D(浸入部分 的 中 点 ), 其力 臂 OA = 木块受到重力的作用，作用点在 C 点(木杆的中点)，其力臂 由杠杆平衡条件可得： 即： 而 代入得： 再代入已知条件： 解得： 大于 20 cm,舍去). 答：(1)当弹簧测力计读数为1.2N时，木杆浸入水中的长度为4 cm; (2)继续缓慢提升烧杯，当木杆浸入水中一定深度时，开始出现倾斜，当木杆再次静止时，木杆与竖直方向成30°角，木杆浸入水中的长度为11 cm。 学科网（北京）股份有限公司 $$