双切线放缩法巧解一类导数压轴题　讲义——2024届高三数学二轮复习

双切线放缩法巧解一类导数压轴题 一前言 在一类导数压轴试题中,经常需要借助切线放缩来进行相关的证明,即将超越函数利用切线进行放缩,变成或者(等号成立的条件恰好是切点时满足).切线放缩法实质是利用函数的图象性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等式转化.对于较为简单的导数试题,往往只涉及到一次切线放缩,但是有些压轴试题涉及到两次不同的切线放缩,也就是说必须借助双切线放缩来完成证明.此类试题往往会给出一个含有两个零点的的解析式(可能含有参数),告知方程有两个实根,,要证明两个实根之差小于(或大于)某个表达式.求解策略是画出的图象,并求出在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线方程(有时候不是找切线,而是找过曲线上某两点的直线),然后严格证明曲线在切线(或所找直线)的上方或下方,进而对和作出放大或者缩小,从而实现证明. 二例题 例1:已知函数()在是非单调函数.(1)求的取值范围.(2)若存在,使得有两个不想等的实数根,,求证. 图1 解析: (1) 过程略. (2)由(1)可知且存在使得. 当时,单调递增;当时,单调递减. 又,,则图象如图1所示. 设直线与曲线相交于,,且. 易知在处的切线方程为,在处的切线方程为. 先证. 要证,即证. 因为当时,,所以;当时,,所以. 故. 再证, 要证,即证. 记, 由得在单调递增;又,所以 当时,单调递减;当时,单调递增.所以的最小值为,所以. 故. 如图1所示,由得,则. 由得,则. 所以,即. 简析:画出函数()的图象,曲线有两个零点和,故容易想到求出曲线在这两点处的切线,然后严格证明曲线在切线的下方,进而将和放缩成和,最后证明出结论. 例2:已知函数.若方程()有两个实根,,且,证明. 图2 证明:,.易知存在使得,且当时单调递减; 当时单调递增;又,所以图象如图2所示.在处的切线方程为,在处的切线方程为. 先证, 要证,即证. 记,.由,得在上单调递增.又,所以,则在上单调递增.又,所以,因此. 再证. 要证,即证. 若,则,,此时. 若,则,,此时. 故有. 如图2所示,由可得,即. 由可得,即,解得.因此. 简析:画出函数的图象,曲线有两个零点和,故容易想到求出曲线在这两点处的切线,然后严格证明曲线在切线的上方,进而将和放缩成和,最后证明出结论. 例3:已知函数. (1)求的零点以及曲线在处的切线方程;(2)设方程()有两个实根,求证. 图3 解析:(1)略(2),令,得;;易知在单调递增,在单调递减,在单调递增,画出的图像,如图3所示.在处的切线方程为,在处的切线方程为.易证当时,,.设直线与两切线和曲线分别交于点.的横坐标标分别为,其中,.故,即. 简析:画出函数的图象,求出在处的切线和处的切线,进一步得到两切线与直线的交点横坐标为,结合图像可得,从而得证. 例4:已知函数,.设是函数的零点,求证:. 图4 图5 解析:令,得.记,,画出的图像.设和的图像交点为,.如图4所示.易知在处的切线为,在处的切线为.易证且.设与交点为,与交点为,则,.所以,即.如图5所示,设,直线方程为.设,直线方程为.易证且.设直线与交点为,与交点为,则,.所以,即.综上,有. 简析:画出函数的图象,一方面,求出在处的切线和处的切线,进一步得到两切线与直线的交点横坐标为,结合图像可得.另一方面,求出直线和的方程,进一步求出与直线的交点横坐标为,结合图像可得. 不难发现,此类压轴试题求解的关键在于在曲线上找两个点,分别求出曲线上这两点处的切线(有时候不一定是找切线,而是找过曲线上某两点的直线即割线),然后借助不等式的知识进行转化,其思想在于以直代曲.在实际解题中,要善于结合图形,整体把握,感知,灵活根据题目条件选取恰当的点,然后求出切线或者相应的直线,进而综合运用不等式的知识证明出结论. 练习:广东阳江市2024届高三开学适应性考试 已知函数,（1）求的单调区间;（2）若,且,证明. 解析: （1）在单调递减,在单调递增. （2）,不妨设,,，，直线方程为;直线方程为. 设直线与交点横坐标为,则,设直线与交点横坐标为,则. 令,,则,所以, 故.即,则. 令,,则. 令得, 在单调递减,在单调递增. 又,,所以. 故,所以,则. 故. 曲线在处的切线方程为. 设直线与直线交点的横坐标为,则. 设,. 则,在单调递减,,所以. 从而,故. 又,所以. 综上,. 学科网（北京）股份有限公司 $$