高中数学米勒问题题型归纳　讲义——2024届高三数学二轮复习

高中数学米勒问题题型归纳 米勒问题涉及三角形,直线,圆,椭圆,双曲线等众多知识点,经常与角度的最值问题相结合考查.借助米勒定理可以迅速求解此类角度的最值问题. 1试题呈现 题1(华南师大附中,广东省实验中学,广雅中学,深圳中学2022届高三四校联考第7题) 在足球比赛中,球员在双方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的,出球点对球门的张角越大,射门的命中率就越高.如图1为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米,宽大约为20米,球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行）,为使得张角最大,则大约为（ ）（精确到米） A 8 B 9 C 10 D 11 图1 2试题分析 本题以5人制足球场为背景,求足球运动员最佳射门位置.显然这是一道现实生活中的问题,体现了数学来源于现实并用于解决实践问题的理念,突出了对数学建模素养的考查.试题入手宽,解法多,但是不同的解法繁简程度不一,要求考生择优选择最佳路径解决问题,突出了对数学运算素养的考查. 3试题解析 思路1:从解析几何的角度入手.如图1所示,要使得张角最大,即最大.从函数的观点来看,要解决最值问题,必须引入变量,即将表示成某个变量的函数,再借助函数求最值的方法解决问题.观察图1可知,,所以可以将转化成.进一步借助两角差的正切公式展开并引入变量解决问题. 解析:设,. . 当且仅当,即时,取得最大值. 此时张角最大,所以当大约为10米时,张角最大. 思路2:思路1虽然解法自然,但是计算量大,同时也没有看到试题背后隐含的本质.本题要寻找最佳射门位置,实则是著名的米勒问题.米勒是德国的一名数学家,他于1471年提出一个有趣的问题:在地球表面的什么位置,一根垂直的悬杆呈现最长?即在什么位置,视角最大?这个问题被称为最大视角问题,又称之为“米勒问题”.其数学表述如下:已知点是角的边上的两个定点,点是边上的动点,则当点在何处时,最大?可以证明如下结论:已知点是角的边上的两个定点,点是边上的动点,则当且仅当三角形的外圆与边相切于点时,最大.该结论简称为米勒定理.主要有以下三种模型. 图2 图3 图4 模型1:如图2所示,设直线,直线上有两个定点.在直线上取一个动点,则当点位于过点的圆与直线相切的切点时,最大,此时. 模型2:如图3所示,设直线和相交于点,直线上有两个定点.在直线上取一个动点,则当点位于过点的圆与直线相切的切点时,最大,此时. 模型3:如图4所示,设直线与圆相切于点,直线上有两个定点.动点在圆上运动,则当点位于过点的圆与圆相切的切点时,最大. 运用该定理可以解决数学上一些与最大角有关的问题.因此对于本题,还可以有如下解法. 解析:如图1所示,作以线段为弦且与相切的圆,切点.连,,当不为时,.,根据圆的切割线定理,有,即,当为,即大约为10米时,张角最大. 显然思路2比思路1在思维上更胜一筹,在计算上更加简捷,体现了多思少算的良好数学品质.这也体现了命题者明制本道试题的初衷---对数学建模思想的考查, 4拓展应用 例1:(2022年上海交大强基试题) 已知椭圆的焦点为,,点在直线上,当最大时,则 图5 解析:如图5所示,当过,的圆与直线相切,切点为点时,最大.此时.故.由于,所以.因此,所以. 例2:(2022年9月清华大学中学生标准学术能力诊断性测试) 在平面直角坐标系中,,,若动点在直线上,圆过,,三点,则圆的面积最小值为 图6 解析:如图6所示,当圆与直线相切于点时, 圆的面积最小. 由割线定理可知,得.在三角形由余弦定理可得.则,所以,故为圆的直径,所以此时圆的面积最小为. 例3:(长沙市雅礼中学2023届高三月考) 在中,角,,所对的边分别是,,.若,边上的高为.则的最大值为 解析:由已知可得.作直线,当过,两点的圆与直线相切于点时,最大.结合已知条件易知此时为正三角形,所以的最大值为. 例4:已知点为抛物线上一动点,,,则的最大值为 解析:根据米勒定理,当点为过的圆与相切的切点时,取最大值.设切点,圆心,则圆方程为. 设在点处的切线为,则是抛物线与圆的公切线,. 由得,故,结合,解得.显然,所以为等腰直角三角形,.所以当时,最大为. 例5:已知椭圆:（）的左右焦点分别为,直线过椭圆的左顶点且与椭圆相切,为直线上任意一点,若的最大值为,则椭圆的离心率为 图7 解析:如图7所示,由已知有过的圆与直线相切于点,此时有最大值.由切线定理有,故.此时,,. ,., . 故,所以. 例6:已知双曲线的左,右焦点分别为,,点在直线:上,当取最大值时,的值为 图8 解析:如图8所示,由米勒定理可知,当取最大值时,过,的圆与直线相切于点,此时圆心在轴上,设为,由,得.在直线中,令得.由于(弦切角等于所夹弧对应的圆周角),得,故. 例7:已知点,,点为圆上一个动点,则的最大值为 图9 解析:如图9所示,设的外接圆圆心为,半径为.当圆与圆相切于点时,最大,此时,,三点共线.,,结合可得,解得,此时.在中,由,可得,所以的最大值为. 在一些现实问题中,涉及到视野的最大值问题也可以借助米勒定理解决,体现了数学建模的思想.数学建模是六大数学核心素养之一,贯穿于新教材必修一和必修二两册的教学内容当中.数学建模素养是教师在课堂教学中应该着力向学生培养的素养,在平时的教学中教师可以适当介绍米勒问题,并与高中内容相结合,以此为抓手培养建模思想,提高数学思辨智慧,促进深度学习. 学科网（北京）股份有限公司 $$