齐一次分式函数模型解决数学问题习题归纳　讲义——2024届高三数学二轮复习

齐一次分式函数模型解决数学问题习题归纳 齐一次分式函数是高中阶段重要的基本初等函数,可以看成是反比例函数的推广.从数学建模的角度看待该函数,可以将齐一次分式函数看成一种模型.借助齐一次分式函数模型解决数学问题往往可以化繁为简,十分简洁.形如的函数称为齐一次分式函数,图象有对称中心,两条渐近线,.函数的图象夹在两条渐近线内. 应用1:在指数函数中的应用 例1:已知函数,考查函数在定义域上的单调性及值域. 解析:.令,.画出齐一次分式函数的图象,如图1所示. 图1 由于当时,单调递增.在定义域上单调递增,所以函数在上单调递增.由于当时,,故. 简析:运用整体思想,将视为,得到齐一次分式函数,借助齐一次分式函数的图象和性质解决问题. 应用2:对数函数中的应用 已知函数,,若对于,恒成立,求实数的取值范围. 解析:当时,画出齐一次分式函数的图象,如图2所示. 图2 当时,单调递增,,即. 由已知可得. 当时,,则,此时; 当时,,则,此时; 所以. 简析:将齐一次分式函数放在对数的真数位置,要特别注意函数的定义域,结合定义域求出齐一次分式函数的取值范围,最后求出对数函数的值域. 应用3:在三角函数中的应用 例3:求函数的值域. 解析:令,.则.画出图象,如图3所示. 显然当,. 图3 简析:将看做一个整体,令,转化成为齐一次分式函数的值域问题,结合图象解决问题. 应用4:在数列中的应用 例4:设等差数列满足,,其前项和为,若数列也为等差数列,则的最大值是_______ 解析:由已知有,,故,则 ,.所以. 画出齐一次分式函数.如图4所示. 图4 当时,单调递增. 由于,所以当时,有最大值,为. 简析:借助齐一次分式函数模型解决此类数列的最值问题,十分简洁明了,避开了繁琐的运算,大道至简. 应用5:在圆锥曲线中的应用 已知双曲线的离心率为,左,右焦点分别为,,点在的左支上运动且不与顶点重合,记为的内心,,若,则的取值范围为____ 解析:设内切圆的半径为,则,, 故. 画出齐一次分式函数.如图5所示. 图5 当时,单调递减.故当时,. 简析:将表示成以为主元的齐一次分式函数,借助齐一次分式函数模型解决问题. 应用6:综合性问题 例6:已知函数,.当时,函数的定义域与值域均为,求所有,的值. 解析:先画出齐一次分式函数的图象,接着画出的图象,最后画出的图象. 图6-1 图6-2 图6-3 当时,. 当时,在的最小值为. 又,所以. 由于当时,,故当时, ,所以. 简析:在齐一次分式函数的基础上,通过图象变换得到,结合图象解决问题,化抽象为具体,大大降低试题难度. 齐一次分式函数在高中课本并没有系统的讲解,但是在平时的解题中不乏出现它们的身影.高考试题中有时也会涉及到,主要考察图象的识别及其性质的应用.本文从数学建模的观点出发,将该函数看成一种模型,简要介绍了利用该模型来求解函数的值域问题.对于分式中的,除了把它看成单一的变量之外,更应该看成一个整体,是某一个表达式,如,,,等等,这是整体思想的一个体现.另外对于本文所举例题,其实不乏多解,但是综合分析比较,运用本文方法不仅容易理解,接受,而且容易将其推广至一类题目,具有探究价值.正如马丁*迦德纳所言:数学的真谛在于不断寻求越来越简单的方法解决复杂问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$