7.4.1　二项分布的应用——高尔顿钉板　教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

人教A版高中数学选择性必修三第七章第四节第一课时《二项分布的应用》 1． 教材分析 本节选自人教A版高中数学选择性必修三第七章第四节第一课时。课标要求学生通过具体事例，了解伯努利实验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题。 在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似服从二项分布，其实际应用较为广泛，理论研究格外重要。本实验以教材74页例2的高尔顿钉板为背景，引导学生使用数学软件GeoGebra进行探究，借助Excel验证数据的准确性。既是对二项分布概率运算的综合运用，也引导学生动手构建数学模型。从实际入手，通过数学抽象，建立数学模型，生成数学理论，应用生活实际。 二．实验器材 Excel软件，GeoGebra软件 三．实验创新要点 （一）数字化模拟 通过计算机模拟高尔顿钉板实验，帮助学生更好的理解数学原理。 （2） 实时数据分析 在实验过程中可根据情况实时改变实验数据，通过Excel函数工具进一步验证数据可靠性和实用性。 （3） 交互式界面和可视化工具 通过GeoGebra的交互式界面，将二项分布可视化，以便学生直观感知数学的魅力。 四．实验原理 （一）知识原理 二项分布是概率论中的一个重要分布，用于描述大量独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。在每次试验中，记事件A发生的概率为p(0<p<1)，不发生的概率为1-p。如果进行n次独立的伯努利试验，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 ,n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作X~B(n,p). （二）实验原理 以人教A版高中数学选择性必修三第七章第四节第一课时的例题2为背景，借助GeoGebra软件模拟11行铁钉的高尔顿钉板，此时第11行共有12个铁钉。由于每两个铁钉之间有一个空，水平底部则被分成了11个区域，将其依次编号为0，1，2，3，... ，11。当小球从最顶端的两个铁钉间隙下落时，它将以相同的可能性向左或向右碰撞下一排的铁钉，继续在两个铁钉的间隙之间落下，在下落过程中小球碰撞铁钉共10次，且每次下落后与铁钉的碰撞均为相互独立试验，持续下去直到小球完全落在水平底部的区域中。学生根据所学知识可知，小球下落的过程是一个10重伯努利试验，记X为小球向右碰撞次数，则X服从二项分布。通过学生实验操作和分析可以得到，小球落在编号0区域的条件是：小球自顶端下落过程中一直向左碰撞，即连续10次向左落下，0次向右碰撞，所以根据二项分布的公式可以计算落在第一个区域的概率为. 学生进一步猜想小球落在指定区域编号k时，小球有k次选择向右碰撞下落，有10-k次向左碰撞下落，即X～B(10，0.5），于是X的分布列为,10. 在大量小球下落结束后，能直观感知到11个区域内的小球数量存在差异，即小球落在各个区域的概率并不均等。小球聚集的位置的频率可以近似估计小球落地区域的概率，引导学生使用Excel软件调用相关函数计算各区域小球落地频率，并进行比较分析；进一步将高尔顿钉板推广到有n行铁钉，此时第n行有n+1个铁钉，底部有n个区域，学生自行选择数据借助Excel函数验证数据的准确性，归纳总结，反思升华。 高尔顿板可以通过演示小球下落的路径将二项分布可视化，帮助学生更直观的理解二项分布的特征和性质。 五．实验教学目标 （一）利用GeoGebra软件模拟二项分布概率模型，了解二项分布的概念及现实意义； （数学建模，直观想象，数学抽象） （二）能利用公式求服从二项分布的随机变量的概率，并用Excel软件加以验证； （数学运算，数据分析，逻辑推理） （三）培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。让学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想。 六．实验教学内容和教学过程 （一）实验准备工作 1.实验环境：传统式教学课堂，计算机机房。 2.实验环节：模拟试验，收集数据，整理数据，分析数据，总结反思。 （二）实验内容和教学过程 1.模拟试验：学生在传统教室和信息教室利用GeoGebra软件模拟小球下落的轨迹，如图1所示. 图1 2.收集数据：借助GeoGebra软件收集小球落在各区域的频数，见图2。 图2 3.整理数据：根据小球落地频数表，借助信息技术计算频率值，并作出频率分布直方图。 （1）借助Excel求解频率，见图3。 图3 （2）利用GeoGebra作出频率分布图，见图4。 图4 4.分析数据：观察频率分布表和直方图，分析实验数据。 （1）模拟结果：①中间位置概率高，两边位置概率低；②图形呈现一定对称性。 （2）理论验证：教师引导学生分析二项分布分布列的结构特征，从组合数的单调性和对称性阐述结论原理。 （3）比较分析：学生借助二项分布的分布列，动手演算，从试验的理论情况进行数据分析，进一步验证模拟结果；根据学生计算结果说明了本次试验小概率事件并未发生，展现了试验的随机性。 5.总结反思： （1）体验随机试验探究的一般步骤：模拟试验，收集数据，整理数据，分析数据，总结反思。 （2）从形的角度和数的特征将模拟结果和理论情况比对分析，验证了二项分布的实际应用，展现了二项分布的科学性。 七．实验效果评价 该实验教学立足于教材，基于教材例题进行模拟实验，结合了理论学习和实践操作，使学生能够更深入的的理解和应用所学知识。 （一）优点 1.直观性强 让学生亲眼目睹小球轨迹的无规律性和复杂性，进一步理解n重伯努利试验，结合二项分布的数学概念，培养学生的观察能力和探索精神。 2.激发学习兴趣 学生在观察高尔顿板试验时，会产生各种疑问和想法：轨迹不可预测，是否存在一定规律等。促进学生思考和讨论，增强学生对数学概念实际应用的认识。 3.体验科学方法 通过观察，记录，演算，分析，学生可以亲身经历科学的探究过程，学会如何提出假设，设计实验，验证并解释现象。 （二）不足之处 1.设备和软件要求 进行计算机模拟试验需要一定的硬件和软件支持，传统式教学环境会影响实验的顺利开展和效果。 2.技术复杂性 将信息技术融合教学可能会增加教学内容的复杂度，需要做足充分的准备，确保学生能够理解并掌握这两个领域的知识。 3.过分依赖工具 学生在进行模拟实验时，可能会过度依赖信息技术工具的实用性，而忽略了理论知识本身的价值，教师在教学中应引导学生加强对原理的学习和理解。 学科网（北京）股份有限公司 $$