7.4.1二项分布教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.1 二项分布 教学内容 重伯努利试验，二项分布及其数字特征. 教学目标 （1）能举例说明伯努利试验、重伯努利试验的特征；能用例子解释二项分布的特征，发展数学抽象素养. （2）会求二项分布的分布列、均值及方差，并能够应用该模型解决实际问题，发展逻辑推理和数学建模等素养. 教学重点与难点 （1）教学重点：重伯努利试验，二项分布及其数字特征. （2）教学难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布. 教学过程设计 引导语 前一单元我们学习了离散型随机变量的有关知识，即在一个确定的试验背景下，求指定的随机变量的分布列，并计算出该随机变量的均值和方差.就像学习一般函数概念后要学习基本初等函数一样，本节我们利用这些概率知识研究两类重要的概率模型——二项分布和超几何分布.二项分布是最常见的分布之一，19世纪以前的概率统计可以说是二项分布的天下，生活中，保险业是最早应用概率知识的领域，在有关调整保费以保证保险公司的业务量和公司利润达到一定要求的问题时，涉及大量二项分布的计算.另外，在人口统计问题中统计出生的男婴和女婴性别比例问题，医学领域某种传染源接触者感染与不感染的比例，某种化验结果阳性与阴性、某种治疗手段有效与无效等问题的统计分析，也都是典型的二项分布问题. 学习新的概率模型，我们必须要了解该模型的试验特征，随机变量的含义，概率的计算方法. 环节一 实例引入，提出问题 问题1 请看如下实例： （1）掷一枚质地均匀的硬币10次，其中恰好有4次正面向上的概率是多少？ （2）某妇产医院一天共出生了8个婴儿，其中恰有4个男婴的概率是多少？ （3）假设每名学生一年内发生意外伤害事故的概率为0.001，那么1000名学生一年内恰好2人发生意外伤害事故的概率是多少？ （4）袋子中有4个红球，6个白球，从中有放回地抽取4个球，其中有2个红球的概率是多少？ 针对上述几个例子的解决，先回答以下问题： （1）试验内容是什么、每次试验有几种结果？ （2）试验关注的事件A是什么，概率是多大？ （3）试验重复的次数是多少？ （4）各次试验的结果是否独立？ （5）关注的随机变量是什么？ 师生活动 学生思考回答，教师辅助汇总答案，并将所有回答整理成表格如下. 表7.3-1 编号 试验 结果个数 事件A 重复试验次数 各次试验是否独立 关注的随机变量 （1） 掷硬币 2 正面朝上 0.5 10 是 正面朝上的次数 （2） 观察婴儿性别 2 男婴 0.5 8 是 出生的男婴数 （3） 观察是否发生意外伤害 2 发生意外伤害 0.001 1000 是 发生意外伤害的人数 （4） 摸球试验 2 摸到红球 0.4 4 是 摸到红球的个数 设计意图 学生在多个具体实例中充分感知“伯努利试验”“独立”“重复”等试验特征，为抽象重伯努利试验的特征和二项分布的概念做好准备；用问题串的方式启发学生从实际问题中，抓住“试验特征→定义随机变量→求概率”的建模路径；通过表格呈现关键信息，有利于从具体实例中抽象概念. 环节二 抽象概念，内涵辨析 问题2 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.那么这些随机试验具有什么相同的特征？ 师生活动 经过学生小组讨论，汇报成果，教师引导、启发、点评，师生共同总结，抽象得到重伯努利试验的特征. 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验. 追问 伯努利试验和重伯努利试验有何不同，重伯努利试验有何特征？ 伯努利试验是一个“只有两个结果的试验”，只关注某个事件A发生或不发生；重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了次，所以关注点是这次重复试验中“事件A发生的次数”.进一步地，因为是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列. 重伯努利试验具有如下共同特征： （1）重复——同一个伯努利试验重复做次（每次A发生的概率相同）； （2）独立——各次试验的结果相互独立. 设计意图 在抽象重伯努利试验的特征时，需要特别关注关键词“伯努利试验” “重复”“独立”的含义，帮助学生更好地理解重伯努利试验的特征. 问题3 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 师生活动 先由学生自主思考，尝试解决，然后师生共同完成. 分析：用表示“第次射击中靶”，用如下的树状图7.3-1表示试验的可能结果. 由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得