精品解析：河北省保定市涿州市2022-2023学年七年级上学期期末模拟数学试题

涿州市2022-2023学年七年级（上）数学期末模拟测试 一、选择题（本题共16个小题，1~10小题各3分；11~16小题各2分，共 42分．下列各题，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 的绝对值是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示，由A到B有①，②，③三条路线，最短的路线选①的理由是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点间距离的定义 C. 两点之间，线段最短 D. 因为它是直线一部分 3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程的变形中，正确的是（　　） A. 由2x+1＝x得2x﹣x＝1 B. 由3x＝2得x＝ C. 由得x＝ D. 由﹣得﹣x+1＝6 5. 下面不是正方体展开图的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程的解是，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 某商品原价为元，以元出售，则下列说法中，能正确表达该商品出售价格的是（ ） A. 先打3折，再降5元 B. 先打7折，再降5元 C. 先降5元，再打3折 D. 先降5元，再打7折 8. 一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（　　） A. ab B. 10a+b C. 10b+a D. ba 9. 如图，OA是点O北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（ ） A 北偏西30° B. 北偏西60° C. 东偏北30° D. 东偏北60° 10. 下列结论正确的是（ ） A. 和同类项 B. 不是单项式 C. 一定比大 D. 是方程的解 11. 已知无论，取什么值，多项式的值都等于定值，则等于( ) A. B. C. D. 12. 下列说法中，错误的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 若线段，则点是线段的中点 C. 两点确定一条直线 D. 直线和直线是同一条直线 13. 如图是嘉淇的答卷，他答对的题数是( ) 姓名：嘉淇 判断题. ①绝对值等于它本身的数是正数.（√） ②2的倒数是.（×） ③将8.20382精确到0.01为8.21.（×） ④.（√） ⑤40°的补角是50°.（√） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 已知关于x的方程的解是，则a的值是（ ） A B. C. 1 D. 2 15. 某校男生占全体学生数的48%，比女生少80人，设这个学校的学生数为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，电子蚂蚁在边长为1个单位长度的正方形的边上运动，电子蚂蚁从点出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动，电子蚂蚁从点出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动，则它们第2019次相遇在（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二.填空题（共3题，总计 12分） 17. 数轴上点A表示的数是，点B表示的数是2，则A，B两点的距离是________． 18. 已知三点在一条直线上，且若点是线段的中点，则线段的长度是_____． 19. 第1个图案需要6根小棒，第2个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第n个图案需要_____根小棒． 三.解答题（共7题，总计66分） 20. 计算： （1） （2） 21. 解方程： （1）； （2） 22. 已知A＝3x2﹣x＋2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y＋xy． （1）化简2A﹣3B． （2）当x＋y＝，xy＝﹣1，求2A﹣3B的值． 23. 今年秋季，斗门土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙，丙三种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一士特产，且必须装满，设装运甲种士特产的汽车有x辆，装运乙种特产的汽车有y辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 丙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 6 每吨土特产获利（元） 1000 900 1600 （1）装运丙种土特产的车辆数为　 　辆（用含有x，y的式子表示）； （2）用含有x，y的式子表示这10辆汽车共装运土特产的数量； （3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x，y的式子表示）． 24. 阅读材料并回答问题： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 同学一：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图， ，平分 _________________． ， ______________________． 同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．” 请你完成以下问题： （1）将同学一的解答过程空缺部分补充完整，能正确求出图中的度数． （2）判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图中画出一种情况对应的图形，并求的度数． 25. “文明其精神，野蛮其体魄”，为进一步提升学生体质健康水平，我市某校计划用1120元购买20个体育用品，备选体育用品及单价如表： 备用体育用品 足球 篮球 排球 单价（元） 80 60 40 （1）若1120元全部用来购买足球和排球共20个，求足球和排球各买多少个？ （2）若学校先用一部分资金购买了个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和篮球，此时正好剩余20元，求的值． 26. 以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，且直角三角板在直线的上方． （1）如图1，若直角三角板的一边在射线上，则 ； （2）如图2，直角三角板的边在的内部． ①若恰好平分，求和的度数； ②请直接写出与之间的数量关系； （3）若，求此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 涿州市2022-2023学年七年级（上）数学期末模拟测试 一、选择题（本题共16个小题，1~10小题各3分；11~16小题各2分，共 42分．下列各题，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 的绝对值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查绝对值，熟练掌握求一个数的绝对值是解题的关键． 2. 如图所示，由A到B有①，②，③三条路线，最短的路线选①的理由是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两点间距离的定义 C. 两点之间，线段最短 D. 因为它是直线一部分 【答案】C 【解析】 【分析】利用线段的性质进而直接得出答案． 【详解】解：由A到B有①、②、③三条路线， 最短的路线选①的理由是：两点之间，线段最短． 故选：C． 【点睛】本题考查的是两点之间，线段最短的实际应用，掌握“几何基本事实或图形的性质在生活中的应用”是解本题的关键. 3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：3240万， 故选：C． 4. 下列方程的变形中，正确的是（　　） A. 由2x+1＝x得2x﹣x＝1 B. 由3x＝2得x＝ C. 由得x＝ D. 由﹣得﹣x+1＝6 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式的基本性质分别计算各选项即可． 【详解】解：A．移项得2x﹣x＝﹣1，故该选项错误，不符合题意； B．系数化为1得x＝，故该选项错误，不符合题意； C．系数化为1得x＝，即x＝，故该选项正确，符合题意； D．去分母得：﹣（x+1）＝6，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，考核学生的计算能力，D选项中的分子是一个整体，去分母后要加括号． 5. 下面不是正方体展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正方体展开图共分四种模型，依次为“1—4—1型”、“2—3—1型”、“2—2—2型”、“3—3型”，据此进一步判断即可． 【详解】A选项属于正方体展开图的1—4—1型； B选项属于正方体展开图的2—3—1型； D选项属于正方体展开图2—2—2型； 以上三者皆可折叠成一个正方体， C选项不能，因为在折叠过程之中会有正方形重叠， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体展开图的识别，熟练掌握相关概念是解题关键． 6. 已知关于的方程的解是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把x=3代入方程得出3m+2=3，求出方程的解即可． 【详解】解：把x=3代入方程 得3m+2=3， 解得：m=， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于m的一元一次方程是解此题的关键． 7. 某商品原价为元，以元出售，则下列说法中，能正确表达该商品出售价格的是（ ） A. 先打3折，再降5元 B. 先打7折，再降5元 C. 先降5元，再打3折 D. 先降5元，再打7折 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意确定出代数式表示的意义即可． 【详解】解：某商品原价为元，以元出售， 原价乘表示该商品出售价格的是打7折，所得的积再减5表示再降5元． 故选：B． 【点睛】此题考查了列代数式，弄清代数式的意义是解本题的关键． 8. 一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（　　） A. ab B. 10a+b C. 10b+a D. ba 【答案】C 【解析】 【分析】根据数的表示，两位数=10×十位数字+个位数字，将对应字母或数值代入即可求解． 【详解】解：由题意可知，该两位数可表示为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是列代数式，重点在于掌握多位数用字母表示． 9. 如图，OA是点O北偏东30°方向的一条射线，若射线OB与射线OA垂直，则OB的方位角是（ ） A. 北偏西30° B. 北偏西60° C. 东偏北30° D. 东偏北60° 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据射线OA和OB垂直，得∠AOB=90°，在求出∠BOC得度数，最后判断方位角即可. 【详解】因为射线OA和OB垂直， 所以∠AOB=90°. 因为∠AOC=30°， 所以∠BOC=90°-30°=60°， 所以OB的方位角是北偏西60°. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了方位角的判断，求出角的度数是解题的关键. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 和是同类项 B. 不是单项式 C. 一定比大 D. 是方程的解 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据同类项的定义，单项式的定义，相反数的定义以及一元一次方程的解的定义逐一判断即可． 【详解】A．−3ab2和b2a是同类项，故本选项符合题意； B．a是单项式，故本选项不合题意； C．当a为负数时，a＜−a，故本选项不合题意； D.3不是方程-x＋1＝4的解，方程-x＋1＝4的解为x＝-3，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，同类项以及单项式，熟记相关定义是解答本题的关键． 11. 已知无论，取什么值，多项式的值都等于定值，则等于( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将（2x2-my+12）-（nx2+3y-6）化简，然后令含x、y的项系数为零，即可求得m、n的值，从而可以得到m+n的值． 【详解】（2x2-my+12）-（nx2+3y-6） =2x2-my+12-nx2-3y+6 =（2-n）x2+（-m-3）y+18， ∵无论x，y取什么值，多项式（2x2-my+12）-（nx2+3y-6）的值都等于定值18， ∴，得， ∴m+n=-3+2=-1， 故选：D． 【点睛】此题考查整式的加减，解题的关键是明确整式加减的计算方法． 12. 下列说法中，错误的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 若线段，则点是线段的中点 C. 两点确定一条直线 D. 直线和直线是同一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线和线段，解题的关键是掌握其性质和表示方法． 根据线段性质可得A正确；根据线段中点定义可得B错误；根据直线性质可得C正确；根据直线表示方法可得D正确，即可解答． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，说法正确； B、若线段，则点是线段的中点，说法错误，因为A、B、C三点不一定在同一条直线上； C、两点确定一条直线，说法正确； D、直线和直线是同一条直线，说法正确； 故选：B． 13. 如图是嘉淇的答卷，他答对的题数是( ) 姓名：嘉淇 判断题. ①绝对值等于它本身的数是正数.（√） ②2的倒数是.（×） ③将8.20382精确到0.01为8.21.（×） ④.（√） ⑤40°的补角是50°.（√） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、倒数的定义、精确度的定义、角度单位换算制、补角的定义逐个判断即可得． 【详解】解：①绝对值等于它本身的数是正数和0，则正确答案是（×），不符合题意； ②2的倒数是，则正确答案是（×），符合题意； ③将8.20382精确到0.01为8.20，则正确答案是（×），符合题意； ④，则正确答案是（√），符合题意； ⑤的补角是，则正确答案是（×），不符合题意； 综上，他答对的题数是3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值、倒数、精确度、角度单位换算制、补角，熟练掌握各定义是解题关键． 14. 已知关于x的方程的解是，则a的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等． 【详解】解：根据题意得：， 解得：a=1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了方程解的定义，掌握将方程的解代入原方程是解题的关键． 15. 某校男生占全体学生数的48%，比女生少80人，设这个学校的学生数为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这个学校的学生数为，根据某校男生占全体学生人数的，比女生少80人列出方程解答即可． 【详解】解：设这个学校的全体学生人数为， 由题意得，． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 16. 如图，电子蚂蚁在边长为1个单位长度的正方形的边上运动，电子蚂蚁从点出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动，电子蚂蚁从点出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作逆时针运动，则它们第2019次相遇在（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】设两只电子蚂蚁每隔秒相遇一次，根据正方形周长=二者速度之和×时间，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出两只电子蚂蚁每隔2秒相遇一次，再结合电子蚂蚁Q的速度、出发点及运动方向可得出它们第1次、第2次、第3次、第4次、第5次……相遇点，结合2019÷4=504……3可得出结论． 【详解】设两只电子蚂蚁每隔秒相遇一次， 根据题意得：， 解得：． ∵电子蚂蚁P从点A出发，以个单位长度/秒的速度绕正方形作顺时针运动， ∴它们第1次相遇电子蚂蚁P走了个单位长度，相遇在B点， 同理，第2次相遇在C点，第3次相遇在D点，第4次相遇在A点，第5次相遇在B点，第6次相遇在C点，…． 又∵2019÷4=504……3， ∴第2019次相遇和第3次相遇地点相同，即第2019次相遇在点D． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，根据电子蚂蚁P的运动速度、方向、时间，找出各次相遇点是解题的关键． 二.填空题（共3题，总计 12分） 17. 数轴上点A表示的数是，点B表示的数是2，则A，B两点的距离是________． 【答案】5 【解析】 【分析】直接利用数轴上两点之间距离求法进而得出答案． 【详解】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2， ∴A，B两点间的距离是：2-（-3）=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，正确把握数轴上两点之间距离求法是解题关键． 18. 已知三点在一条直线上，且若点是线段的中点，则线段的长度是_____． 【答案】2或5 【解析】 【分析】根据题意，可分为：①点C在线段AB上时，求出BC的长度，再根据线段中点的定义解答；②点C在线段AB外时，求出BC的长度，再根据线段中点的定义解答． 【详解】解：根据题意，有： ①当点C在线段AB上时， ∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴ ； ②当点C在线段AB外时， ∵，， ∴，， ∵点是线段的中点， ∴ ； 故答案为：或. 【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键在于要分点C在线段AB上与AB外两种情况讨论． 19. 第1个图案需要6根小棒，第2个图案需要11根小棒，第3个图案需要16根小棒…，则第n个图案需要_____根小棒． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律．根据所给的图形不难得出第个图形小棒的根数为，从而解题． 【详解】图案（2）比图案（1）多了5根小棒，图案（3）比图案（2）多了5根小棒， 根据图形的变换规律可知： 每个图案比前一个图案多5根小棒， ∵第1个图案所需要6根小棒，， 第2个图案所需要11根小棒，， 第3个图案所需要16根小棒，， ∴第n个图案需要的小棒：． 故答案为：． 三.解答题（共7题，总计66分） 20. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2）﹣20 【解析】 【分析】（1）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值； （2）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值． 【小问1详解】 解： ＝﹣24+2.5÷0.1 ＝﹣24+25 ＝1 【小问2详解】 ＝﹣8﹣416 ＝﹣8﹣4﹣8 ＝﹣20． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【小问1详解】 解：2（x+3）-3=7（x-1）-3x， 去括号，得2x+6-3=7x-7-3x， 移项，得2x-7x+3x=3-6-7， 合并同类项，得-2x=-10， 系数化为1，得x=5； 【小问2详解】 解：， 去分母，得3（3y+1）=2（5y-1）+6， 去括号，得9y+3=10y-2+6， 移项，得9y-10y=-3+4， 合并同类项，得-y=1， 系数化为1，得y=-1． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键． 22. 已知A＝3x2﹣x＋2y﹣4xy，B＝2x2﹣3x﹣y＋xy． （1）化简2A﹣3B． （2）当x＋y＝，xy＝﹣1，求2A﹣3B值． 【答案】（1）7x+7y﹣11xy （2）17 【解析】 【分析】（1）根据整式加减法则进行化简即可； （2）整体代入数值求值即可． 【小问1详解】 解：2A﹣3B ＝2（3x2﹣x+2y﹣4xy）﹣3（2x2﹣3x﹣y+xy） ＝6x2﹣2x+4y﹣8xy﹣6x2+9x+3y﹣3xy ＝7x+7y﹣11xy； 【小问2详解】 ∵x+y＝，xy＝﹣1， ∴2A﹣3B＝7x+7y﹣11xy＝7（x+y）﹣11xy＝7×﹣﹣11×（﹣1）＝6+11＝17． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用整式运算法则进行化简，整体代入数值进行计算． 23. 今年秋季，斗门土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙，丙三种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一士特产，且必须装满，设装运甲种士特产的汽车有x辆，装运乙种特产的汽车有y辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 丙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 6 每吨土特产获利（元） 1000 900 1600 （1）装运丙种土特产的车辆数为　 　辆（用含有x，y的式子表示）； （2）用含有x，y的式子表示这10辆汽车共装运土特产的数量； （3）求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有x，y的式子表示）． 【答案】（1）(10﹣x﹣y)；（2）(60﹣2x﹣3y)吨；（3）(96000﹣5600x﹣6900y)元． 【解析】 【分析】（1）根据“装运丙种土特产的车辆数总汽车辆数装运甲种土特产的车辆数装运乙种土特产的车辆数”列式表达便可； （2）根据“装运甲种土特产的每辆车运载重量装运甲种土特产的车辆数装运乙种土特产的每辆车运载重量装运乙种土特产的车辆数装运丙种土特产的每辆车运载重量装运丙种土特产的车辆数辆汽车共装运土特产的数量”列出代数式并化简便可； （3）根据“甲种土特产每吨利润甲种土特产的总吨数乙种土特产每吨利润乙种土特产的总吨数丙种土特产每吨利润丙种土特产的总吨数总利润”列出代数式，并化简便可． 详解】解：（1）由题意得， 装运丙种土特产的车辆数为：（辆 故答案为：； （2）根据题意得， ， 答：这10辆汽车共装运土特产的数量为吨； （3）根据题意得， 答：销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为元． 【点睛】本题主要考查了列代数式和整式的加减应用，正确理解各种数量关系之间的运算关系是列代数式的关键所在． 24. 阅读材料并回答问题： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，，平分．若，请你补全图形，并求的度数． 同学一：以下是我的解答过程（部分空缺） 解：如图， ，平分 _________________． ， ______________________． 同学二：“符合题目要求的图形还有一种情况．” 请你完成以下问题： （1）将同学一的解答过程空缺部分补充完整，能正确求出图中的度数． （2）判断同学二的说法是否正确，若不正确，请说明理由；若正确，请你在图中画出一种情况对应的图形，并求的度数． 【答案】（1）45，，110； （2）正确，图见解析，． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，熟练掌握并运用相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的定义即可得到，再根据结合图形即可求得； （2）同理（1）结合图形即可得出． 【小问1详解】 解：如图， ，平分， ． ， ． 即． 故答案为：45，，110； 【小问2详解】 解：正确．所画图形为： ，平分， ． ， ． 25. “文明其精神，野蛮其体魄”，为进一步提升学生体质健康水平，我市某校计划用1120元购买20个体育用品，备选体育用品及单价如表： 备用体育用品 足球 篮球 排球 单价（元） 80 60 40 （1）若1120元全部用来购买足球和排球共20个，求足球和排球各买多少个？ （2）若学校先用一部分资金购买了个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和篮球，此时正好剩余20元，求的值． 【答案】（1）购买足球8个，排球12个； （2）的值为10 【解析】 【分析】（1）设购买足球个，则购买排球个，根据题意列一元一次方程，解方程求解即可； （2）根据题意求得购买足球和排球的数量均为个，进而根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可． 【小问1详解】 设购买足球个，则购买排球个， 依题意得：， 解得：， ． 答：购买足球8个，排球12个． 【小问2详解】 ∵我市某校计划用1120元购买20个体育用品，购买了个排球，再用剩下的资金购买了相同数量的足球和篮球， ∴购买足球和排球数量均为个． 依题意得： 解得：． 答：的值为10 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 26. 以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，且直角三角板在直线的上方． （1）如图1，若直角三角板的一边在射线上，则 ； （2）如图2，直角三角板的边在的内部． ①若恰好平分，求和的度数； ②请直接写出与之间的数量关系； （3）若，求此时的度数． 【答案】（1）40°； （2）①；②； （3）30°或60°． 【解析】 【分析】本题考查了余角，角平分线的定义，熟练掌握余角，角平分线的定义，分情况讨论是解题关键． （1）根据两个角互为余角，求出的度数； （2）①根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出； ②根据角的和差关系求出与之间的数量关系； （3）分两种情况分别论述：第一种情况，如图2，当在的内部时，第二种情况，如图3，当在的外部时，分别计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：40°； 【小问2详解】 解：如图2 ①∵， ∴， ∵恰好平分 ∴， ∴； ②与之间的数量关系为：； ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 【小问3详解】 解：第一种情况，如图2，当在的内部时， ∵ ∴． ∵ ∴ ∵， ∴ ∴； 第二种情况，如图3，当在的外部时， ∵， ∴． ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 综上所述，的度数为30°或60°． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$