精品解析：福建省漳州市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

福建省漳州市2023-2024学年 九年级上学期数学期末考试模拟试卷 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. 菱形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 矩形 3. 一元二次方程x2－2x－3=0配方后可变形为（　　） A. （x－1）2=2 B. （x－1）2=4 C. （x－1）2=1 D. （x－1）2=7 4. 若反比例函数的图像在第一、第三象限，则可能取的一个值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（　　） A B. C. D. 6. 若点都在反比例函数图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某商店营业大厅自动扶梯的坡度为，过点B作，垂足为点C．若大厅水平距离的长为，则两层之间的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以点O为位似中心，把 放大2倍得到，则以下说法中错误的是（　　） A. B. C. D. 点 三点在同一直线上 9. 已知y是x二次函数，y与x的部分对应值如表所示，若该二次函数图象向左平移后通过原点，则应平移（ ） x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … A 1个单位 B. 2个单位 C. 3个单位 D. 4个单位 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，则点C的坐标为（ ） A B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若sinA=，则锐角∠A=__°． 12. 若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为_________． 13. 如图，在中，分别为边上的中点，则与的周长的比值是_____． 14. 若关于x的方程有一个根是3，则的值是________． 15. 从这四个数中任取两数，积为6的概率是_________． 16. 如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，若，则k的值为_________． 三、解答题（共9题，满分86分） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，过点B作，垂足为E，过点C作，交的延长线于点．求证：四边形是菱形． 19. 我国古代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的大意是：如图，已知四边形是矩形，尺，尺，尺，求井深为多少尺？ 20. 如图，在中，． （1）求作点D，使四边形是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的长． 21. 新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习．为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 录播 5 18 14 13 直播 2 15 21 12 （1）从选择教学方式为“录播”学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于的概率； （2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在以下的共有多少人？ 22. 阅读下面材料，并完成问题． 任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形是“兄弟矩形”． 探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？ 小亮同学是这样探究的： 设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得． ， 的“兄弟矩形”B存在． （1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？ （2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求应满足的条件． 23. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． （1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ （2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 24. 在中，，点D在边上，且不与点重合，以为边作正方形，连接． （1）如图1，求证：； （2）若直线与直线相交于点，求的长．（用只含a的式子表示） 25. 已知抛物线经过两点． （1）求b的值； （2）当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围； （3）若方程的两实根满足，且，求p的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省漳州市2023-2024学年 九年级上学期数学期末考试模拟试卷 一、单选题（共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性值计算即可； 【详解】∵， ∴； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A 菱形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、菱形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、平行四边形中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意； D、矩形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 3. 一元二次方程x2－2x－3=0配方后可变形为（　　） A. （x－1）2=2 B. （x－1）2=4 C. （x－1）2=1 D. （x－1）2=7 【答案】B 【解析】 【分析】先把常数项移项到方程的右边，再在方程两边都加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解： 故选B 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 4. 若反比例函数的图像在第一、第三象限，则可能取的一个值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得m的取值范围即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第一、第三象限， ∴1﹣m＞0， ∴m＜1， 四个选项中，只有0＜1， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数性质、解一元一次不等式，解答的关键是掌握反比例函数，当k＞0时，反比例函数的图象在第一、三象限；当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限． 5. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过 C 作 CD⊥AB 于 D ，首先根据勾股定理求出 AC ，然后在 RtΔACD 中即可求出 cos∠BAC 的值． 【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵AD＝3，CD＝4， ∴由勾股定理可知：， ∴cos∠BAC＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，要注意三种锐角三角函数的区别，正确作出辅助线是解题的关键． 6. 若点都在反比例函数图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像分布，确定在第四象限，在第二象限，从而确定最小，根据反比例函数的性质，确定，从而得到答案． 【详解】∵点都在反比例函数图象上， ∴在第四象限，在第二象限， ∴＜0，0，＞0，且在第二象限内，y随x的增大而增大， ∵-2＞-3， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数图像的分布，反比例函数的基本性质，根据图像分布，熟练应用性质，根据自变量的属性，利用分类思想，判断其对应函数值的大小是解题的关键． 7. 如图，某商店营业大厅自动扶梯的坡度为，过点B作，垂足为点C．若大厅水平距离的长为，则两层之间的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用坡度的定义进而得出，求出答案即可． 【详解】解：∵的坡度为，过点作，垂足为点，大厅水平距离的长为， ∴， 则（m）． 故选：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键． 8. 如图，以点O为位似中心，把 放大2倍得到，则以下说法中错误的是（　　） A. B. C. D. 点 三点在同一直线上 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似的性质可得，然后根据相似三角形的性质分别进行分析判断即可解答 题目主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形及相似三角形的性质是解题关键 【详解】解：∵点O为位似中心，把中放大到原来的2倍得到， ∴，，，经过点O， ∴ ∴A、B、D正确，C错误，符合题意； 故选：C 9. 已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如表所示，若该二次函数图象向左平移后通过原点，则应平移（ ） x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … A. 1个单位 B. 2个单位 C. 3个单位 D. 4个单位 【答案】C 【解析】 【分析】由表格可得点与点是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线，进而可得点是二次函数的顶点，故设二次函数解析式为，然后代入点可得二次函数解析式，最后问题可求解． 【详解】解：由表格可得点与点是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线， ∴点是二次函数的顶点， 设二次函数解析式，代入点可得：， ∴二次函数解析式为， ∵该二次函数图象向左平移后通过原点， ∴设平移后的解析式为， 代入原点可得：，解得：(舍去)， ∴该二次函数的图象向左平移3个单位长度； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及平移，熟练掌握二次函数的图象与性质及平移是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点B作BF⊥x轴，垂足为F，证明△ADO∽△BAF，确定点B的坐标，利用中点坐标公式确定点E的坐标，二次运用中点中点坐标公式即可确定点C的坐标． 【详解】如图，过点B作BF⊥x轴，垂足为F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAO+∠BAF=90°， ∵∠DAO+∠ADO=90°， ∴∠ADO=∠BAF， ∴△ADO∽△BAF， ∴OA：BF=OD：FA， ∵轴，若， ∴OA=1，OD=2,BF=2， ∴1：2=2：FA， ∴FA=4， ∴点B（5,2）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴点E是BD的，AC的中点， ∴点E（,2）， 设点C的坐标为（m，n）， ∴ ∴m=4，n=4, ∴点C的坐标为（4，4）， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定与性质，中点坐标公式，平行x轴直线上点的坐标特点，构造辅助线证明三角形的相似，灵活运用中点坐标公式是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 若sinA=，则锐角∠A=__°． 【答案】60． 【解析】 【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可得． 【详解】解：若sinA=，则锐角∠A=60°， 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值． 12. 若正方形的对角线的长为4，则该正方形的面积为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：∵正方形的一条对角线的长为4， ∴这个正方形的面积=×4²=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键． 13. 如图，在中，分别为边上的中点，则与的周长的比值是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形中位线的定义及性质可得DE∥BC，DE＝BC，再利用相似三角形的判定及性质即可求出答案． 【详解】解：∵、分别为、边上的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE＝BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴与的周长的比值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定求解三角形的周长比． 14. 若关于x的方程有一个根是3，则的值是________． 【答案】-9 【解析】 【分析】把3代入方程求解即可； 【详解】∵3是方程的一个根， ∴， ∴； 故答案是-9． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，准确计算是解题的关键． 15. 从这四个数中任取两数，积为6的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，有12个等可能的结果，其中积为6的结果有4个，再由概率公式求解即可． 【详解】树状图如图所示 共有12个等可能的结果，其中积为6的结果有4个， ∴任取两个数，积为6的概率为 故答案为： 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 16. 如图，点A在双曲线上，连接，作，交双曲线于点B，若，则k的值为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】过点A作轴，过点B作轴，利用相似三角形的性质求解即可； 【详解】过点A作轴，过点B作轴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A在上， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴B的坐标为， 将点B的坐标代入， 则； 故答案是8． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，准确计算是解题的关键． 三、解答题（共9题，满分86分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，将原方程变形为，从而得出或，在解方程即可得出答案，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， 解得：，． 18. 如图，在中，过点B作，垂足为E，过点C作，交的延长线于点．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出证明的判定条件AAS，得出AB=BC，根据菱形的判定条件：邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． 在△BEA与△CFB中 ∴（AAS） ∴． ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查三角形的判定和性质，菱形的判定条件：邻边相等的平行四边形是菱形，熟练掌握判定和性质是解题的关键 19. 我国古代数学著作《九章算术》中有“井深几何”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的大意是：如图，已知四边形是矩形，尺，尺，尺，求井深为多少尺？ 【答案】井深为57.5尺 【解析】 【分析】方法一：根据已知条件证明，得到，代入计算即可；方法二：根据已知条件证明，得到，代入计算即可 【详解】解：方法一： 四边形是矩形，， ， ， 即． （尺）． 答：井深为57.5尺． 方法二： 四边形是矩形，， ， ， 即 ． （尺）． 答：井深为57.5尺． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，准确计算是解题的关键． 20. 如图，在中，． （1）求作点D，使四边形是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）分别以点A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，交于一点D，然后连接即可； （2）由题意易得，然后根据矩形的性质及勾股定理可求解． 【详解】解：（1）如图所示， 四边形就是所求作的矩形； （2）在中， ， ， ， 四边形是矩形， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及三角函数，熟练掌握矩形的性质及三角函数是解题的关键． 21. 新冠疫情期间，某校有“录播”和“直播”两种教学方式供学生自主选择其中一种进行居家线上学习．为了了解该校学生线上学习参与度情况，从选择这两种教学方式的学生中，分别随机抽取50名进行调查，调查结果如表（数据分组包含左端值不包含右端值）． 录播 5 18 14 13 直播 2 15 21 12 （1）从选择教学方式为“录播”的学生中任意抽取1名学生，试估计该生的参与度不低于的概率； （2）若该校共有1200名学生，选择“录播”和“直播”的人数之比为，试估计选择“录播”或“直播”参与度均在以下的共有多少人？ 【答案】（1）；（2）75人 【解析】 【分析】（1）用表格中“录播”教学方式学生参与度在50%以上的人数除以被调查的总人数即可估计对应概率； （2）先根据“录播”和“直播”的人数之比为3：5及该校学生总人数求出“直播”、“录播”人数，再分别乘以两种教学方式中参与度在20%以下人数所占比例求出对应人数，再相加即可得出答案． 【详解】解：（1）估计该生的参与度不低于的概率为； 故答案为： （2）∵选择“录播”的学生数为， 选择“直播”的学生数为． 选择“录播”参与度在以下的学生数为， 选择“直播”参与度在以下的学生数为． ， 估计参与度均在以下的学生共有75人． 故答案为75人 【点睛】本题考查统计与概率相关知识，熟练掌握相关计算公式是解决此题的关键 22. 阅读下面材料，并完成问题． 任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是矩形A的一半，则称矩形是“兄弟矩形”． 探究：当矩形A的边长分别为7和1时，是否存在A的“兄弟矩形”B？ 小亮同学是这样探究的： 设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得． ， 的“兄弟矩形”B存在． （1）若已知矩形A的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A的“兄弟矩形”B是否存在？ （2）若矩形A的边长为m和n，当A的“兄弟矩形”B存在时，求应满足的条件． 【答案】（1）不存在；（2） 【解析】 【分析】（1）按照小亮的方法，进行计算即可； （2）先根据小亮的方法列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式即可． 【详解】解：（1）设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得， ， 的“兄弟矩形”B不存在． （2）设所求矩形的两边分别是x和y， 由题意，得 由①，得，③ 把③代入②，得， 整理，得， ， 又都是正数， 当时，A的“兄弟矩形”B存在． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式． 23. 平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． （1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ （2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 【答案】（1）每顶头盔应降价20元； （2）或4． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，根据每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定的值； （2）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元，利用每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合且为整数，即可得出的值． 【小问1详解】 解：设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， ． 答：每顶头盔应降价20元； 【小问2详解】 解：设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元， 依题意得：． 抛物线的对称轴为，开口向下，当时，利润仍随售价的增大而增大， ， 解得：， 又∵，且为整数， 或． 24. 在中，，点D在边上，且不与点重合，以为边作正方形，连接． （1）如图1，求证：； （2）若直线与直线相交于点，求长．（用只含a的式子表示） 【答案】（1）见解析；（2）或或0． 【解析】 【分析】（1）设法证明，证明∠BCF是直角即可； （2）作于Q，分点D在的左侧，与Q重合和在AQ右侧，三种情形求解即可． 【详解】解：（1）如图1，四边形是正方形， ． ． ． ． ， ． ． ． （2）作于Q． 是等腰直角三角形，， ． ①如图2，当点D在的左侧时，． ， ． ， ， ， 即 ． ②如图3，当点D在的右侧时，． ， ． ， ， ， 即， ． ③如图4，当点D与点Q重合时，点三点重合， 此时． 综上所述，或或0. 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等，三角形的相似，等腰直角三角形的性质，分类思想，构造等腰直角三角形斜边上高，分类用相似的方法计算是解题的关键． 25. 已知抛物线经过两点． （1）求b的值； （2）当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围； （3）若方程的两实根满足，且，求p的最大值． 【答案】（1）；（2）或；（3）当时，p最大值为1 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的对称轴为直线求解即可； （2）分两种情况讨论①当公共点是顶点时，②当公共点不是顶点时，解答即可； （3）根据根与系数的关系得出x的取值范围，再根据二次函数的增减性求出p的最大值． 【详解】解：（1）∵抛物线经过两点， 抛物线的对称轴为直线． ． ． （2）由（1）得，抛物线的解析式为， 对称轴为直线，且当时， 抛物线与x轴有且只有一个公共点， ①当公共点是顶点时， ，解得． ②当公共点不是顶点时， 当时，，且当时，． 解得． 综上所述，c的取值范围是或． （3）解法一：由（1）知，设． 方程的两实根为， 抛物线与x轴交点的横坐标为， ，即． ． ， ． ． ． 当时，p随的增大而增大， 当时，p的最大值为1. 解法二：由（1）知． 方程的两实根为， ，即，① ，即② ①－②，得， ． ， ． ． 即． 当时，p随的增大而减少， 当时，p最大值为1. 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，不等式的性质等知识，解题的关键是能用分类讨论的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$