精品解析：广西壮族自治区梧州市万秀区城东镇2022-2023学年八年级上学期期末数学试题

梧州市万秀区城东镇2022—2023学年第一学期八年级（上）期末考试数学试卷 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 如图，，则有（　　） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 2. 以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（　　） A. 2，3，6 B. 3，4，8 C. 5，6，10 D. 7，8，18 3. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 1，4，3 C. 2，6，3 D. 6，9，6 4. 如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ）． A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 扩大9倍 5. 如果代数式有意义，那么x取值范围是（　　） A. x≠﹣1 B. x≠1 C. x≠1且x≠0 D. x≠﹣1或x≠0 6. 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的2倍，设汽车到博物馆所需的时间为xh，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米 A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 8. 如图，在中，，，是的角平分线，则（ ） A. B. C. D. 9. 某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为（　　） A. B. C. D. 10. 比较与大小，结果是（　　） A. 前者大 B. 一样大 C. 后者大 D. 无法确定 11. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 12. 若数是关于的不等式组至少有个整数解且所有解都是的解，且使关于的分式有整数解．则满足条件的所有整数的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分） 13. 化简的结果是_______. 14. 如图，已知，是平分线上一点，，则______°. 15. 分解因式：________． 16. 在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________. 17. 如图，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是____海里． 18. 在平面直角坐标系中，等边的位置如图，若，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共7题，其中19~23题每题6分，24~25题每题8分，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）因式分解：； （2）解分式方程：． 20. 如图，已知，，，求证：． 21. 我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为． 再如：为“十字分式方程”，可化为，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则__________，__________； （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解； （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，求的值； 22. 如图，是等边三角形，延长到E，使．点D是边的中点，连接并延长交于F． （1）求的度数； （2）求证：． 23. 如图，，为、的平分线的交点，于，且，求与之间的距离． 24. 学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书单价比乙种图书贵4元，用3000元购进甲种图书的数量与用2400元购进乙种图书的数量相同． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买这两种图书共100本，请求出所需经费W（单位：元）与购买甲种图书m（单位：本）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，要使投入的经费不超过1820元，且使购买的甲种图书的数量不少于乙种图书数量，则共有几种购买方案？ 25. 如图1，已知，平分，点，，分别是射线，，上异于点的动点． （1）在图1中连接，若ABOC，则的度数为 °； （2）如图2，连接，若射线平分，则与的数量关系式是 ； （3）如图3，连接交射线于点（不与点重合），当且中有两个角相等时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梧州市万秀区城东镇2022—2023学年第一学期八年级（上）期末考试数学试卷 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 如图，，则有（　　） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 在与中， ， ， ， ∴垂直平分，故A正确， 无法得出，故不能垂直平分，故B和C错误， 也无法得出，故不能平分，故D错误， 故选：A． 2. 以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（　　） A. 2，3，6 B. 3，4，8 C. 5，6，10 D. 7，8，18 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系逐项判断即可得．三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边． 【详解】解：A、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形； B、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形； C、，满足三角形的三边关系定理，能组成三角形； D、，不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题关键． 3. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1，1，3 B. 1，4，3 C. 2，6，3 D. 6，9，6 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边满足任意两边之和大于第三边，只需两较短线段的和大于最长线段就能组成三角形． 【详解】解：A、1+1=2＜3，不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、1+3=4，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、2+3=5＜6，不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、6+6=12＞9，能组成三角形，故此选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握能够组成三角形三边的条件是解答的关键． 4. 如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ）． A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 扩大9倍 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可． 【详解】根据题意，得， ∴分式的值不变． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本型性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键． 5. 如果代数式有意义，那么x取值范围是（　　） A. x≠﹣1 B. x≠1 C. x≠1且x≠0 D. x≠﹣1或x≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得x-1≠0，再解不等式即可． 【详解】由题意得：x﹣1≠0， 解得：x≠1， 故选B． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不能等于零． 6. 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车速度的2倍，设汽车到博物馆所需的时间为xh，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设汽车到博物馆所需的时间为xh，根据时间＝路程÷速度，汽车的速度是自行车速度的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设汽车到博物馆所需的时间为xh，根据题意列方程得， ； 故选：C 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 7. 如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）米 A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】利用多边形的外角和得出小明回到出发地A点时左转的次数，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°， 所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米． 故选：C． 【点睛】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是360°． 8. 如图，在中，，，是的角平分线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：是的角平分线，， ， ，是的外角， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和． 9. 某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键描述语为：“共用了18天完成任务”，那么等量关系为：采用新技术前所用时间采用新技术后所用时间18天． 【详解】解：设计划每天加工x套服装， 那么采用新技术前所用时间为：， 采用新技术后所用时间为：， 则根据题意可得方程为：， 故选：B． 10. 比较与大小，结果是（　　） A. 前者大 B. 一样大 C. 后者大 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方及同底数幂的乘法，有理数大小比较，先把与变为，再比较底数，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 11. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 12. 若数是关于的不等式组至少有个整数解且所有解都是的解，且使关于的分式有整数解．则满足条件的所有整数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意解不等式组，用常数m表示其解集，通过不等式组至少有3个整数解且所有的解都是2x-5≤1的解，确定常数m的取值范围，其次，解分式方程，同样用含有常数m的代数式去表示方程的解，排除掉当解为增根时m的取值，从剩下的整数m的取值中选择使为整数的取值即可． 【详解】解： 化简得： ∴-5＜x≤m． 又∵2x-5≤1 解得，x≤3． 由不等式组至少有三个整数解且所有解都满足x≤3 故-2≤m≤3． 又∵ 整理得，4x-2-（3m-1）=2（x-1） 解得，x=． 由该方程有整数解，则≠1，且3m-1应为2的整数倍． 解得，m≠1． ∴在-2≤m≤3且m≠1中，满足3m-1应为2的倍数的整数m的取值有两个， 分别为，-1，3． 故选：D． 【点睛】本题考查了解分式方程时应考虑增根的情况，同时也考查了解不等式组的能力，以及确定不等式组中字母参数满足题意的值的判断方法． 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分） 13. 化简的结果是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． 【详解】+ = = = =， 故答案为. 【点睛】本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式． 14. 如图，已知，是平分线上一点，，则______°. 【答案】38.3° 【解析】 【分析】根据推出∠BAC=∠DAE，再根据是平分线上一点推出∠DAC= ∠BAC，即可求出∠CAE. 【详解】解：∵ ∴∠BAC=∠DAE=76.6° ∵是平分线上一点 ∴∠DAC=∠BAC=38.3° ∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=38.3°. 故答案为：38.3°. 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质与角平分线的性质，求出∠DAC=∠BAC是解题的关键. 15. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用十字相乘法分解，首先根据多项式乘以多项式的法则把原式整理，可得：原式，再把看作一个整体，利用多项式乘以多项式的法则展开，可得：原式，把看作一个整体利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 16. 在将因式分解时，小刚看错了m的值，分解得；小芳看错了n的值，分解得，那么原式正确分解为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用多项式乘多项式法则先算乘法，根据因式分解与乘法的关系及小刚、小明没有看错的值确定m、n，再利用十字相乘法分解整式即可． 【详解】解：（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6， ∵小刚看错了m的值， ∴n＝﹣6； （x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2， ∵小芳看错了n的值， ∴m＝﹣1． ∴x2+mx+n ＝x2﹣x﹣6 ＝（x﹣3）（x+2）． 故答案为：（x﹣3）（x+2）． 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根据乘法与因式分解的关系确定m、n的值是解决本题的关键． 17. 如图，一条船从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是____海里． 【答案】40 【解析】 【分析】先根据方位角的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得． 【详解】由题意得：（海里）， ， ， 海里， 即海岛B到灯塔C的距离是40海里， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了方位角、等腰三角形的判定、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键． 18. 在平面直角坐标系中，等边的位置如图，若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AC⊥OB于点C，根据题意可得OC=CB=3，然后根据勾股定理可求AC，进而问题可求解． 【详解】解：过点A作AC⊥OB于点C，如图所示： ∵△AOB是等边三角形，OB=6， ∴OC=BC=3，OA=OB=6， 在Rt△ACO中，， ∴点A的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握坐标系中求一个点的坐标是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，其中19~23题每题6分，24~25题每题8分，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）因式分解：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）（2）无解 【解析】 【分析】（1）原式前三项作为一组，先用完全平方公式、再用平方差公式分解即可； （2）根据解分式方程的方法和步骤解答即可． 【详解】解：（1）原式=； （2）去分母，得， 解得：x=4， 经检验：x=4是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解和分式方程的解法，属于基础题型，熟练掌握分解因式的方法和分式方程的解法是解此题的关键． 20. 如图，已知，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，再根据线段的和差关系得到，由此即可利用证明． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 21. 我们把形如（不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为． 再如：为“十字分式方程”，可化为，． 应用上面的结论，解答下列问题： （1）若为“十字分式方程”，则__________，__________； （2）请利用上述方法求“十字分式方程”的解； （3）若“十字分式方程”的两个解分别为，求的值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“十字分式方程”．熟练掌握新定义，分解因数，拆数，完全平方公式变形，是解决问题的关键． （1）根据新定义得到，即得，； （2）根据新定义得到，得到或，即得； （3）根据新定义得到，，得到． 【小问1详解】 ∵为“十字分式方程”， ∴， ，； 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵为“十字分式方程”， ∴， ∴， ∴或， ∴； 【小问3详解】 ∵“十字分式方程”的两个解分别为， ∴，， ∴． 22. 如图，是等边三角形，延长到E，使．点D是边的中点，连接并延长交于F． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：连接， 是等边三角形， ，， 为的中点， ， ， ， ， ，， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质； （1）根据等边三角形的性质得出，，求出，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出，求出即可； （2）连接，求出，根据含角的直角三角形的性质得出，即可得出答案． 【小问1详解】 是等边三角形， ，， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 23. 如图，，为、的平分线的交点，于，且，求与之间的距离． 【答案】4 【解析】 【分析】过点作于，作于，根据角平分线的性质可证得，根据四边形的内角和360°可证得、、三点共线，进而可得与之间的距离就是OF+OG的和． 【详解】过点作于，作于， ∵为、的平分线的交点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵∠AFO=∠AEO=∠OEC=∠OGC=90°， ∴， ∴、、三点共线， ∴与之间的距离． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直定义、四边形的内角和，熟练掌握角平分线的性质，作垂线是解答的关键． 24. 学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品，已知甲种图书单价比乙种图书贵4元，用3000元购进甲种图书的数量与用2400元购进乙种图书的数量相同． （1）甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ （2）学校计划购买这两种图书共100本，请求出所需经费W（单位：元）与购买甲种图书m（单位：本）之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，要使投入的经费不超过1820元，且使购买的甲种图书的数量不少于乙种图书数量，则共有几种购买方案？ 【答案】（1）甲图书的单价为20元/本，则乙图书的单价为16元/本 （2） （3）6种，详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程、一次函数、不等式组的综合应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键． （1）设甲图书的单价为x元/本，则乙图书的单价为元/本，根据：3000元购进甲种图书的数量元购进乙种图书的数量相同列出方程求解即可； （2）购买甲种图书m，则购买乙图书本，根据：所需经费甲图书总费用乙图书总费用可列函数关系式； （3）根据：总经费且购买的甲种图书的数量乙种图书数量列出不等式组，解不等式组即可得不等式组的解集，从而确定方案． 【小问1详解】 解：设甲图书的单价为x元/本，则乙图书的单价为元/本， 根据题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的根， 则， 答：甲图书的单价为20元/本，则乙图书的单价为16元/本； 【小问2详解】 购买甲种图书m，则购买乙图书本， 根据题意，得：； 【小问3详解】 根据题意，得： ， 解得：， 需取整数， 的值可以是：50，51，52，53，54，55， 故购买方案有6种： ①甲图书50本，乙图书50本； ②甲图书51本，乙图书49本； ③甲图书52本，乙图书48本； ④甲图书53本，乙图书47本； ⑤甲图书54本，乙图书46本； ⑥甲图书55本，乙图书45本． 25. 如图1，已知，平分，点，，分别是射线，，上异于点的动点． （1）在图1中连接，若ABOC，则的度数为 °； （2）如图2，连接，若射线平分，则与的数量关系式是 ； （3）如图3，连接交射线于点（不与点重合），当且中有两个角相等时，求的度数． 【答案】（1）144 （2）∠ABO=∠ACO （3）27°或36°或18° 【解析】 【分析】（1）由角平分线定义求得∠AOB=∠COB =36°，再根据平行线的性质求得∠ABO=∠COB=36°，再利用平角定义求解即可； （2）设∠OAC=x，利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求得∠ACO=108°-x，∠ABO=54°-x，进而可得出数量关系； （3）根据直角三角形两锐角互余求出∠ABO=54°，当点D在线段OB上时，分∠ADB=∠DAB、∠DAB=∠DBA、∠ADB=∠ABD三种情况，当点D在射线BE上时，结合三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，∵，平分， ∴∠AOB=∠COB=∠MON=36°， ∵AB∥OC， ∴∠ABO=∠COB=36°， ∴∠ABE=180°-∠ABO=144°， 故答案为：144； 【小问2详解】 解：如图2，设∠OAC=x，则∠ACO=180°-∠AOC-∠OAC=108°-x，∠MAC=180°-x， ∵射线AB平分∠MAC， ∴∠CAB=∠MAC=90°-x， ∴∠ABO=180°-∠AOB-∠OAB=180°-36°-x-（90°-x）=54°-x=（108°-x）， ∴∠ABO=∠ACO， 故答案为：∠ABO=∠ACO； 【小问3详解】 解：∵∠AOB=36°，AB⊥OM， ∴∠ABO=90°-36°=54°， 当点D在线段OB上时，如图3， 当∠ADB=∠DAB时，∠DAB=（180°-54°）=63°， ∴∠OAC=90°-∠DAB=90°-63°=27°； 当∠DAB=∠DBA时，∠DAB=54°， ∴∠OAC=90°-∠DAB=90°-54°=36°； 当∠ADB=∠ABD时，∠DAB=180°-2×54°=72°， ∴∠OAC=90°-∠DAB=90°-72°=18°； 当点D在射线BE上时，如图4，则∠ABD=126°， 若∠DAB=∠ADB=27°，则∠OAC=90°+∠DAB=117°， 但∠OAC+∠MON=117°+72°=189°＞180°，不构成三角形，即AD不能与OE交于点C，不符合题意，舍去． 综上，∠OAC的度数为27°或36°或18°． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、直角三角形的两锐角互余，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $