精品解析：甘肃省酒泉市金塔县2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

甘肃省酒泉市金塔县2022－2023学年九年级上学期期中数学试题 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 2. 如果（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由得，，故本选项不符合题意； B、由得，，故本选项不符合题意； C、由得，，故本选项符合题意； D、由得，，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积． 3. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 4. 柜子里有双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查画树状图，概率的意义及求法，熟练画树状图是解题的关键；根据概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图 所求概率 故选：D 5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 【答案】A 【解析】 【详解】平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点睛】特殊四边形的性质 6. 某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当商品第一次降价x%时，其售价为173-173x%=173（1-x%）， 当商品第二次降价x%后，其售价为173（1-x%）-173（1-x%）x%=173（1-x%）2， ∴173（1-x%）2=127． 故选：C． 【点睛】考点：由实际问题抽象出一元二次方程． 7. 关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 0，2 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】∵关于的一元二次方程的常数项为， ∴ ，解得：m=0. 故选D. 8. 顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则满足条件的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 任意四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，菱形的性质等知识，根据对角线垂直的四边形的中点所成的四边形是矩形即可判断．解题的关键是掌握：对角线垂直的四边形的中点所成的四边形是矩形，对角线相等的四边形的中点所成的四边形是菱形，对角线垂直且相等的四边形的中点所成的四边形是正方形． 【详解】解：如图，点，，，分别是四边形各边的中点，且四边形是矩形， ∴、、、分别是、、、的中位线， ， ∴，，， ∴，即对角线互相垂直的四边形的中点所成四边形是矩形， ∵平行四边形、菱形、矩形中，只有菱形的对角线一定互相垂直， ∴满足条件的四边形是菱形， 故选：B． 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设比值为是解题关键． 设 ，用表示出 ，代入求值即可． 【详解】解：设 ， ， 故选：B ． 10. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD中点，则△AEF周长等于（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，然后判定△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AE，∠EAC＝30°，同理可得AF，∠CAF＝30°，然后判定△AEF是等边三角形，再根据等边三角形的周长求解即可． 【详解】解：如图，连接AC， ∵菱形ABCD，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点E是BC的中点， ∴AE＝，∠EAC＝30°， 同理可得：AF＝，∠FAC＝30°， ∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAC， ∴△AEF是等边三角形， ∴△AEF的周长＝3×＝3． 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键． 二、填空题：（每小题3分，共计24分） 11. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 12. 若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根时△=0，列式计算即可． 【详解】解：△=（﹣4）2﹣4×4c=0， c=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了根的判别式，属于基础题，较为简单；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．但要注意在计算△的值时，确定a、b、c的值一元二次方程要化成一般形式． 13. 一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个红球和个白球，小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色不放回再随机摸出一个球，则小明两次摸到一红一白两个小球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一红一白情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有种情况，小明两次摸到一红一白两个小球的情况有种； 小明两次摸到一红一白两个小球的概率， 故答案为： 14. 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若，则_________． 【答案】40° 【解析】 【详解】因为OA=OB, 所以. 故答案为： 15. 已知三个数1，2，，请你添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数可以是______. 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意要求的数和其余三个数可以构成比例式，考虑要根据比例式的定义进行求解；设这个数为x，分别考虑x＜1，1＜x＜2和x＞2这三种情况列出比例式； 【详解】可设所求数字为x（x≠0），只需从1、、2、x任选两个做比值，使其等于另外两个数的比值，求出x的值就可以解答此题． 令，可求出x=2； 令，得x=； 令得x=， 故答案为或或. 【点睛】本题重点考查比例的性质，解答本题的关键在于根据比例式的定义写出关系式. 16. 在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，理解新定义是解题的关键．根据题意得到，从而解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得：， ， 解得． 故答案为：． 17. 菱形的两条对角线长为 6 和 8 ，则菱形的边长为_______，面积为_______． 【答案】 ①. 5 ②. 24 【解析】 【分析】根据菱形的对角线平分且垂直的性质，先计算边长，由对角线乘积的一半求得面积． 【详解】解菱形的两条对角线长分别为6和8， 由勾股定理得，菱形的边长， 菱形的面积对角线乘积的一半， 菱形的面积． 故答案为：5，24． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理等知识点，灵活运用性质进行计算是解此题的关键． 18. 如图，将一张矩形纸片沿对角线折叠，使得的对应边与相交于点，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等腰三角形的判定，根据折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，证明，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， 故答案为：． 三、解答下列各题（请书写必要的解题步骤） 19. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的解法是解题的关键； （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可； （3）先移项，再用因式分解法解一元二次方程即可； （4）先去括号，移项合并同类项，然后用因式分解法解一元二次方程即可； 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 或 ， 【小问3详解】 解： 或 ， 【小问4详解】 解： 或 ， 20. 已知方程的一个根是，求另一根和的值？ 【答案】另一个根为， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解及根与系数的关系，设方程的另一个根为，利用两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出和值，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，解得，， 所以另一根为，的值为． 21. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作，，求证：四边形是菱形． 【答案】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形及菱形的判定；先判定四边形是平行四边形，再利用平分与平行可得，即可证明四边形是菱形． 【详解】略 22. 如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：同时转动转盘A与B；转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你画树状图说明理由． 【答案】不公平；图表见解析 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图，求出甲、乙获胜的概率，然后再进行比较即可． 【详解】解：不公平．画树状图得： ∵共有24种等可能的结果，所得的积是偶数的有18种情况，是奇数的有6种情况， ∴P（甲获胜）==， P（乙获胜）==， ∴不公平． 【点睛】本题主要考查了列表或画树状图求概率，根据题意画出树状图或列出表格是解题的关键． 23. 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且，． 求证：OD：OA=OE：OB． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的新三角形与原三角形相似可以得出比例式，等量代换即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴△ODF∽△OAC，△OEF∽△OBC， ∴，， ∴OD：OA=OE：OB． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 24. 超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元． 【解析】 【分析】设每件商品应降价元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每天销售利润为1200元”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每件商品应降价元． 由题意，得， 解得． 让顾客得到更大实惠， ． 故当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润为1200元． 25. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 解：当时，四边形为正方形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴平分， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和角平分线的意义，垂直的意义，可得，进而证明即可； （2）利用等腰三角形的性质可得，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． （1）几秒钟后，的面积等于？ （2）的面积可能等于吗？为什么？ 【答案】（1）2或4秒 （2） 解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 整理，得 ， 因为， 所以该方程无解， 答：的面积不可能等于． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． （1）根据直角三角形的面积公式和路程速度时间进行求解即可． （2）根据（1）中的解题思路列出方程，结合根的判别式进行解答． 【小问1详解】 解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 解得，． 答：2或4秒钟后，的面积等于． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省酒泉市金塔县2022－2023学年九年级上学期期中数学试题 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 2. 如果（m、n、a、b均不为零），则下列比例式中错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 柜子里有双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等 6. 某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程的常数项为，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 0，2 D. 0 8. 顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则满足条件的四边形是（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 任意四边形 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD中点，则△AEF周长等于（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题：（每小题3分，共计24分） 11. 一元二次方程的根是______． 12. 若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是_____． 13. 一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的个红球和个白球，小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色不放回再随机摸出一个球，则小明两次摸到一红一白两个小球的概率是________． 14. 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若，则_________． 15. 已知三个数1，2，，请你添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数可以是______. 16. 在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为，根据这个规则，方程的解为______． 17. 菱形的两条对角线长为 6 和 8 ，则菱形的边长为_______，面积为_______． 18. 如图，将一张矩形纸片沿对角线折叠，使得的对应边与相交于点，若，，则_____． 三、解答下列各题（请书写必要的解题步骤） 19. 解下列方程： （1） （2） （3） （4） 20. 已知方程的一个根是，求另一根和的值？ 21. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作，，求证：四边形是菱形． 22. 如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：同时转动转盘A与B；转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你画树状图说明理由． 23. 如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且，． 求证：OD：OA=OE：OB． 24. 超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 25. 如图，在中，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E． （1）求证：四边形为矩形； （2）当满足什么条件时，四边形为正方形？给出证明． 26. 如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． （1）几秒钟后，的面积等于？ （2）的面积可能等于吗？为什么？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $