专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版2024）

专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数减法的实际应用 题型六 有理数加减的混合运算 题型七 有理数加减中的简便运算 题型八 有理数加减法中的规律问题 题型九 有理数加减法与数轴的综合 题型十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合 题型十一 利用有理数加减法解决幻方问题 题型十二 有理数加减法中的新定义问题 知识点1：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点2：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点3：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点4：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【经典例题一 有理数加法运算】 【例1】计算的结果是（    ） A．9 B． C．5 D． 1．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把−15到−20这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最小值是（    ） A．−53 B．−54 C．−55 D．−56 2．A，B是自然数，并且，那么 3．一般地，异号两数相加有下面的法则： 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 另外，有理数相加还有以下法则： 互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数． 你能举例说明吗？ 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 1．若x>0，y<0，且，则x+y一定是（  ） A．负数 B．整数 C．0 D．无法确定符号 2．把写成省略括号的形式是 ． 3．学习了有理数的加法后，某同学画出了下图：请问图中①处应填的是__________，②处应填的是__________．    【经典例题三 有理数加法在生活中的应用】 【例3】小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 1．已知图中各行、各列及对角线上的3个数之和都相等，则y﹣x的值为（    ） 0 ﹣3y ﹣2 y 4 x A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣2 2．希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为 ．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．） 3．某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，． (1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 1．下列各式中正确的是（　　） A．-5-（-3）=-8 B．+6-（-5）=1 C．-7-|-7|=0 D．+5-（+8）=-3 2．在数轴上，表示数a的点在表示数b的点的右边，且，，则 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 有理数减法的实际应用】 【例5】A地与B地的时差为时（正数表示同一时刻A地比B地时间早的小时数），如果B地时间是9月2日13：00，那么A地时间是（    ） A．9月1日22：00 B．9月2日4：00 C．9月3日22：00 D．9月3日4：00 1．某测绘小组的技术员要测量A，B两处的高度差（A，B两处无法直接测量），他们首先选择了D，E，F，G四个中间点，并测得它们的高度差如下表： 4.5 -1.7 -0.8 1.9 3.6 根据以上数据，可以判断A，B之间的高度关系为（　　　） A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A，B两处一样高 D．无法确定 2．温度比低 ． 3．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定．下面是6个足球的质量检测结果(用正数表示超过规定质量的克数，用负数表示不足规定质量的克数)：． (1)请指出哪一个足球好些，为什么？ (2)求出质量最大的足球的质量比质量最小的足球的质量多多少克？ 【经典例题六 有理数加减的混合运算】 【例6】如图所示的九宫格内，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为 （    ） A． B．0 C．1 D．3 1．把写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：黑板上写了1到10这10个数，每次任意擦去两个数，再写上一个新数（这两个数的和减去一），若干次后，黑板上只剩下一个数，这个数是 ． 3．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【经典例题七 有理数加减中的简便运算】 【例7】在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 1．计算－1＋2－3＋4－5＋6－…－97＋98－99＋100的结果为(  ) A．－50 B．－49 C．49 D．50 2．计算： （﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ． 3．（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【经典例题八 有理数加减法中的规律问题】 【例8】一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 1．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（    ） A．- B． C．2020 D．2021 2．在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算： ． 3．已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 【经典例题九 有理数加减法与数轴的综合】 【例9】已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 1．点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点移动5个单位长度到点，此时点表示的数是（    ） A．8 B．2 C． D．或2 2．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点在原点位置，点表示的数为，已知下表中的含义均为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如为． 10 2 若点与点的距离为，则的值为 ．    3．【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【经典例题十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合】 【例10】下列说法中： ①两个有理数的差一定小于被减数；②绝对值等于它的相反数的数是负数； ③若且，则，同为负数；④，则； ⑤一个有理数不是正数就是负数；⑥最大的负整数是.正确的有（    ） A．①③⑤⑥ B．①③⑥ C．③⑥ D．②③ 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ． 3．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【经典例题十一 利用有理数加减法解决幻方问题】 【例11】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，1，2，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（    ）    A．1或 B．4或 C．或4 D．或1 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 2．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 3．阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．    【发现】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______． 【尝试】（2）将，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除，2，5外的6个数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方（即每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）． 【应用】（3）把绝对值小于5的整数分别填入图4的各个方格中（每个数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等．    【经典例题十二 有理数加减法中的新定义问题】 【例12】定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 3．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 1．如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=，则1※2+2※3+3※4+…+2019※2020的值为（　　　） A． B． C． D． 3．在有理数范围内，关于相反数有以下五种叙述：①正数与负数都有相反数，零没有相反数；②表示相反意义的量的两个数互为相反数；③数a的相反数表示负数；④如果，那么a与b互为相反数：⑤如果，那么a与b互为相反数．以上叙述正确的是（   ） A．①、② B．③、④ C．⑤ D．④、⑤ 4．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 5．对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是； ②x，、5的“非负差值运算”的最小值是； ③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．绝对值小于的所有整数的和为 ． 7．若，且，则 ． 8．的值是 ． 9．我们定义一种新运算：图形表示a－b＋c，图形表示－x＋y－z，则的值为 ，的值为 ． 10．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 11．计算: 12．计算： (1)． (2)． 13．小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） (1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2)小虫离开O点最远时是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 14．【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗? 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 15．【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的加减法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数加法运算 题型二 有理数加法中的符号问题 题型三 有理数加法在生活中的应用 题型四 有理数的减法运算 题型五 有理数减法的实际应用 题型六 有理数加减的混合运算 题型七 有理数加减中的简便运算 题型八 有理数加减法中的规律问题 题型九 有理数加减法与数轴的综合 题型十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合 题型十一 利用有理数加减法解决幻方问题 题型十二 有理数加减法中的新定义问题 知识点1：有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 知识点2：运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 知识点3：有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 知识点4：有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【经典例题一 有理数加法运算】 【例1】计算的结果是（    ） A．9 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，利用有理数的加法法则计算即可，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 1．如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把−15到−20这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最小值是（    ） A．−53 B．−54 C．−55 D．−56 【答案】B 【分析】三个顶角分别是−20，−19，−18，−20与−19之间是−15，−20和−18之间是−16，−19和−18之间是−17，这样每边的和才能相等并且S有最小值． 【详解】解：∵三个顶点的数要加两次，S要取最小值， ∴三个顶点中要从小到大填入-20、-19、-18， ∵每条边上的三个数的和S都相等， ∴填入的数如图所示： 由图可知S=−20−19−15=−54． 故选：B． 【点睛】考查了有理数的加法，解题关键是三角形的三个顶点的数字是-15～-20这6个数最小的三个数字． 2．A，B是自然数，并且，那么 【答案】9 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握运算法则是解题关键．先通分计算得出，即得出等量关系，再根据A，B是自然数，即得出，，即得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵A，B是自然数， ∴，， ∴． 故答案为：9 3．一般地，异号两数相加有下面的法则： 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 另外，有理数相加还有以下法则： 互为相反数的两个数相加得零；一个数同零相加，仍得这个数． 你能举例说明吗？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的加法，根据题意，结合有理数的加法法则，举例说明即可得出答案． 【详解】解：能举例说明： 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值：；； 互为相反数的两个数相加得零：； 一个数同零相加，仍得这个数：． 【经典例题二 有理数加法中的符号问题】 【例2】m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，需要分情况讨论．采用分类讨论时，要把所有情况分析清楚．故考虑三种情况，化简原式后判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即：可能是正数，也可能是0，但不可能是负数． A．不可以是负数，此选项错误； B．不可能是负数，此选项正确； C．可能是正数，也可能是0，此选项错误； D．可能是正数，但绝不可能是负数，此选项错误； 故选B． 1．若x>0，y<0，且，则x+y一定是（  ） A．负数 B．整数 C．0 D．无法确定符号 【答案】A 【分析】根据有理数加法法则解答． 【详解】∵x>0，y<0，且， ∴x+y<0， 故选：A． 【点睛】此题考查有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加等于0． 2．把写成省略括号的形式是 ． 【答案】－4＋5－3 【分析】根据有理数的加减运算法则即可求解． 【详解】=－4＋5－3 故答案为：－4＋5－3． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 3．学习了有理数的加法后，某同学画出了下图：请问图中①处应填的是__________，②处应填的是__________．    【答案】①取与加数相同的符号；②求较大的绝对值与较小的绝对值的差 【分析】根据有理数加法的法则来解答即可解． 【详解】解：在运用有理数加法法则求两个有理数的和时，思考步骤中最先进行的是：观察两个有理数的符号，属于同号还是异号； 其次是确定和的符号； 然后求两个有理数的绝对值，并比较大小， 最后是用较大的绝对值加上或减去较小的绝对值， 故答案为：①取与加数相同的符号；②求较大的绝对值与较小的绝对值的差． 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握加法法则是解题的关键． 【经典例题三 有理数加法在生活中的应用】 【例3】小丽在四张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，下列四个数中，（    ）一定不是小丽在纸片上写的数． A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解．设这四个数字分别为：，，，且，故，，然后分类讨论，得到这4个数有可能的结果，从而判断出答案． 【详解】解：设这四个数字分别为：，，，且， 故，； 当时，得， 且 此时所以 当时，得，那么，当时，，此时这4个数分别是2，4，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，3，6，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此不符合题意； 当时，，那么，当时，，此时这4个数分别是3，3，4，5，因为题目中要求每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到，因此符合题意； 综上所述，四个数只能是2，4，4，5或3，3，4，5； 故选为：A． 1．已知图中各行、各列及对角线上的3个数之和都相等，则y﹣x的值为（    ） 0 ﹣3y ﹣2 y 4 x A．﹣6 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣2 【答案】C 【分析】利用已知条件列出算式，根据等式的性质变形即可得出结论． 【详解】解：∵图中各行、各列及对角线上的3个数之和都相等， ∴0﹣2+x＝﹣2+y+4． ∴x＝y+4， ∴y﹣x＝﹣4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法，等式的性质，利用已知条件列出等式是解题的关键． 2．希希、望望、贝贝三个人在火车上斗地主，地主赢一局积2分，输一局积负2分，农民赢一局积1分，输一局积负1分．10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为 ．（提示：地主赢则两个农民都输；农民赢则两个农民都赢，地主输．） 【答案】/分 【分析】本题考查数的运算，计算出每一局的积分和，从而求得10局积分总和． 【详解】解：由题意， 每一局地主赢则两个农民都输，此时三人得分总和为分； 每一局农民赢则两个农民都赢，地主输，此时三人得分总和为分； ∴10局之后希希、望望、贝贝三人得分的总和为0分， 故答案为：0． 3．某天下午，出租车司机小王的营运全是在东西走向的国庆大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午载客行车里程（单位：公里）如下：，，，，，，，，，，． (1)最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地多远？ (2)若汽车的耗油量为0.2L/km，则这天下午小王的车共耗油多少升？ (3)该市出租车按里程计费标准为：不超过3公里，收费9元，超过3公里的部分，按每公里2元收费，则这天下午小王前三次营运收入共多少元？ 【答案】(1) (2)17升 (3)45元 【分析】此题考查了正数和负数，以及有理数加减法的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）把所有行车里程相加，再根据正负数的意义解答； （2）用0.2乘行车里程的绝对值的和，计算即可得解； （3）分别计算前三次的每一次收入，再相加即可． 【详解】（1）解：， 答：最后一次营运结束时，小王距离下午出车时的出发地； （2）解：（升） （3）解：第一次3公里，不超过3公里，收费为9元； 第二次10公里，超过3公里，收费为元； 第三次5公里，超过3公里，收费为元， ∴ 总共收入为：元， 答：这天下午小王前三次营运收入45元． 【经典例题四 有理数的减法运算】 【例4】设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，有理数的减法运算，根据的定义求出和，再计算减法即可． 【详解】解：由题意知，， ， 故选B． 1．下列各式中正确的是（　　） A．-5-（-3）=-8 B．+6-（-5）=1 C．-7-|-7|=0 D．+5-（+8）=-3 【答案】D 【分析】根据有理数的减法法则以及绝对值的定义判断即可． 【详解】解：A、-5-（-3）=-5+3=-2，故本选项不合题意； B、+6-（-5）=6+5=11，故本选项不合题意； C、-7-|-7|=-7-7=-14，故本选项不合题意； D、+5-（+8）=-3，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法，熟记运算法则是解答本题的关键． 2．在数轴上，表示数a的点在表示数b的点的右边，且，，则 ． 【答案】3或9/9或3 【分析】根据，得到，，根据数的点总是在表示数的点的右边，得到，即可，或，，最后代人计算即可． 【详解】解：，， ，， 数的点总是在表示数的点的右边， ， ，或，， 或9， 故答案为：3或9． 【点睛】本题考查了绝对值的定义，有理数的减法，得到，的值是解题的关键． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； （）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； （）根据有理数的减法运算法则计算即可求解； 本题考查了有理数的加减运算，掌握有理数的减法运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【经典例题五 有理数减法的实际应用】 【例5】A地与B地的时差为时（正数表示同一时刻A地比B地时间早的小时数），如果B地时间是9月2日13：00，那么A地时间是（    ） A．9月1日22：00 B．9月2日4：00 C．9月3日22：00 D．9月3日4：00 【答案】A 【分析】根据正数表示同一时刻A地比B地时间早的小时数，则负数表示同一时刻A地比B地时间晚的小时数，即可进行解答． 【详解】解：解：根据题意列得：13-15=-2（时）， 24-2=22（时） 则A地时间为9月1日22：00． 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 1．某测绘小组的技术员要测量A，B两处的高度差（A，B两处无法直接测量），他们首先选择了D，E，F，G四个中间点，并测得它们的高度差如下表： 4.5 -1.7 -0.8 1.9 3.6 根据以上数据，可以判断A，B之间的高度关系为（　　　） A．B处比A处高 B．A处比B处高 C．A，B两处一样高 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题目所给的条件分别计算出A处比F处高多少，B处比F处高多少，即可选出答案． 【详解】根据题意，得： = = 将表格中数值代入上式，得 ∵1.5>0 ∴ 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式，去括号时注意符号变号问题是本题的关键． 2．温度比低 ． 【答案】5 【分析】利用有理数的减法运算，即可求出答案． 【详解】解：由题意， ； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了有理数的减法，解题的关键是熟练掌握有理数的减法运算法则进行解题． 3．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定．下面是6个足球的质量检测结果(用正数表示超过规定质量的克数，用负数表示不足规定质量的克数)：． (1)请指出哪一个足球好些，为什么？ (2)求出质量最大的足球的质量比质量最小的足球的质量多多少克？ 【答案】(1)第1个和第4个足球 (2)68 【分析】（1）绝对值小的接近标准，可得最接近标准的球； （2）根据用质量最大的足球减去质量最小的足球计算即可． 【详解】（1）解：最接近标准质量的是第1个和第4个足球，理由如下： ，，，，， ∵， ∴最接近标准质量的是第1个和第4个足球； （2）依题意得：质量最大的是第3个足球，超过规定质量克， 质量最小的是第6个足球，比规定质量少克， ， 即质量最大的足球比质量最小的足球多68克． 【点睛】本题考查了正数和负数、绝对值的应用，有理数的减法运算，利用绝对值求解是解题的关键． 【经典例题六 有理数加减的混合运算】 【例6】如图所示的九宫格内，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，则的值为 （    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查了有理数减法计算，加减混合运算法则，先求出每行三个数的和，利用减法求出、、的值，进而求出式子的值． 【详解】解：三个数之和均为， ，，， ， 故选：A． 1．把写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则，必须统一成加法后，才能省略括号和加号． 2．某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：黑板上写了1到10这10个数，每次任意擦去两个数，再写上一个新数（这两个数的和减去一），若干次后，黑板上只剩下一个数，这个数是 ． 【答案】46 【分析】本题考查了有理数的加法，操作一次，黑板上的数减少1个，数字总和减少1．经过次操作，剩下的一个数是，据此解答即可． 【详解】解：（次） 答：这个数是46， 故答案为：46． 3．阅读：对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法计算，正确理解例题的解题方法并仿照解决问题是解题的关键．根据例题方法将各带分数拆解，将整数和分数分别相加，再计算加法即可． 【详解】解： ． 【经典例题七 有理数加减中的简便运算】 【例7】在正整数中，前50个偶数的和减去前50个奇数的和所得的结果是（    ） A．50 B． C．100 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，解题关键是根据题意列出算式，准确进行计算． 【详解】解：根据题意列式： ， 故选：A． 1．计算－1＋2－3＋4－5＋6－…－97＋98－99＋100的结果为(  ) A．－50 B．－49 C．49 D．50 【答案】D 【分析】原式结合后，相加即可得到结果． 【详解】原式=（-1+2）+（-3+4）+…+（-97+98）+（-99+100） =1+1+…+1 =50． 故选D． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．计算： （﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ． 【答案】1010 【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可． 【详解】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020 ＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020] ＝1+1+…+1 ＝1010， 故答案为：1010． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键． 3．（1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算等知识点，灵活运用有理数的加减法可以解答本题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （2）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （3）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （4）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可； （5）直接根据有理数的加减混合运算运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） 【经典例题八 有理数加减法中的规律问题】 【例8】一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及图形变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键； 数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】 ； 故选：B． 1．观察下列各式：-=-1+，-=-+-=- +，-=- +，按照上面的规律，计算式子- - - - … - 的值为（    ） A．- B． C．2020 D．2021 【答案】A 【分析】先将所求式子转为加法运算，再根据规律将各项拆解开，然后计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，根据已知规律将各项进行拆分是解题关键． 2．在有些情况下，不需要计算结果也能把绝对值符号去掉，例如：；；；．根据上述规律，计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的化简，有理数的加减运算，根据绝对值的性质：正数绝对值等于它本身，负数绝对值等于它的相反数，进行计算即可，解题关键是熟练掌握绝对值的性质． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． (1)求出B地在数轴上表示的数； (2)小猪佩奇从A地出发经过第七次行进后到达点P，第八次行进后到达点Q，点P点Q到A地的距离相等吗？说明理由？ (3)若B地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是多少？ 【答案】(1)B地在数轴上表示的数是14或； (2)点P、点Q到A地的距离相等； (3)经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点B之间的距离是80米 【分析】本题考查了数轴，有理数加减混合运算的应用． （1）在数轴上表示的点移动30个单位后，所得的点表示为或； （2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可； （3）根据经过100次行进，可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：，． 答：地在数轴上表示的数是14或； （2）解：第七次行进后：， 第八次行进后：， 因为点、与点的距离都是4米， 所以点、点到地的距离相等； （3）解：当为100时，它在数轴上表示的数为： ， （米． 答：经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点之间的距离是80米． 【经典例题九 有理数加减法与数轴的综合】 【例9】已知数轴上，两点对应的数分别为，，若在数轴上找一点，使得点，之间的距离为5；再在数轴找一点，使得点，之间的距离为1，则，两点间的距离可能为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题综合考查了数轴上两点间的距离，数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值等知识点，重点掌握求数轴上两点之间的距离的方法，易错点就是求点对应的数时不重不漏．由数轴上两点的距离等于两点对应数差的绝对值求出距离为1、3、7、9，符合题意的为答案． 【详解】解：点，之间的距离为5，点对应的数为， 点对应的数为2或， 又点对应的数，点，之间的距离为1， 点对应的数为或， 或9或3或1， 故选：C 1．点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点移动5个单位长度到点，此时点表示的数是（    ） A．8 B．2 C． D．或2 【答案】D 【分析】先求出点表示的数是，再分两种情况：①点向左移动5个单位长度到点；②点向右移动5个单位长度到点，利用数轴的性质列出运算式子，计算有理数的加法与减法即可得． 【详解】解：点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧， ∴点表示的数是， ①当点向左移动5个单位长度到点时， 则此时点表示的数是； ②当点向右移动5个单位长度到点时， 则此时点表示的数是， 综上，此时点表示的数是或2， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、有理数的加法与减法，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 2．已知数轴上有A，B，C，D，E，F六个点，点在原点位置，点表示的数为，已知下表中的含义均为前一个点所表示的数与后一个点所表示的数的差，比如为． 10 2 若点与点的距离为，则的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意得到点表示的数为表示的数是，再分情况讨论：①当点在点左侧时，②当点在点右侧时进行计算即可． 【详解】解：由题意得点表示的数为表示的数是, （1）当点在点左侧时，点表示的数为，点表示的数为，所以， （2）当点在点右侧时，点表示的数为，点表示的数为，所以． 故答案为：3.5或6.5． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，数形结合、分类讨论，是解题的关键． 3．【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【答案】(1)15，9 (2) (3)5、4 (4) (5)或2023 【分析】本题考查的是数轴，相反数，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离； （1）用数轴上两点间的距离计算即可； （2）用数轴上两点间的距离计算即可； （3）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （4）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （5）求出最小的正整数1，求出与1距离2022的点，然后求相反数即可． 【详解】（1）解：（1）； 故答案为：15，9； （2）解：； 故答案为：； （3）解：， 数轴上表示数9和的两点之间的反距离是， 6的相反数是， 数轴上表示和6的两点之问的反距离是； 故答案为：5、4； （4）解：， 数a和两点之间的反距离是， 故答案为：； （5）解：最小的正整数是1， 则与1距离是2024的点表示的数为：或， 2025的相反数是，的相反数是2023， 或2023． 故答案为：或2023； 【经典例题十 有理数加减法与相反数、绝对值的应综合】 【例10】下列说法中： ①两个有理数的差一定小于被减数；②绝对值等于它的相反数的数是负数； ③若且，则，同为负数；④，则； ⑤一个有理数不是正数就是负数；⑥最大的负整数是.正确的有（    ） A．①③⑤⑥ B．①③⑥ C．③⑥ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，绝对值的性质，有理数的运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据有理数的分类，绝对值的性质，有理数的运算，逐项判断即可求解． 【详解】解：①两个有理数的差不一定小于被减数，故原说法错误； ②绝对值等于它的相反数的数是负数和，故原说法错误； ③若且，则，同为负数，故原说法正确； ④，则或，故原说法错误； ⑤有理数包括正有理数，和负有理数，故原说法错误； ⑥最大的负整数是，故原说法正确； 故选：C． 1．我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，，从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，， 则所有满足条件的整数的和为， 故选：C． 2．如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的差的绝对值，那么称这个三位数为“三决数”，如：三位数312，，312是“三决数”，把一个三决数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之差的2倍记为．则的值为 ． 【答案】66 【分析】本题考查了新定义和有理数的运算．根据题意求出和，然后相加即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴； 故答案为：66． 3．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求　　； (2)找出所有符合条件的整数，使得； (3)对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2)符合条件的整数为，，，，，0，1，2 (3)有，值为3 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，熟练的利用几何意义解决问题是关键； （1）直接利用绝对值的定义计算即可； （2）由可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7，再解答即可； （3）由可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和，可得距离之和为最小时的范围，从而可得答案； 【详解】（1）解：； （2）解：可以理解为数轴上表示的点到点与点2的距离之和为7， 符合条件的整数为，，，，，0，1，2； （3）解：有最小值，最小值为3，理由如下： 可以理解为数轴上表示的点到点3与点6的距离之和， 当时，有最小值，最小值为． 【经典例题十一 利用有理数加减法解决幻方问题】 【例11】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，1，2，3，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用一次），则的值为（    ）    A．1或 B．4或 C．或4 D．或1 【答案】D 【分析】将各数相加的和除以2，得出横线上，竖线上，外圈，内圈上的数之和，即可求出b，则竖线上的四个数字为：3，，1，，横线上的四个数字为：，0，，2，再求出，即可求出或2，即可求解． 【详解】解：， ， ∴， 则竖线上的四个数字为：3，，1，， ∴横线上的四个数字为：，0，，2， ∵， ∴， ∴或2， 当时：， 当时：， 故选：D．    【点睛】此题考查了有理数加法和一元一次方程的应用，熟练掌握有理数加法法则，能够根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的音乐，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 2．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是根据题意，列出算式，求出a，b．根据各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等可得：，然后求出a，b，代入，求出△即可． 【详解】解：∵各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， ∴， ∴，， ， ， 故答案为：． 3．阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．如果把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等．    【发现】（1）在图2中，每行、每列、每条对角线上的三个数的和均为______． 【尝试】（2）将，0，1，2，3，4，5，6这9个数中除，2，5外的6个数填入图3中其余的方格中，使其成为一个三阶幻方（即每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等）． 【应用】（3）把绝对值小于5的整数分别填入图4的各个方格中（每个数只能用一次），使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等．    【答案】（1）15；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）求出第一行三个数的和即可； （2）先求出对角线三个数的和，再根据每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，进行填写； （3）先求出绝对值小于5的整数，再根据题意，填写即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：15． （2）如图所示：（答案不唯一）    （3）绝对值小于5的整数分别为， 如图所示：（答案不唯一）    【点睛】本题考查有理数加法运算．理解幻方的定义，是解题的关键． 【经典例题十二 有理数加减法中的新定义问题】 【例12】定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为，则，再根据可进一步将原式变形为，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选A． 1．探究规律，完成相关题目，王老师说：我定义了一种新的运算，叫“※”运算．王老师写了一些按照“※”运算法则进行运算的式子：；；；；；．请你按照王老师定义的运算法则计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了实数的新定义问题，解题的关键是得出新定义的运算法则．根据题意可以得“※”的运算法则为：两数进行“※”运算时，同号得负，异号得正，并把绝对值相加，和任何数进行运算都等于这个数的相反数，任何数与进行运算都等于这个数的相反数，由此求解即可． 【详解】解： 故选：D． 2．已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，理解题意，正确列出算式是解此题的关键． 3．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 1．如果，，，则下列各式中大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数与数轴，有理数的大小比较，先根据a，b的正负，结合判断出b比a的绝对值大，进而在数轴上表示出各数，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， a为正数，b为负数， ， b比a的绝对值大， a，b，，在数轴上的位置如图所示： 由数轴可知，， 故选D． 2．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=，则1※2+2※3+3※4+…+2019※2020的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目定义的运算，将原式给展开，可以化简成，算出结果． 【详解】解：∵a※b=， ∴1※2+2※3+3※4+…+2019※2020 = = =． 故答案为：D． 【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． 3．在有理数范围内，关于相反数有以下五种叙述：①正数与负数都有相反数，零没有相反数；②表示相反意义的量的两个数互为相反数；③数a的相反数表示负数；④如果，那么a与b互为相反数：⑤如果，那么a与b互为相反数．以上叙述正确的是（   ） A．①、② B．③、④ C．⑤ D．④、⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减法则，正数和负数的定义，相反数和绝对值的定义，掌握有理数的加减法则，正数和负数的定义，相反数和绝对值得定义是关键． 根据有理数的加减法则，正数和负数的定义，相反数和绝对值的定义进行判断． 【详解】解：①中正数与负数都有相反数，零的相反数是零，题干错误，不符合题意； ②中例如：上升5米和下降3米，表示相反意义的量的两个数不是相反数，题干错误，不符合题意； ③中例如：的相反数为是正数，题干错误，不符合题意； ④中如果，那么与互为相反数或相等，题干错误，不符合题意． ⑤如果，那么与互为相反数，正确，符合题意． 故选：C． 4．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被重复计算了．先求出所有数字之和，得出，且n为整数，则，进而推出当时，n有最大值，即可解答． 【详解】解：， ∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ∴，且n为整数， 整理得：， ∴当最大时，n有最大值， ∵n为整数， ∴当时，n有最大值， 此时， 故选：A． 5．对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于1，2，3进行“非负差值运算”，． ①对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是； ②x，、5的“非负差值运算”的最小值是； ③a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种； 以上说法中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减运算．理解题意，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键． 根据题意分别求出“非负差值运算”，然后进行判断作答即可． 【详解】解：对，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是，①正确，故符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； ∴x，、5的“非负差值运算”的最小值是，②错误，故不符合要求； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴a，b，c的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有6种，③正确，故符合要求； 故选：B． 6．绝对值小于的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法以及绝对值、相反数，根据绝对值的意义可得到绝对值小于的所有整数，再结合相反数的性质相加即可求解，理解绝对值的意义和掌握相反数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵绝对值小于的所有整数为，，，，， ∴和为， 故答案为：． 7．若，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数减法和绝对值，解题关键是先根据绝对值的意义确定字母的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 故答案为：或． 8．的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的运算，根据有理数的运算法则计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 9．我们定义一种新运算：图形表示a－b＋c，图形表示－x＋y－z，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 3 -6 【详解】分析：先认真读题，再根据图形表示的意义列出算式，进行计算即可． 详解：表示：2-3+4=-1+4=3； 表示：-5+6-7=1-7=-6. 故答案为3；-6． 点睛：本题考查了有理数的加减法则的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键，主要考查了学生的理解能力和计算能力． 10．幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如表所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则表中△处的值为 ． △ c 0 a d b 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是根据题意，列出算式，求出a，b．根据各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等可得：，然后求出a，b，代入，求出△即可． 【详解】解：∵各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， ∴， ∴，， ， ， 故答案为：． 11．计算: 【答案】1011 【分析】本题考查了数的规律，整式的加减法的速算与巧算，根据分组的方法计算是解答本题的关键． 根据观察，式子中一共有个加数，每两个加数为一组，和是3，这些数分成组，再算出结果即可． 【详解】解： 12．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可． （2）利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ＝ ． 13．小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） (1)小虫最后是否回到出发地O？为什么？ (2)小虫离开O点最远时是多少？ (3)在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后回到了出发地O，理由见解析 (2)向右 (3)54粒 【分析】本题考查了利用有理数的加减混合运算解决实际问题，绝对值的概念，熟练计算是解题的关键．题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小．所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小． （1）将所有的路程相加即可得到答案； （2）分别计算前两次路程和、前三次路程和、……、前七次路程和，比较各和的绝对值，绝对值最大的便是所求； （3）将各路程的绝对值相加即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 根据题意，0表示最后小虫又回到了出发点O； 答：小虫最后回到了出发地O． （2）解：； ； ； ； ； ． 因为绝对值最大的是，所以小虫离开O点最远时是向右； （3）解：， 所以小虫爬行的总路程是， 由（粒）． 答：小虫一共可以得到54粒芝麻． 14．【思考】 定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗? 【归纳】 （1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ． 【运用】 （2）计算：； （3）化简：． （提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．） 【答案】（1）绝对值相加；这个数的绝对值（2）（3）或 【分析】本题考查有理数混合运算及新定义． （1）观察表格可得答案； （2）根据新定义计算； （3）分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值； 故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值； （2） =； （3）当时，； 当时，； 当时，． 15．【阅读与实践】 材料1：点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，我们把数轴上A，B两点之间的距离表示为． 材料2：数轴上的两点A，B对应的数分别为a，b，我们把点A与表示数b的相反数的点之间的距离称为A，B两点之间的“反距离”，记作． 阅读材料1，2，回答下列问题： (1)数轴上表示和5的两点之间的距离是______；数轴上表示15和6的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示a和的两点之间的距离表示为______； (3)数轴上表示数9和的两点之间的反距离是______，数轴上表示和6的两点之间的反距离是______； (4)数轴上表示数a和两点之间的反距离表示为______； (5)如果一个点在数轴上对应的数为m，它与最小的正整数所表示的点之间的反距离为2024，则m的值为______． 【答案】(1)15，9 (2) (3)5、4 (4) (5)或2023 【分析】本题考查的是数轴，相反数，两点间的距离，解题的关键是熟练掌握两点间的距离； （1）用数轴上两点间的距离计算即可； （2）用数轴上两点间的距离计算即可； （3）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （4）先求相反数，然后用数轴上两点间的距离计算即可； （5）求出最小的正整数1，求出与1距离2022的点，然后求相反数即可． 【详解】（1）解：（1）； 故答案为：15，9； （2）解：； 故答案为：； （3）解：， 数轴上表示数9和的两点之间的反距离是， 6的相反数是， 数轴上表示和6的两点之问的反距离是； 故答案为：5、4； （4）解：， 数a和两点之间的反距离是， 故答案为：； （5）解：最小的正整数是1， 则与1距离是2024的点表示的数为：或， 2025的相反数是，的相反数是2023， 或2023． 故答案为：或2023； 学科网（北京）股份有限公司 $$