山东省青岛第五十八中学2025届高三上学期初线上检测数学试题

试卷第 1 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知a b, 为正实数，且满足 + =a b2 1，则 + a b 2 1 的最小值为（ ） A．4 2 B． +4 2 2 C．8 D．6 2．已知全集 R=U ，集合 = = + = −  A y y x B x x1 , 1 2 2  ，则 ( )U A B =（ ）． A． − −, 1)( B． +1, )( C． ( ), 1 2,− − +)( D． ( ),1 2,− +)( 3．在四面体 ABCD中，平面 ⊥ABD 平面 BCD， = =AB AD 4，且 = = =BC CD BD 2，则四 面体 ABCD的体积为（ ） A．2 B．6 C． 5 D．3 5 4．若 …+ − = + + + +x x a a x a x a x1 2 1 2 0 1 2 8 2 87)()( ，则 …+ + + +a a a a0 1 2 7 的值为（ ） A．−2 B．−3 C．253 D．126 5．下列说法错误的是（ ） A．若随机变量 、  满足 = − 2 1且 =D 3)( ，则 =D 12)( B．样本数据 50，53，55，59，62，68，70，73，77，80 的第 45 百分位数为 62 C．当 P B 0)( 时，若事件 A、B相互独立，则 =P A B P A)()( D．若 A、B两组成对数据的相关系数分别为 ，= = −r rA B0.8 0.9，则 A 组数据的相关性更强 6．如图，可导函数 =y f x( ) 在点P x f x,0 0 )( )( 处的切线为 =l y g x: ( )，设 = −h x f x g x( ) ( ) ( )，则下列说法正确的是（ ） A． ， x h xR ( )>0 B． ，  x h xR ( )<0 C． = =h x x x0,0 0)( 是h x( ) 的极大值点 D． = =h x x x0,0 0)( 是h x( ) 的极小值点 7．已知函数 = + − −f x xx xe e sin2)( ，则“ x x1 2 ”是“ f x f x1 2 )()( ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2025届毕业生青岛五十八中高三上期初线上检测 数学试题 2024年7月30日 试卷第 2 页，共 4 页 8．在锐角 ABC 中 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c若 3 sin , 3, 3 2 A c AB AC= =  = ，则 sin sin b c B C + = + （ ） A． 3 3 2 B． 2 21 3 C． 2 7 3 D． 4 21 3 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．关于函数 ( ) cosf x x= − 的图象和性质，叙述正确的有（ ） A． ( )f x 是R 上的奇函数 B． ( )f x 值域为 1,1− C．将 ( )f x 图象向右平移 2024 个单位，则所得函数图象关于 y 轴对称 D．当  π,π −x 时， ( )f x 有两个零点 10．已知圆锥 SO的侧面积为4π，底面圆的周长为2π，则（ ） A．圆锥的母线长为 4 B．圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 1 4 C．圆锥的体积为 15 π 3 D．沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为 7 15 π 24 11．已知定义在R 上的函数 ( )f x ，对任意 ,x yR有 ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + ，其中 1 (1) 2 f = ； 当 0x  时， ( ) 0f x  ，则（ ） A． ( )f x 为R 上的单调递增函数 B． ( )f x 为奇函数 C．若函数 ( )f x 为正比例函数，则函数 ( ) ( ) x f x g x = e 在 0x = 处取极小值 D．若函数 ( )f x 为正比例函数，则函数 ( ) ( ) 2sin 1h x f x x= − − 只有一个非负零点 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知复数 z 满足 i 3 iz z− = − ，其中 i 是虚数单位，则 3z z− = ． 13．一个盒子中装有 4 张卡片，卡片上分别写有数字1 2 3 4､ ､ ､ ，现从盒子中随机抽取卡片，若 第一次抽取一张卡片，放回后再抽取 1 张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于 6 的概率 是 . 14．若定义在 A上的函数 ( )f x 和定义在 B上的函数 ( )g x ，对任意的 1x A ，存在 2x B ， 使得 ( ) ( )1 2f x g x t+ = （t为常数），则称 ( )f x 与 ( )g x 具有关系 ( )P t ．已知函数 ( ) π 2cos 2 6 f x x   = +    （ π 2π 12 3 x        ， ）， ( ) 2cos cos 5g x x m x= − + （ xR ），且 ( )f x 与 ( )g x 具有关系 ( )3P ，则 m的取值范围为 ． 试卷第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。 15．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则：每一局比赛中，胜者得 1 分，负者得 0 分，且 比赛中没有平局.根据以往战绩，每局比赛甲获胜的概率为 2 3 ，每局比赛的结果互不影响. (1)经过 3 局比赛，记甲的得分为 X，求 X的分布列和期望； (2)若比赛采取 3 局制，试计算 3 局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分的概率. 16．如图， ⊥AE 平面 ABCD， ,E F 在平面 ABCD的同侧， //AE DF ， //AD BC，AD AB⊥ ， 1 1 2 AD AB BC= = = . (1)若 , , ,B E F C 四点在同一平面内，求线段EF 的长； (2)若 2DF AE= ，平面BEF 与平面BCF 的夹角为30 ，求线段 AE的长. 试卷第 4 页，共 4 页 17．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为 20 202318 − 年全球新能源汽车的销售量情况统 计. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 x 1 2 3 4 5 6 销售量 y /百万辆 2.02 2.21 3.13 6.70 10.80 14.14 若 y 与 x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题： (1)求变量 y 与 x 的样本相关系数 r (结果精确到 0.01)； (2)求 y 关于 x 的线性回归方程，并据此预测 2024 年全球新能源汽车的销售量. 附：线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a= + ，其中 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 ˆ ˆˆ, n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b a y bx x x x nx = = = = − − − = = = − − −     ， 样本相关系数 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n n i i i i i i n n n n i i i i i i i i x x y y x y nx y r x x y y x nx y ny = = = = = = − − − = = − − − −       . 参考数据： 6 6 2 1 1 181.30, 380.231, 17.5 4.2, 126.731 11.2i i i i i x y y = = = =    . 18．已知函数 ( ) 1 2e e 1 x xf x x= − + . (1)证明： 0x  ，总有 ( ) 0f x  成立； (2)设n N ，证明： 2 2 2 1 1 1 ln( 1) 1 1 2 2 n n n + + +  + + + + ． 19．图是一个 11 阶的杨辉三角： (1)求第 22 行中从左到右的第 3 个数； (2)在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中 三个相邻的数之比为 1：3：5?若存在，试求 出这三个数：若不存在，请说明理由. (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它 的许多性质与组合数的性质有关.如：从第 3 行开始，除了 1 以外，其它每一个数是它肩 上的二个数之和；请尝试证明：当m ， *Nn ，n m ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 21 C 2 C 3 C 1 C 1 C m m m m m m m m n nm m m n m + + + ++ + + + + + + + = + . 答案第 1 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值． 【详解】根据题意， ( ) 2 1 2 1 4 4 2 2 2 4 2 8 a b a b a b a b a b b a b a   + = + + = + + +  +  =    当且仅当 4a b b a = ，即 1 2 2 a b= = 时，等号成立． 故选：C 2．D 【分析】求集合A 中函数的值域，得到集合A ，再由集合交集和补集的定义求 ( )U A B . 【详解】函数 2 1y x= + 值域为 )1,+ ，则    )2 1 1,A y y x = = + = + ， 又  1,2B = − ，则有  1,2A B = ，所以 ( )U A B = ( ) ( ),1 2, −  + . 故选：D. 3．C 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，结合等腰三角形可知四面体的高，进而可得体积. 【详解】如图所示， 取BD的中点E，连接 AE， 因为 AB AD= ，所以 AE BD⊥ ， 又平面 平面BCD，平面 ABD平面BCD BD= ， 所以 ⊥AE 平面BCD， 因为 ， 2BD = ，所以 2 24 1 15AE = − = ， 又 1 1 3 sin 2 2 3 2 2 2 BCDS BC BD CBD=    =    = ， 所以四面体 ABCD的体积 1 1 3 15 5 3 3 A BCD BCDV V S AE−= =  =   = ， 故选：C. 答案第 2 页，共 13 页 4．C 【分析】先令 1x = ，求得 0 1 2 8a a a a+ + + +… ，再利用通项公式求得 8a 求解. 【详解】解：令 1x = ， 得 0 1 2 8 3a a a a+ + ++ = − ， ( ) 7 8 2 2 256a =  − = − ， ∴ 0 7 8 3 253a a a+ + = − − =… . 故选：C. 5．D 【分析】根据方差的性质即可求解 A，根据百分位数即可求解 B,根据相互独立事件的乘法 公式，结合条件概率的计算公式即可求解 C，根据相关系数的大小即可求解 D. 【详解】对于 A, 且 ( ) 3D  = ，则 ( ) ( )4 12D D = = ,A 正确， 对于 B，由于10 45% 4.5 = ，故样本数据 50，53，55，59，62，68，70，73，77，80 的第 45 百分位数为第 5 个数 62，B 正确， 对于 C, 事件 A、B相互独立,则 ( ) ( ) ( )P AB P A P B= ,所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P AB P B P A P A B P A P B P B = = = ,C 正确， 对于 D，由于 A Br r ,所以 B 组数据的相关性更强，D 错误， 故选：D 6．C 【分析】由题意，求得函数 在 处的切线方程，得到 ，通过对其求 导分析，得出 的单调性，极值和值域，即可一一判断选项正误. 【详解】因函数 在点 处的切线为 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x− = − ， 答案第 3 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 即 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )g x f x x x f x f x = − + ，则 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h x f x g x f x f x x x f x f x = − = − + − ， 于是， 0( ) ( ) ( )h x f x f x  = − ，由图知，当 0x x 时， 0( ) ( )f x f x  ，此时 ( ) 0h x  ， 当 0x x 时， 0( ) ( )f x f x  ，此时 ( ) 0h x  . 对于 B 项，由上分析，B 项显然错误； 对于 C, D 项，由上分析，当 0x x 时， 单调递增；当 0x x 时， 单调递减, 即当 0x x= 时， 取得极大值，且 ( )0 0h x = ，故 C 项正确，D 项错误； 对于 A 项，由上分析 0x x= 时， 取得极大值 0( ) 0h x = ，也是最大值， 则有 Rx  ， ( ) 0≤h x ，故 A 项错误. 故选：C. 7．A 【分析】先推导函数的奇偶性和单调性，再根据充分必要条件的规定进行判断即得. 【详解】易知函数 ( )f x 的定义域为R ．由 ( ) 2e e sinx xf x x−= + − 可得 ( ) ( )f x f x− = ， 所以函数 ( )f x 是偶函数．易得 ( ) e e sin2x xf x x− − = − ，令 ( ) ( )g x f x=  ， 则 ( ) e e 2cos2 2 2cos2 0x xg x x x−= + −  −  ，当且仅当 0x = 时取等号， 所以 ( )f x 是增函数，又 ( )0 0f  = ，故当 0x  时， ( ) 0f x  ，即 ( )f x 在 ( )0, + 上单调递增． 由上分析知，当 1 2 0x x  时， ( ) ( )1 2f x f x ，因 ( ) ( )f x f x= ， 故当 1 2x x 时， ( ) ( )1 2f x f x ，即“ 1 2x x ”是“ ( ) ( )1 2f x f x ”的充分条件； 当 ( ) ( )1 2f x f x 时， ( ) ( )1 2f x f x ，可得 1 2x x ，所以 1 2x x 或 1 2x x − ， 即“ 1 2x x ”不是“ ( ) ( )1 2f x f x ”的必要条件． 故选：A． 8．B 【分析】由已知条件结合向量数量积的定义、余弦定理求出a ，由正弦定理可得 sin sin sin b c a B C A + = + ，化简即可得到答案. 【详解】因为 ABC 为锐角三角形， 3 sin 2 A = ，所以 60A = ，由 cos 3AB AC cb A = = ，则 2b = ， 答案第 4 页，共 13 页 由余弦定理可得： 2 2 2 2 cos 7= + − =a b c bc A ，即 7a = ， 由正弦定理可得： 7 2 21 sin sin sin sin60 3 b c a B C A + = = = + . 故选：B. 9．BD 【分析】由余弦函数的性质就可以判断 ABD，选项 C 由平移思想，没法诱导为余弦函数， 所以是错误的. 【详解】由 ( ) cosf x x= − 得， ( )f x 是偶函数，所以选项 A 是错误的； 由 ( ) cosf x x= − 的值域是 1,1− ，所以选项 B 是正确的； 将 ( )f x 图象向右平移 2024 个单位，可得 ( ) ( )2024 cos 2024f x x− = − − ，显然不可以诱导为 余弦函数，所以选项 C 是错误的； 当  π,πx − 时，余弦函数在一个周期内显然有两个零，即 2 x  =  ，所以选项 D 是正确的. 故选：BD . 10．ACD 【分析】先求出圆锥的母线和底面半径的长，逐项计算后可得正确的选项. 【详解】 对于 A， 设圆锥的母线长为 l ，底面圆的半径为 r ，则π 4π,2π 2πrl r= = ，故 1, 4r l= = ， 故 A 正确. 对于 B，圆锥的高为 h，则 16 1 15h = − = ， 故圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 15 4 ，故 B 错误. 对于 C，圆锥的体积为 2 1 15 π π 3 3 r h = ，故 C 正确. 答案第 5 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 对于 D，沿着圆锥母线的中点截圆锥所得小圆锥的体积为 1 15 π 8 3  ， 故所得圆台的体积为 7 15 7 15 π= π 8 3 24  ，故 D 正确. 故选：ACD. 11．AB 【分析】选项 A，利用函数单调性的定义，设 2 1x x t= + ， 0t  ，得出 ( )2f x − ( ) ( )1 0f x f t=  即可得证；选项 B，先得出 ( )0 0f = ，再设 y x= − ，得出 ( ) ( ) 0f x f x+ − = ，即可得证；选 项 C，在 ( ) 1 2 f x x= 前提下，求函数 ( )g x 的导函数 ( )g x ，分析导函数 ( )g x 的正负，得出 函数 ( )g x 的单调性以及极值即可；选项 D，在 ( ) 1 2 f x x= 前提下，函数 1 ( ) 2sin 1 2 h x x x= − − ， 利用零点存在性定理，代入特殊值检验即可. 【详解】对于选项 A，设 2 1x x ，且 2 1x x t= + ， 0t  ， ( ) ( ) ( )2 1f x f x f t= + ，即 ( )2f x − ( ) ( )1 0f x f t=  ， 故 ( )f x 单调递增，选项 A 正确； 对于选项 B， ( )f x 是定义在R 上的函数，取 0x y= = ，则 ( )0 0f = ， 取 y x= − ，则 ( ) ( ) 0f x f x+ − = ，即 ( ) ( )f x f x− = − ， 故 ( )f x 是奇函数，选项 B 正确； 对于选项 C、D，设 ( )f x kx= ，代入 1 (1) 2 f = ，得 ( ) 1 2 f x x= ， 其中 C 选项， ( ) ( ) e 2ex x f x x g x = = ， ( ) 1 2ex x g x −  = ， 当 1x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在区间 ( ,1)− 上单调递增， 当 1x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在区间 (1, )+ 上单调递减， 函数 ( ) ( ) ex f x g x = 在 1x = 处取极大值，无极小值,选项 C 错误； 其中 D 选项，函数 1 ( ) 2sin 1 2 h x x x= − − ， 其中 ( ) ( ) π π π 2sin π 1 1 0 2 2 h − = − − − − = − −  ， π π π π 2sin 1 1 0 2 4 2 4 h     − = − − − − = −         ， 答案第 6 页，共 13 页 ( )0 1 0h = −  ， ( ) π π π 2sin π 1 1 0 2 2 h = − − = −  ， 由零点存在性定理可知，函数 分别在区间 π ( π, ) 2 − − ， π ( ,0) 2 − 和 (0,π) 上各至少存在一个 零点，选项 D 错误； 故选：AB. 【点睛】本题考查抽象函数性质与函数导数综合问题，考查知识点多且复杂，属于难度.题 型点睛，抽象函数单调性问题主要包括：（1）判断（证明）函数的单调性：这类问题通常 要求在给定的区间上设出自变量 x 的任意两个取值并给出它们之间的大小关系，然后对函数 值因式进行化简变形，并判断其符号，得出函数的单调性结论；（2）利用函数的单调性比 较大小：这包括正用和逆用两种方法，即若已知函数 ( )f x 在某个区间上是增函数，则当 1 2x x 时，有 1 2( ) ( )f x f x ；反之亦然；（3）利用函数的单调性求函数的最值（值域）：通过函 数的单调性，可以求得函数的值域，进而求得函数的最大值或最小值；（4）利用函数的单 调性：用将函数值之间的不等关系用于自变量间的不等关系，进行等价转化即可；（5）利 用函数的单调性求参数的取值范围：通过将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知 的单调区间比较，或通过建立关于参数的不等式（组）或方程（组），解不等式（组）或方 程（组）求出参数的取值范围. 12． 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数 z ，从而求出 3z z− ，最后求出其模. 【详解】因为 i 3 iz z− = − ， 所以 ( )( ) ( )( ) 23 i 1 i3 i 3 3i i i 2 i 1 i 1 i 1 i 2 z + −+ − + − = = = = − + + − ， 所以 ( ) ( )3 2 i 3 2 i 4 4iz z− = − − + = − − ， 所以 ( ) ( ) 2 2 3 4 4 4 2z z− = − + − = . 故选： 13． 13 16 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】两次抽取的试验的样本空间  Ω 11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41, 42,43,44= ， 答案第 7 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 共 16 个， 两次抽取的卡片数字之和大于 6 的事件  34,43,44A = ，共 3 个， 所以两次抽取的卡片数字之和大于 6 的概率是 ( ) 3 16 P A = ， 则不大于 6 的概率为 ( ) 3 13 1 1 16 16 P A− = − = . 故答案为： 13 16 . 14．  ( ), 4 4,− −  + 【分析】先根据题意求出函数 ( )f x 的值域为[ 2,1]− ，由题意得到  ( )22,1 3 g x−  − 的值域， 再将函数 ( ) 23 cos cos 2g x x m x− = − + − 进行换元， ( )  2 2, 1,1h t t mt t= − + −  − ，由对称轴进 行分类讨论，得到 ( )h t 的值域，从而得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得对任意的 1x A ，存在 2x B ，使得 ( ) ( )1 2 3f x g x+ = ， 又 ( )   π 2cos 2 2,1 6 f x x   = +  −    ，故  ( )22,1 3 g x −  − 的值域， 因为 ( ) 2 23 3 cos cos 5 cos cos 2g x x m x x m x− = − + − = − + − ， xR ， 令 cost x= ，则  1,1t  − ， 设 ( )  2 2, 1,1h t t mt t= − + −  − ， ①若对称轴 1 2 m  − ，即 2m  − 时， ( ) ( ) ( )  1 , 1 3, 3h t h h m m − = − − −   ， 则 3 1 3 2 m m − −   −  − ，解得 4m  − ，与 2m  − 求交集，结果为 4m  − ； ②若 1 2 m  ，即 2m  时， ( ) ( ) ( )  1 , 1 3, 3h t h h m m − = − − −   ， 则 3 1 3 2 m m −   − −  − ，解得 4m  ，与 2m  取交集，结果为 4m  ， ③若 1 0 2 m −   ，即 2 0m−   时， ( ) ( ) 2 1 , 3, 2 2 4 m m h t h h m      = − −          ， 则 2 2 1 4 3 2 m m  −    −  − ，解得 2 3m  或 2 3m  − ，与 2 0m−   取交集，结果为， 答案第 8 页，共 13 页 ④若0 1 2 m   ，即0 2m  时， ( ) ( ) 2 1 , 3, 2 2 4 m m h t h h m      − = − − −          ， 则 2 2 1 4 3 2 m m  −   − −  − ，解得 2 3m  或 2 3m  − ，与0 2m  取交集，结果为． 综上， 4m  或 4m  − ． 所以m 的取值范围为 ( , 4] [4, )− − + . 故答案为： ( , 4] [4, )− − + . 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理 解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解 的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么 情况下可以使用书上的概念． 15．(1)分布列见解析，2 (2) 20 27 【分析】（1）根据题意可知 2 3, 3 X B       ，进而利用二项分布求出 X 的分布列及数学期望； （2）由题意可知，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况，即甲获胜 2 局，甲获胜 3 局，从而结合（1）可得结果. 【详解】（1）由题意得， 2 3, 3 X B       ，X的取值可能为 0，1，2，3， 则 ( ) 3 2 1 0 1 3 27 P X   = = − =    ， ( ) 2 1 3 2 2 2 1 C 1 3 3 9 P X   = =   − =    ， ( ) 2 2 3 2 2 4 2 C 1 3 3 9 P X     = =   − =        ， ( ) 3 2 8 3 3 27 P X   = = =    . 所以 X的分布列为 X 0 1 2 3 答案第 9 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 P 1 27 2 9 4 9 8 27 因为 2 ~ 3, 3 X B       ，所以 X的期望 ( ) 2 3 2 3 E X np= =  = . （2）第 3 局比赛后，甲的累计得分高于乙的累计得分有两种情况： 甲获胜 2 局，甲获胜 3 局， 所以所求概率为 ( ) ( ) 4 8 20 2 3 9 27 27 P P X P X= = + = = + = . 16．(1)1； (2) 1 2 【分析】（1）由线面平行的判定定理、性质定理得四边形 ADFE是平行四边形可得答案； （2）以A 为原点，分别以 AB、 AD、 AE所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐 标系，设 ( )0,0,E  ，求出平面BEF 、平面BFC 的一个法向量，由二面角的向量求法可得答 案. 【详解】（1） //AD BC ，BC  平面BCEF ， AD 平面BCEF ， //AD 平面BCEF ， //AE DF ，则 , , ,A E F D 四点共面， //AD 平面BCEF ， AD 平面 ADEF ，平面BCEF 平面 ADEF EF= ， //AD EF ，又 //AE DF ，则四边形 ADFE是平行四边形， 1EF DC = = ； （2）以A 为原点，分别以 AB、 AD、 AE所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 建立空间直角坐标系，设 ( )0,0,E  ， ( )0,1,2F  ， ( )1,0,0B ， ( )1,2,0C ， ( )1,0,BE = − ， ( )1,1,2BF = − ， ( )0,2,0BC = ， 设 ( )1 1 1, ,m x y z= 是平面BEF 的一个法向量， 由 0 0 m BE m BF   =   = ，得 1 1 1 1 1 0 2 0 x z x y z   − + =  − + + = ，令 1 1z = ，可得 1 1,x y = = − ， 可得 ( ), ,1m  = − ， 设 ( )2 2 2, ,n x y z= 是平面BFC 的一个法向量， 答案第 10 页，共 13 页 由 0 0 n BC n BF   =   = ，得 2 2 2 2 2 0 2 0 y x y z =  − + + = ，令 2 1z = ，可得 2 22 , 0x y= = ， 可得 ( )2 ,0,1n = ， 依题意 2 2 2 2 2 2 2 1 3 cos , 2( ) 1 (2 ) 0 1 m n m n m n     + = = = + − +  + + ， 解得 1 2  = ， 1 2 AE = . 17．(1) 0.95.r  (2) ˆ 2.56 2.46y x= − ，15.46百万辆 【分析】（1）利用相关系数 r 公式即可求解； （2）根据已知数据，利用公式先求出 b̂ ，进而求出 â ，得到线性回归方程，再利用线性回 归方程进行预测即可. 【详解】（1）因为 1 2 3 4 5 6 3.5 6 x + + + + + = = ， 2.02 2.21 3.13 6.7 10.8 14.14 6.5 6 y + + + + + = = ， 所以 6 2 2 1 49 6 1 4 9 16 25 36 6 17.5 4 i i x x = − = + + + + + −  = ， 6 2 2 2 1 6 380.231 6 6.5 126.731i i y y = − = −  = ， 所以 6 1 2 2 2 2 1 1 6 181.3 6 3.5 6.5 44.8 0.95. 4.2 11.217.5 126.7316 6 i i i i i i i x y xy r x x y y = = = − −   = =    −  −  （2）由题意得 6 1 6 2 2 1 6 44.8ˆ 2.56 17.5 6 i i i i i x y xy b x x = = − = = = −   ， 所以 ˆˆ 6.5 3.5 2.56 2.46a y bx= − = −  = − ， 答案第 11 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 得 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ 2.56 2.46y x= − ， 所以可以预测 2024 年全球新能源汽车的销售量为2.56 7 2.46 15.46 − = 百万辆. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）令 1 2e x t = ，将函数化为 ( ) 22 ln 1f x t t t= − + ，构造函数 ( ) 22 ln 1g t t t t= − + ，利 用导数研究其单调性及最值即可证明； （2）由（1）知 1 2ln t t t  − ，可得 1 1 2ln 1 n n n n n n + +  − + ，化简得 ( ) 2 1 ln 1 lnn n n n + −  + ， 累加即可证明结论. 【详解】（1）令 1 2e x t = ，则因为 0x  ， 21, e , 2 lnxt t x t = = ， ( ) 1 22e e 1 2 ln 1 x xf x x t t t= − + = − + 令 ( ) 22 ln 1g t t t t= − + ，则 ( ) ( ) ( )2 ln 1 2 2 ln 1g t t t t t= + − = − + ， 又令 ( ) ln 1t t t = − + ，则 ( ) 1 1 1 t t t t  − = − = ， 当 1t  时 ( ) 0t  ， ( )t 在 ( )1, + 上单调递减，所以 ( ) ( )1 0t  = ， 所以 1t  时 ( ) 0g t  ， ( )g t 在 ( )1, + 上单调递减， 所以 ( ) ( )1 0g t g = ，即 0x  ，总有 ( ) 0f x  成立； （2）由（1）知 22 ln 1t t t − 即 1 2ln t t t  − 对任意的 1t  恒成立. 所以对任意的 *nN ，有 1 1 2ln 1 n n n n n n + +  − + ，整理得到： ( ) 2 1 ln 1 lnn n n n + −  + ， 故 ( ) 2 2 2 1 1 1 ln 2 ln1 ln 3 ln 2 ln 1 ln 1 1 2 2 n n n n + + +  − + − + + + − + + + ( )ln 1n= + ， 故不等式 2 2 2 1 1 1 ln( 1) 1 1 2 2 n n n + + +  + + + + 成立. 19．(1)231 (2)7，21，35 (3)证明见解析 答案第 12 页，共 13 页 【分析】（1）直接利用二项式定理求解. （2）可设第n 行的第 r ， 1r + ， 2r + 三个相邻的数之比为1:3:5，列出方程，求出n ， r 的 值，再求出这三个数. （3）先总结表达结论 1 2 2 1 1 2C C C m m m k k k + + + + + ++ = ，结合 ( )1 C m kk + ( ) 1 11 C m km + += + ，可得 ( ) ( )( )2 22 11 C 1 C Cm m mk k kk m + ++ ++ = + − ，再利用该结论证明原结论. 【详解】（1）第 22 行中从左到右的第 3 个数为： 2 22 22 21 C 231 2 1  = =  . ( ) ( ) ( ) 1 ! 1 C ! ! m k k k k m k m +  + = − （2）设第n 行的第 r ， 1r + ， 2r + 三个相邻的数之比为1:3:5，则 1 1C :C :C 1:3:5r r rn n n − + = 1 1 C : C 1:3 C : C 3:5 r r n n r r n n − +  =  =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ! ! : 1:3 1 ! 1 ! ! ! ! ! : 3:5 ! ! 1 ! 1 ! n n r n r r n r n n r n r r n r  = −  − +  −   =   − +  − −  1 1 3 1 3 5 r n r r n r  = − +  + =  −  7 2 n r =  = . 所以这 3 个数是： 1 7C ， 2 7C ， 3 7C ，即 7，21，35. （3）当n m= 时，结论显然成立； 当 n m 时， ( ) ( ) ( ) 1 ! 1 C ! ! m k k k k m k m +  + = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ! 1 1 ! 1 1 ! k m m k m + = +  + + − +  ( ) 111 C m km + += + ， 1, 2, ,k m m n= + + . 由题意： 1 2 2 1 1 2C C C m m m k k k + + + + + ++ = . 所以 ( ) ( )( )2 22 11 C 1 C Cm m mk k kk m + ++ ++ = + − ， 1, 2, ,k m m n= + + 因此 ( ) ( ) ( ) ( )1 21 C 2 C 3 C 1 C m m m m m m m nm m m n+ ++ + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( )1 21 C 2 C 3 C 1 C m m m m m m m nm m m n+ + = + + + + + + + +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 3 2 4 3 2 11 C 1 C C C C C Cm m m m m m mm m m m m n nm m+ + + + + + ++ + + + + + + = + + + − + − + + −  ( ) 221 C m nm + += + 【点睛】关键点点睛：本体的关键点时利用组合数的计算公式和组合数的性质进行计算.首 先根据组合数公式得到 ( )1 Cmkk + = ( ) 1 11 C m km + ++ ，再结合组合数性质 1 2 2 1 1 2C C C m m m k k k + + + + + ++ = 得到 ( ) ( )( )2 22 11 C 1 C Cm m mk k kk m + ++ ++ = + − ，再对目标式子进行化简整理. 答案第 13 页，共 13 页 学科网（北京）股份有限公司