奇偶性、对称性与周期性 课件-2025届高三数学一轮复习

第二章函数与基本初等函数 第3节奇偶性、对称性与周期性 7 知识诊断基础夯实 ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 般地，设函数fx)的定义域为l,如果x∈I, 偶函数 都有-x∈I,且 f一x)=fx),那么函数 关于y轴对称 x)就叫做偶函数 般地，设函数fx)的定义域为I,如果x∈I, 奇函数 都有-x∈I,且一=一f,那么函数 关于原点对称 fx)就叫做奇函数 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y=x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内 的任何值时，都有x+D=),那么就称函数y=f)为周期函数，称T为这个 函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这 个最小正数就叫做x)的 虚周期. 1.函数周期性的常用结论 对fx)定义域内任一自变量的值x: (1)若fx+a)=fx),则T=2a(a>0). (2若c+a)与了白则T=2aa0. a若fc+a=r,则T=2a>0. 2.对称性的四个常用结论 (1)若函数yfx十a)是偶函数，则函数yfx)的图象关于直线x=a对称 (2)若函数yf十b)是奇函数，则函数y三fx)的图象关于点(b,0)中心对称 (3)若函数，e)满足fa+)fb一).则yf)的图象关于直线x=a十x 2对称 特别地，当a=b时，即f(a+x)=f(a一x)或fx)f2a一x)时，则y=fx)的图象关 于直线x=a对称 (4)若函数y=fx)满足fx)十(2a一x)=2b,则y=fx)的图象关于点(a,b)对称特 别地，当b=0时，即f(a+x)十fa一x)=0或fx)+f2a一x)=0时，则y=fx)的 图象关于点(a,0)对称 1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”） (1)函数y=x2在x∈(0，+∞)上是偶函数.(X) (2)若函数fx)为奇函数，则一定有f0)=0.(×) (3)若T是函数的一个周期，则nT(∈Z,n≠0)也是函数的周期.（√） ④若函数满足关系u十x心.则函数的图象关于点生中，0 对称.（√） 解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y=x2在(0，+∞)上不具有 奇偶性，(1)错误 (2)由奇函数定义可知，若fx为奇函数，且在x=0处有意义时才满足0)=0， (2)错误 2.(多选)下列函数中为偶函数的是(B0 A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y In x D.y=2-* 解析根据偶函数的定义知偶函数满足f孔一)=)，且定义域关于原点对称， A选项为奇函数； B选项为偶函数； C选项为偶函数； D选项既不是奇函数，也不是偶函数， J 解析 因为)是定义在R上的奇函数，所以一x)=一). 又f1十)=f八一x), 所以f2十)=f1+(1+=1-(1+=一1+)=一一刈)=f), 所以函数f)是以2为周期的周期函数，月}6-2-}