专题07 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题07 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型） 题型一 两个数四则运算（基础题） 题型二 多个数混合运算（基础型） 题型三 有理数加减法计算题 题型四 有理数乘除法计算题 题型五 含乘方的有理数混合运算 题型六 有理数四则混合运算（复杂） 题型七 含绝对值的有理数计算 题型八 有理数的简便运算 题型九 有相反数、倒数类型计算题 题型十 有理数的规律计算题 题型十一 有理数的新定义运算 【经典例题一 两个数四则运算（基础题）】 1．计算下列各题 (1)； (2)； 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1) (2) (3) (4) 6．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 10．直接写出得数． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ． 【经典例题二 多个数混合运算（基础型）】 11．计算： (1)； (2)． 12．计算题． (1)； (2)． 13．（1）计算：； （2）计算：． 14．用适当的方法计算： (1)； (2)． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算： (1) (2) (3) (4) 19．计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 20．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典例题三 有理数加减法计算题】 21． 22． 23．计算： (1)； (2)． 24．计算： ①． ②． 25．用合理的方法计算下列各题： (1)； (2)． 26．（1）； （2）． 27．计算： (1)； (2)． 28．计算下列各题： (1) (2) 29．计算： (1)； (2)． 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（要求用运算律计算）． 【经典例题四 有理数乘除法计算题】 31．计算：． 32．计算： 33．计算：． 34．计算：． 35．计算下列各题 (1) (2) 36．计算： (1)； (2)． 37．计算： (1) (2) 38．下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 39．计算 (1) (2) (3) (4) 40．计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 含乘方的有理数混合运算】 41．计算：． 42．计算：． 43．计算：． 44．计算：． 45．计算：． 46．计算： 47．计算：． 48．计算 (1) (2) 49．计算 (1)； (2)． 50．计算： (1)； (2)． 【经典例题六 有理数四则混合运算（复杂）】 51．计算：． 52．计算：． 53．计算： (1) (2) 54．计算： (1)； (2)． 55．脱式计算，能简算的要简算． (1) (2) 56． 规定一种新的运算：，如．请计算的大小． 57．我们规定运算：．示例：．请计算： (1)． (2)． 58．用合理的方法计算，并写出过程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 59．直接写出得数． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 60．在数学活动课上，张老师拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字a后，其余同学将a按张老师排列的卡片顺序开始运算． (1)若，卡片顺序为B，C，A，求运算结果． (2)若数字a经过A，B，C的顺序运算后，结果为0，请直接写出a的值． 【经典例题七 含绝对值的有理数计算】 61．计算：. 62．计算： (1) (2) 63．有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 64．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 65．如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 66．计算：． 67．已知，且，求的值． 68．已知，求的值． 69．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 70．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【经典例题八 有理数的简便运算】 71．计算： 72．用简便方法计算： 73．简便运算 74．简便运算 (1) (2) 75．用简便方法计算下面各题． (1) (2) 76．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 77．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 78．简便计算： (1) (2) (3) (4) 79．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 80．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 【经典例题九 有相反数、倒数类型计算题】 81．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，m的绝对值和倒数均是它本身，n的相反数是它本身，求的值． 82．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 83．列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 84．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 85．已知数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为5，求的值． 86．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)求的值； (2)求的值． 87．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 88．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 89．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 90．已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【经典例题十 有理数的规律计算题】 91．我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 92．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 93．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 94．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 95．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 96．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 97．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 98．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 99．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 100．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【经典例题十一 有理数的新定义运算】 101．阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 102．定义一种运算：，求 103．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．计算： 104．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 105．对于有理数，，定义一种新运算“@”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 106．定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 107．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 108．对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 109．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 110．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 有理数的运算110道计算题专项训练（11大题型） 题型一 两个数四则运算（基础题） 题型二 多个数混合运算（基础型） 题型三 有理数加减法计算题 题型四 有理数乘除法计算题 题型五 含乘方的有理数混合运算 题型六 有理数四则混合运算（复杂） 题型七 含绝对值的有理数计算 题型八 有理数的简便运算 题型九 有相反数、倒数类型计算题 题型十 有理数的规律计算题 题型十一 有理数的新定义运算 【经典例题一 两个数四则运算（基础题）】 1．计算下列各题 (1)； (2)； 【答案】(1)130 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数加法法则进行运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)51 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的减法，掌握有理数减法法则是解题的关键． （1）根据有理数减法法则进行计算即可． （2）根据有理数减法法则进行计算即可． （3）通分后，根据有理数减法法则进行计算即可． （4）通分后，根据有理数减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)13 (2) (3)0 (4) 【分析】此题是有理数的除法，主要考查了有理数除法的法则，进行计算时，先判断符号，再绝对值相除． （1）先判断出符号，再绝对值相除即可； （2）先判断出符号，再绝对值相除即可； （3）零除以任何一个不为零的数，商为零， （4）先判断出符号，再绝对值相除，既有分数，又有小数，一般把小数化为分数直接约分即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 5．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． （1）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 6．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3)1.6 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查有理数加法及绝对值，掌握其运算法则是解题关键． （1）根据加法法则，同号两数相加，取相同的符号，绝对值相加即可，计算即可； （2）根据加法法则，任何数与0相加仍得这个数，计算即可． （3）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可； （4）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可． （5）先去绝对值，再相加计算即可； （6）先去绝对值，再相加计算即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式； （3）解：原式， ； （4）解：原式， ； （5）解：原式， ； （6）解：原式 7．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)8 (6) 【分析】本题考查有理数加法，掌握有理数加法的计算法则是正确计算的前提． （1）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （3）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （4）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （5）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； （6）根据有理数加法的计算法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)2 (3)21 (4) (5) (6)119 【分析】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可 （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)12 (3)0 (4) (5) 【分析】本题考查有理数的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用有理数的乘法法则计算各题即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 10．直接写出得数． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ． 【答案】(1)700 (2)16.6 (3) (4) (5)510 (6)3.2 (7)4 【分析】本题主要考查了整数的加法运算，分数的加法运算，整数与分数的乘法运算，小数与小数的除法运算，小数与分数的乘法运算等知识，按照各自的运算法则计算即可． （1）按照整数与整数的加法运算法则计算即可， （2）按照小数与小数的减法运算法则计算即可， （3）先通分，然后按照分数的加法运算法则计算即可． （4）按照分数的乘法运算法则计算即可． （5）按照小数的除法运算法则计算即可． （6）按照小数与分数的乘法运算法则计算即可． （7）按照整数与分数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【经典例题二 多个数混合运算（基础型）】 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记有理数乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算便可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算题． (1)； (2)． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）利用有理数加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 13．（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）19；（2）． 【详解】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减即可； （2）逆用乘法的分配律进行运算较简便． 解：（1） ； （2） ． 14．用适当的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法法则． （1）利用结合律简便计算法计算； （2）利用结合律简便计算法计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 15．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)1 (3)2 【分析】本题主要考查了有理数的加法、减法法则以及混合运算，解决这类问题要熟记有理数加法、减法法则，要先确定符号，有理数混合运算时一般从左到右进行计算，但又简便运算时要简便计算，例如把一些负数或正数分别运算，或同分母的分数先计算． （1）先确定符号是“”号，再用77减去43即可； （2）根据减法法则，把减法转化为加法，根据有理数加法法则计算即可； （3）把分母相同的分数进行加减较为简便． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 16．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)700 【分析】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法的运算法则． （1）将带分数化为假分数，根据有理数乘法的运算法则求解即可； （2）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算； （3）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)0 (3)3 (4) 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，乘除混合运算． （1）利用减法法则变形，计算即可得到结果； （2）利用减法法则变形，同分母结合后，相加即可得到结果； （3）利用除法法则变形，根据乘法法则计算即可得到结果； （4）利用除法法则变形，根据乘法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 19．计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)240 (2) (3)3 (4) (5)1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）根据有理数加法运算律计算，即可求解； （2）根据有理数加法运算律计算，即可求解； （3）先计算乘方，再计算乘除，然后计算加减，即可求解； （4）利用有理数乘法运算律计算，即可求解； （5）利用有理数乘法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 20．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)6 (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号． （1）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （2）先确定符号，再用约分即可得答案； （3）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （4）先确定符号，再用约分即可得答案； （5）先确定符号，再用约分即可得答案； （6）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【经典例题三 有理数加减法计算题】 21． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将异分母分数通分，再进行计算即可． 【详解】解： ． 22． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 23．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的减法，解题关键是熟练掌握有理数的减法法则． （1）根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，再利用加法运算律进行简便计算即可． （2）根据有理数的减法法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式，再利用加法运算律进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．计算： ①． ②． 【答案】①10；②0 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． ①根据有理数加减混合运算法则计算即可； ②根据有理数加减混合运算法则计算即可； 【详解】解：① ； ② ． 25．用合理的方法计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查有理数的加法，关键是掌握有理数的加法法则． （1）把原式写成去掉括号的形式，分别计算正数和负数的和，即可得到答案； （2）应用加法的交换，结合律，即可计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 26．（1）； （2）． 【答案】（1）9；（2）8 【分析】本题考查有理数的加减混合运算． （1）先去括号和绝对值，再进行加减计算即可； （2）先去括号，再进行加减计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减运算，有理数加法的运算律，解题的关键是∶ （1）先去括号，然后利用有理数加法的运算律和有理数的加减运算法则计算即可； （2）利用有理数加法的运算律和有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解∶原式 （2）解∶原式 ． 28．计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】此题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键． （1）把原式写成去掉括号的形式，分别计算正数和负数的和，即可得到答案； （2）应用加法的交换，结合律，即可计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．计算： (1)； (2)； (3)； (4)（要求用运算律计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加减混合运算，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键； （1）利用交换律与结合律化为，再计算即可； （2）先求解绝对值，再计算即可； （3）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （4）利用交换律与结合律化为，再计算即可； 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 【经典例题四 有理数乘除法计算题】 31．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将除法化为乘法，再进行计算即可． 【详解】解： ． 32．计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，原式先计算括号中的加法运算，再计算乘除运算即可求出值． 【详解】解： ． 33．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除法“先将除法运算转化成乘法运算并确定符号，再按顺序计算”可以解答本题． 【详解】解： ． 34．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解： 35．计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）从左往右计算，即可求解； （2）理由有理数的乘法运算律计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 36．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 37．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出绝对值，根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）根据有理数除法法则，将除法转化成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数乘除混合运算，熟练掌握有理数乘除混合运算法则是解题的关键． 38．下面各题，能简算的要写出必要的简算过程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分数的乘除法法则以及乘法的交换律和结合律计算即可； （2）根据乘法分配律以及分数的乘除法法则计算即可； 本题考查了分数的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1） （2） 39．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）除法转化为乘法，再约分即可； （2）利用乘法分配律展开，再计算即可； （3）乘法分配律的逆运用提取公因数，再进一步计算即可； （4）先计算括号内减法，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 40．计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，准确运用运算律计算是解题关键． （1） 仔细观察本题，通过调整，提出公因子，即可简算结果； （2）提出公因子，即可简算结果； （3）先去括号、假分数转成真分数计算，再观察题目，提出公因子，即可简算结果； （4）设 ，，即可简化运算过程，得出结果． 【详解】（1）解： ． （2） =2010000． （3） ． （4）设 ，， ． 【经典例题五 含乘方的有理数混合运算】 41．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，掌握运算法则是解题的关键，先计算乘方，再计算乘除法即可． 【详解】解：原式 ． 42．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据幂的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题． 【详解】原式＝ ． 43．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其计算方法是解题的关键．根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 44．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，先算乘方，再算除法，然后算减法即可． 【详解】解： 原式 ． 45．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 46．计算： 【答案】12 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答． 【详解】解： ． 47．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混合运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．根据运算顺序计算即可． 【详解】解：原式 ． 48．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）去括号，再从左往右依次进行计算即可得； （2）先化简绝对值和计算括号里的，再从左往右依次进行计算即可得； 掌握有理数混合运算的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 49．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方运算及化简绝对值，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先计算有理数的乘方运算及小括号内的减法运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：（1）原式 ； （2）原式 ． 50．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先计算乘方，结合分配律计算乘法运算，再计算加减运算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【经典例题六 有理数四则混合运算（复杂）】 51．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，注意乘法分配律的应用．先根据乘法分配律计算，再算乘除法，然后算加减法即可． 【详解】解： ． 52．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算．先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】解： ． 53．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 54．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先计算括号中的运算，以及除法化为乘法运算，约分即可得到结果； （2）原式先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果． 【详解】（1） ； （2） ． 55．脱式计算，能简算的要简算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据运算顺序和法则进行计算即可． （1）先算乘法和除法，再算加法； （2）先算小括号里面的加法，再算乘法，最后算除法． 【详解】（1）解： （2）解： 56．规定一种新的运算：，如．请计算的大小． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解规定新运算法则是解题关键．根据新运算法则计算即可． 【详解】解：． 57．我们规定运算：．示例：．请计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)39 【分析】（1）根据规定的新定义直接列式计算即可； （2）根据规定的新定义直接列式计算即可． 本题考查了新定义下的有理数运算，正确理解新定义，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）根据题意得， ； （2）根据题意得， ． 58．用合理的方法计算，并写出过程． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先计算除法与乘法运算，再计算加减运算即可； （2）利用加法的交换律与结合律进行简便运算即可； （3）利用乘法的交换律与结合律进行简便运算即可； （4）先通分，再计算加减运算即可； （5）直接利用乘法的分配律进行简便运算即可； （6）把原式化为，再结合分配律进行简便运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 【点睛】本题考查的是有理数的加减乘除运算，混合运算，乘法分配率的灵活应用，掌握运算顺序与运算法则是解本题的关键. 59．直接写出得数． (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3)1 (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】题目主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的加法运算求解即可； （2）根据有理数的乘法运算计算即可； （3）根据有理数的加法运算求解即可； （4）根据分数的减法运算即可； （5）根据分数的乘除法计算即可； （6）根据分数的乘法计算即可； （7）根据比的性质求解即可； （8）根据分数的混合运算求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）， 故答案为： （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为： （5）， 故答案为：； （6）， 故答案为：； （7）， 故答案为： （8）， 故答案为：． 60．在数学活动课上，张老师拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字a后，其余同学将a按张老师排列的卡片顺序开始运算． (1)若，卡片顺序为B，C，A，求运算结果． (2)若数字a经过A，B，C的顺序运算后，结果为0，请直接写出a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据卡片顺序为B，C，A，计算，即可求解； （2）根据题意得，，即可求解． 【详解】（1）依题意， ； （2）依题意，得， 解得：． 【经典例题七 含绝对值的有理数计算】 61．计算：. 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，分别计算出算术平方根、立方根及绝对值即可完成计算；能运用算术平方根、立方根和绝对值的含义是解本题的关键． 【详解】解： ． 62．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题主要考查了求绝对值，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 63．有理数在数轴上的位置如图所示，    化简：． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，绝对值化简，根据数轴可得，进而得到，，，，根据绝对值的性质即可化简求解，由数轴判断出、、与的符号是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， ∴原式， ， ． 64．已知a，b两数在数轴上的位置如图所示    求代数式 【答案】3 【分析】本题考查了利用数轴比较大小以及化简绝对值：先得，再逐一化简绝对值，运用整式的加减混合运算合并同类项，即可作答． 【详解】解：根据a，b两数在数轴上的位置，得 则 65．如图，数轴上有，，三点．    (1)____，_____，______；(填“”“”，“”) (2)化简． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】（）根据数轴分别判断，，的正负； （）根据，，的正负去掉绝对值，最后合并同类项即可； 本题考查了整式的加减和去绝对值，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】（1）由数轴可得，，，， 故答案为：，，； （2） ， ． 66．计算：． 【答案】55 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握需要的运算法则是解答本题的关键．根据有理数的混合运算法则先计算乘方，绝对值，利用乘法分配律去掉括号，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 67．已知，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值，有理数的加法，熟练掌握其运算规则，利用分类讨论思想是解题的关键．先根据，求出的值，再根据分情况讨论计算即可． 【详解】解：， ，， ， 当时，； 当时，； 故的值为：或． 68．已知，求的值． 【答案】2 【分析】 本题考查了绝对值的非负性，正确熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 由绝对值的非负性结合与的和为0可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． 69．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 70．若，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或； (2)4或8． 【分析】本题主要考查了求绝对值、绝对值的性质等知识点，理解绝对值的性质成为解题的关键． （1）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可； （2）根据绝对值的定义和可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为或． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，． 综上，的值为8或4． 【经典例题八 有理数的简便运算】 71．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 把小数变成分数，再根据分数的加减法运算即可． 【详解】解：原式 ． 72．用简便方法计算： 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数的加法运算律计算，即可求解． 【详解】解：原式 73．简便运算 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘法分配律的运算，先把提出来，即原式整理得，再运算括号内，即可作答． 【详解】解： 74．简便运算 (1) (2) 【答案】(1)25 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练乘法分配律简便计算． （1）运用乘法分配律简算； （2）先将变形为，再根据乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 75．用简便方法计算下面各题． (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查分数的混合运算，简便计算，运算律的运用，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据乘法分配律的逆运算即可求解； （2）将拆成，再运用乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 76．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1.9 【分析】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算． （1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果； （2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果． 【详解】（1） ； （2） ． 77．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可； （2）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可； （3）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可； （4）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 78．简便计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化，掌握有理数的混合运算法则，乘法运算律是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 79．阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】11 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：原式 80．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 【经典例题九 有相反数、倒数类型计算题】 81．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，m的绝对值和倒数均是它本身，n的相反数是它本身，求的值． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方、倒数、绝对值、相反数的相关概念求解即可． 【详解】解：因为a与b互为相反数，所以． 因为x与y互为倒数，所以． 因为的绝对值和倒数均是它本身，所以． 因为n的相反数是它本身，所以． 所以 ． 【点睛】本题考查的是相反数的含义，倒数的含义，绝对值的含义，乘方运算，求解代数式的值，熟练的利用代入法求解代数式的值是解本题的关键． 82．如果，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式的值． 【答案】； 【分析】本题考查相反数，倒数，绝对值，及坐标轴上点的计算问题，根据互为相反的两个数和为0，互为倒数的两个数积为1及绝对值的性质，y轴负半轴上点是负数代入求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵，互为相反数，，互为倒数， ∴，， ∵的绝对值是2， ∴， ∵是数轴负半轴上到原点的距离为1的数， ∴， ∴原式 ． 83．列式计算：的相反数与的和的绝对值，加上，和是多少？ 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、相反数、绝对值，根据题干描述列式计算即可． 【详解】解：由题意，得． 84．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了倒数，相反数，绝对值和代数式求值，正确得到，或是解题的关键． 【详解】解∶ ∵a，b互为倒数，x，y互为相反数，且， 由题可知，或．· 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，的值为18或． 85．已知数a，b，c，d，e，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为5，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，利用相反数，倒数，以及绝对值的定义求出以及e的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴ ． 86．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为3． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4或 (2)8 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值的定义，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，准确理解并灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据题意得到，，，再代入原式进行求解即可； （2）根据题意得到，，，再代入原式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得，，． 当时，原式； 当时，原式． 所以的值为4或； （2）当时，原式； 当时，原式． 所以的值为8． 87．若与互为相反数，与互为倒数，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数和绝对值的意义，根据、互为相反数，、互为倒数，，求出，，，利用整体代入的思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数，， ∴，，， ∴， ， ， ． 88．已知互为相反数，互为倒数，是最大的负整数，求 的值． 【答案】 【分析】此题考查了相反数、倒数的性质，有理数的混合运算；利用相反数，倒数性质求出，，，则，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意可得，1，， ∴． ∴ =1+1+0-1 =1． 89．（1）如果，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，则______，求的值； （2）若实数，满足，，且，求的值． 【答案】（1），或3；（2）的值是或 【分析】本题考查代数式求值，倒数、相反数、绝对值的意义，熟练理解相关定义，能据此得出式子的值是解题关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各式的值，代入原式计算即可求出值． （2））利用相绝对值的代数意义求出各数的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：（1）由题意得：， 故答案为， ，，，即， 当时，原式； 当时，原式； 综上所述，原式的值是或3． （2），， ， ， ，． 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值是或． 90．已知与互为相反数，与互为倒数．且，求． 【答案】 【分析】根据相反数和倒数的定义求出，再根据非负数的性质求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数，与互为倒数， ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了非负数的性质、乘方运算、相反数和倒数的意义，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【经典例题十 有理数的规律计算题】 91．我们知道：，试根据上面规律，解答下面各题． 计算：； 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题关键．先计算出每个括号内的结果，将原式化为若干个负分数的乘积的性质，根据已知规律，即可计算求值，注意符号的化简． 【详解】解： ． 92．【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______；②_______；③_______；④_______． 【拓广应用】 （2）合适的方法计算：_______． （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②；③；④  （2）（3） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． （1）①②③④根据题目可得规律当时，；当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． 【详解】解：（1）由题目运算可得：当，时，；当时；当时，； ①∵ ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵ ∴； 故答案为为：；；；． （2）， 故答案为：． （3） ． 93．观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到规律是关键． （1）依据规律即可完成； （2）由（1）得出的规律，按照有理数的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，，．（n为正整数） 故答案为：，， （2）解： ． 94．，，，，，…是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【阅读理解】 根据上面得到的启发完成下面的计算： (1)根据规律，是第______个数； (2)请直接写出计算的结果：______； (3)探究并计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分数的性质，有理数的混合运算，理解材料提示信息，掌握分数性质及变式是解题的关键． （1）根据材料提示可得，即可求解； （2）根据材料提示裂项，分数的加减混合运算即可求解； （3）根据材料提示可得，依次类推即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示得，， ∴是第个数， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：． （3）解： ． 95．探究规律，完成相关题目．类比有理数的乘方，我们定义：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算，叫做除方，例如，记作，读作“2的圈2次方”；，记作，读作“的圈3次方”；一般地，（），特别地，一个数可以看作这个数本身的圈1次方． (1)有理数的除法可以转化为乘法，那么有理数的除方能否转化为有理数的乘方进行运算呢？请你由特殊到一般探究有理数除方的运算： ， ， ， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________， ___________________________________________________________； (2)归纳： 当时，；当时，________； 当且n为整数时，________； (3)应用上述规律，计算：． 【答案】(1)，， (2)1； (3)11 【分析】（1）根据题中的新定义计算即可得到结果； （2）归纳总结得到规律即可； （3）利用得出的结论计算即可得到结果． 【详解】（1）， ， ； （2）； （也可以写成）； 故答案为：1； （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 96．观察下列等式： ①， ②， ③， ④， … (1)根据上述规律，请写出第⑤个等式：__________________； (2)按此规律计算 ①； ②． 【答案】(1) (2)①306；②468． 【分析】（1）仿照已知等式，得出规律，写出第⑤个等式即可； （2）利用得出的规律计算各式即可． 【详解】（1）解：第⑤个等式：； 故答案为：； （2）解：①； ② ． 【点睛】本题主要考查了对数字变化规律的考查，有理数的乘法，熟练掌握运算规律是解此题的关键． 97．问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 98．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 99．（1）①观察一列数1，2，3，4，5，6…，发现从第二项开始，每一项与前一项之差为1；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么 ， ． ②如果欲求的值， 可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得 ，所以 ．（列式即可） 由结论求 ． （2）为了求的值， 可令， 则， 因此，， ∴，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）①，，②；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，充分理解题干给出的计算思路，是解答本题的关键． （1）①总结规律即可作答；②按照题干思路作答即可； （2）按照题干思路作答即可． 【详解】（1）①，， ②可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②加上①式，得， ∴．（列式即可） ∴； （2）令， 则， 因此，， ∴， 即． 100．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题，？经过研究，他得出这个问题的一般性结论是：，其中是正整数，现在我们一起来研究一个类似问题：？观察下面三个特殊的等式： ①；②；③； 把①、②、③三个等式相加，于是． 阅读以上材料，请你解答以下问题： (1)　　． (2)根据以上观察，聪明的你发现　　． (3)根据发现的规律并用转化的数学思想计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的例子进行求解即可； （2）仿照题中的例子进行求解即可； （3）将原式转化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3） 【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，能够通过所给式子，探索出式子的规律是解题的关键． 【经典例题十一 有理数的新定义运算】 101．阅读下列材料，并解答问题：定义一种新运算：（等号右边是常规的有理数加减法则运算），例如： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)2.5 (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，求出所求式子的值． （1）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可； （2）根据题中给出的新定义，求出式子的值即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 102．定义一种运算：，求 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解本题的关键． 原式利用已知的新定义计算即可得到结果，注意运算顺序． 【详解】解： = = = = = =． 103．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．计算： 【答案】 【分析】本题考查了新运算，求代数式的值；根据新定义进行计算即可． 【详解】解：                    ． 104．数学课上，老师说：“我定义了一种新的运算，叫做‘星加’运算．”然后老师写出了一些按照“星加”运算法则进行运算的算式：；； ；；； ．根据上述材料，回答下列问题： (1)归纳“”运算的运算法则：两数进行“”运算时，______特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，______； (2)计算______； (3)我们知道加法有交换律，试判断这种新运算“”是否具有交换律？并举例验证你的结论．（写出一个例子即可） 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是加法运算的新定义，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）根据题干运算中的实例总结运算法则即可； （2）利用新定义先计算括号内的运算，再进一步的计算即可； （3）分三种情况归纳交换律，再举例说明即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 归纳（星加）运算的运算法则：两数进行（星加）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加，特别地，0和任何数进行（星加）运算，或任何数和0进行（星加）运算，都等于这个数的绝对值； （2）； （3）当同号时，，， ∴， 当异号时，， ∴， 当有1个为0，或两个都为0也满足， ∴新运算“”具有交换律； 如，． 105．对于有理数，，定义一种新运算“@”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 【答案】(1)2 (2)4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）根据新定义规定的运算公式列式计算即可； （2）根据新定义规定的运算公式列式先计算，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵ ∴ ． 106．定义一种新运算“☆”，规则为：，例如：．据此解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键． （1）按照规定的新运算进行计算即可； （2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 107．对于有理数、，定义运算：． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，绝对值的求解，注意明确有理数混合运算顺序是解题关键． （1）根据新定义运算法则列式计算； （2）根据新定义运算法则先求得，然后再算括号外面的即可． 【详解】（1）解：； （2）， ． 108．对于有理数a，b定义种新运算，规定． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)21 (2)10 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算： （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可． （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，先求，再计算即可． 【详解】（1）根据题中的新定义得： ； （2） ． 109．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，例如：． (1)求的值； (2)若的值与b互为相反数，求b的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要新定义运算规则下的运算，关键是要理解新的运算规则． （1）根据定义新运算“※”的法则计算即可求解； （2）根据定义新运算“※”的法则计算，再求其相反数即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ； （2）解： ． ∵的值与b互为相反数， ∴． 110．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的除法以及倒数的定义，如图两个数乘积为1，那么这两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义可得出答案； （2）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （3）再由倒数的定义直接得出答案即可． 【详解】（1）解；∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$