专题06 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+21道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题06 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+21道拓展培优） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 题型八 有理数四则混合运算 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 有理数乘方的新定义运算 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【经典例题一 有理数幂的概念理解】 【例1】下列各组数中：①-22与(-2)2； ②(-3)2与-33； ③-(-32)与-32 ；④02019与02018；⑤(-1)2019与-(-1)2.其中结果相等的数据共有(    ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 1．表示（    ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 2．的底数是 ． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例2】若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（　　） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 1．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是 ． 3．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空：　 　，　 　； (2)计算：； (3)若，，求的值． 【经典例题三 有理数乘方逆运算】 【例3】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 1．已知，，，则的值为（    ） A．8或 B．或2 C．或 D．2或8 2．计算：32018+6×32017﹣32019＝ ． 3．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，时，． (1)解方程． (2) ． (3)计算：． 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例4】已知，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 1．下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 2．，则 ． 3．判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【经典例题五 乘方的应用】 【例5】生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，…，请你推算的个位数字是（　　） A．6 B．4 C．2 D．8 1．观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A． B． C． D． 2．设为互不相同的自然数，且，则的最小值为 ． 3．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若，分别计算；． 【经典例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 1．安徽省统计局发布了2023年全省生产总值为亿元，其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 3．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算． (1)一粒大米重约多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米卖成钱按5元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） (4)若用卖大米的钱给贫困地区儿童提供爱心午餐，爱心午餐的费用按每人每年1000元计算，卖得的钱可供多少名儿童享用一年的爱心午餐？ 【经典例题七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例7】截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 1．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 A．8 B．9 C．10 D．11 2．写成原数是 ． 3．下列是用科学记数法表示的数，写出原来各是什么数． （1）．        （2）． （3）．        （4）． 【经典例题八 有理数四则混合运算】 【例8】（23-24七年级上·四川绵阳·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④；⑤若x为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．一个四位正整数各数位上数字均不为0，若以千位数字、百位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数与十位数字、个位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数字之和为110，称这个四位数为“尚善数”．例如：四位正整数2783，因为，所以2783是一个“尚善数”，则最小的“尚善数”是 ．如果一个四位正整数为“尚善数”，定义，若能被15整除，则满足条件的的最大值为 ． 3．2007年1月1日之前，国际统一书号由10个数字组成，前面9个数字分为3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用．核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算出．如：某书的书号是，它的核检码的计算顺序是： ①； ②； ③．这里的2就是该书号的核检码． 依照上面的顺序，求书号的核检码． 【经典例题九 有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 1．某品牌的饮料促销方式如下：甲店打七五折，乙店“买三送一”，丙店“每满元减元”．李老师要买瓶标价9元的这种品牌的饮料，在（    ）店购买更省钱 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．《行程问题》老李和老王两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从老李身边开过用了秒，分钟后火车又从老王身边开过，用了秒，那么从火车遇到老王开始，再过 秒，老李、老王两人相遇． 3．自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与平均计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车_______辆； (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖励15元；少生产一辆另扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 1．下图是一个“数值转换机”的示意图，按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 3．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【经典例题十一 算24点】 【例11】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 1．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 1．计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 2．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 3．为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【经典例题十三 有理数乘方的新定义运算】 【例13】探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 1．设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 2．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 3．【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 1．如果等式，则等式成立的的值的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，神舟十八号的飞行速度约为米/分，把“”用科学记数法表示应是（    ） A． B． C． D． 3．观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 4．按如图所示的运算程序计算，若输入数字，则输出的结果是（   ） A．7 B． C． D． 5．周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 6．如果，那么 ． 7．若，则 ． 8．新冠肺炎疫情爆发以来，给全世界人民的生命安全，带来了很大的威胁，截至年月日，根据世界卫生组织统计，全球感染新冠肺炎的确诊病例已超过万人，请把数“万”用科学记数法表示为 ． 9．有4张扑克牌：红桃6、草花3、草花4，黑桃，李老师拿出这4张牌给同学们算“”，竞赛规则：牌面中黑色数字为正数，红色数字为负数，每张牌只用一次，注意点：限制在加、减、乘、除四则运算法则内，算式是 ．（只列出一式即可） 10．现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ． 11．计算： (1)； (2) (3)． 12．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 13．如图，是一个“有理数转换器”．（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）    (1)当小明输入3，，，这四个数时，这四次输出的结果分别是 ？ (2)你认为当输出什么数时，其输出结果是0？ 14．在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020． 15．一列队伍长，行进速度，为了传达一个命令，通讯员从队伍排尾跑步赶到队伍排头，其速度然后又立即以大小为的速度返回排尾．问： (1)通讯员从离开排尾到重新回到排尾共需多少时间？ (2)通讯员归队处与离队处相距多远？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+21道拓展培优） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 题型八 有理数四则混合运算 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 有理数乘方的新定义运算 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【经典例题一 有理数幂的概念理解】 【例1】下列各组数中：①-22与(-2)2； ②(-3)2与-33； ③-(-32)与-32 ；④02019与02018；⑤(-1)2019与-(-1)2.其中结果相等的数据共有(    ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】正确的找出底数和指数进行计算，比较是否相等，进而完成答案. 【详解】解：①-22=-4，(-2)2=4，即不相等；②(-3)2=9，-33=-27，即不相等；③-(-32)=9， -32=-9，即不相等；④02019=0，02018=0，即相等；⑤(-1)2019=-1，-(-1)2=-1；故答案为B. 【点睛】本题考查了幂的运算,关键是确定底数和指数进而确定值得正负以及0的任何次幂都为0,是解答本题的关键. 1．表示（    ） A．与4的积 B．4个的积 C．4个的和 D．3个的积 【答案】B 【分析】根据有理数幂的概念理解逐项判断即可． 【详解】解：根据有理数幂的概念可得， 表示4个的积． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数幂的概念理解，解决此题的关键是熟悉有理数幂的概念． 2．的底数是 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方的有关定义即可解答． 【详解】解：的底数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解本题的关键．求n个相同,因数的积的运算叫乘方,乘方的结果叫做幂，在a的n次方中。a叫做底数,n叫做指数． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5 (2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例2】若a，b（，）互为相反数，n是正整数，则（　　） A．和互为相反数 B．和互为相反数 C．和互为相反数 D．和互为相反数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，以及相反数概念，掌握有理数的乘方法则是解题关键； 有理数的乘方法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0； 然后根据相反数的定义结合有理数的乘方法则分别对每一项进行分析，即可得出正确答案． 【详解】解：A、，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； B、a，b（，）互为相反数，为奇数， 和互为相反数，选项结论正确，符合题意； C、，， 和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； D、a，b（，）互为相反数， 当n为偶数时，和不是相反数，选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 1．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义和运算法则计算可得． 【详解】解：A．，此选项错误； B．，此选项错误； C．，此选项错误； D．，此选项正确； 故选：D． 2．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性，根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可，解题的关键是正确理解几个非负数的和为时，则这几个非负数都为． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．在数学兴趣小组中，同学们从书上学到了很多有趣的数学知识．其中有一个数学知识引起了同学们的兴趣．根据，知道a，n可以求b的值．如果知道a，b可以求n的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如：，则． (1)填空：　 　，　 　； (2)计算：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，熟记有理数乘方运算法则是解答本题的关键． （1）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （2）结合有理数的乘方，根据新定义运算即可； （3）结合有理数的乘方，根据新定义运算先求出a，b的值然后解题即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 【经典例题三 有理数乘方逆运算】 【例3】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 1．已知，，，则的值为（    ） A．8或 B．或2 C．或 D．2或8 【答案】D 【分析】根据绝对值和乘方的性质，求得，，即可求解． 【详解】解：由可得，解得或 由可得或， 由可得 所以，或， ∴或 故选：D． 【点睛】此题考查了绝对值，乘方的性质，解题的关键是根据题意，正确求得，． 2．计算：32018+6×32017﹣32019＝ ． 【答案】0 【分析】化成底数相同指数也相同的幂，逆运用乘法分配律很快就可求得. 【详解】32018+6×32017﹣32019＝32018+2×32018﹣3×32018＝32018×（1+2﹣3）＝32018×0＝0 故答案为0． 【点睛】熟练掌握乘法分配律是解题关键． 3．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，时，． (1)解方程． (2) ． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的定义，得出，求解即可； （2）根据对数的定义求解即可； （3）根据求解即可． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴或（负数舍去）， ∴； （2）解：； 故答案为：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方，及其乘方的逆用，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义和运算法则． 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例4】已知，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方运算、求一个数的绝对值，即可一一判定． 【详解】解：， ，， 与 大小不能确定，， 故A、C、D不成立，B成立， 故选：B． 【点睛】本题考查了乘方运算、求一个数的绝对值，熟练掌握和运用乘方运算的符号问题及求一个数的绝对值法则是解决本题的关键． 1．下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【答案】B 【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号． 【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意； B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意； C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意； D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键． 2．，则 ． 【答案】 【分析】直接利用绝对值和平方的非负性得出的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，得到每一个算式都等于0，是解题的关键． 3．判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】解：（1）的指数是12，为偶数，根据负数的偶次幂是正数，可知的结果为正； （2）的指数是9，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负； （3）表示的是的相反数，根据正数的任何次幂都是正数，可知的结果为正，所以的结果为负； （4）的指数是11，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 【经典例题五 乘方的应用】 【例5】生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，我们就用数学模型来表示．即：，，，，，…，请你推算的个位数字是（　　） A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据尾数的循环性得出个位数字每四个数循环一次，根据尾数的循环得出结论是解题的关键． 【详解】解：由题意知，个位数字每四个数按2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字与相同，为6， 故选：A． 1．观察下列算式：，，，，，，，，…，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，先根据已知条件，发现的末位数字按照，，，循环，用即可得出答案，根据题意找出规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，，，…， ∴， ∴的末位数字是， 故选：． 2．设为互不相同的自然数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方以及应用．用有理数乘方得出，根据要想最小，即最大，把转化成，则得出m取525，n取3，p取1，进一步即可求出答案． 【详解】解：， 要想最小，即最大， 故， 即m取525，n取3，p取1． 故则的最小值为． 故答案为：． 3．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若，分别计算；． 【答案】(1)1， (2)3 (3)0.6020，0.699． 【分析】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键． （1），，则有；，，则有； （2）根据，进行求解即可； （3）由题意得：，． 【详解】（1）由题意得：， ， ； 由题意得：， ， ； 故答案为：1，； （2）∵，， ∴ 故答案为3； （3）， ， ． 【经典例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第n个营养级，，2，，5），要使获得50千焦的能量，那么需要．提供的能量用科学记数法表示约为（    ） A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【分析】本题考查的是数字的变化规律，科学记数法，根据的能量能够流动到下一个营养级可知：要使获得50千焦的能量，那么需要需要提供千焦的能量，以此类推，设需要需要提供千焦的能量，然后用科学记数法表示即可． 【详解】解：根据题意，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量，需要提供千焦的能量， ∴， 故选：B． 1．安徽省统计局发布了2023年全省生产总值为亿元，其中数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：D． 2．今年政府工作报告提出，从今年开始拟连续几年发行超长期特别国债，今年先发行1万亿元．5月17日，首批发行400亿元30年期国债，年利率为2.57％．某大型企业购买了5000万元国债，该企业一年的国债利息收益为 元（用合适的记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了，有理数的乘法运算，科学记数法，正确理解题意是解题的关键．根据题意列式，利用有理数的乘法运算及科学记数法，即得答案． 【详解】解：(元)， 所以该企业一年的国债利息收益为元． 故答案为：． 3．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算． (1)一粒大米重约多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米卖成钱按5元/千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示） (4)若用卖大米的钱给贫困地区儿童提供爱心午餐，爱心午餐的费用按每人每年1000元计算，卖得的钱可供多少名儿童享用一年的爱心午餐？ 【答案】(1)一粒大米重约0.02克 (2)一年大约能节约大米千克； (3)可卖得人民币元； (4)卖得的钱可供多少名儿童享用一年的爱心午餐 【分析】（1）根据一粒大米重量×粒数=总量，按照要求，列式计算； （2）根据每人每餐节约的质量×天数=总量，按照要求，列式计算； （3）根据单价×数量=总价，按照要求，列式计算； （4）根据人数=总价÷每人每年的学费，按照要求，列式计算． 【详解】（1）根据一粒大米重量×粒数=总量得： 一粒大米重量=总量÷粒数， 10÷500=0.02（克）， 答：一粒大米重约0.02克； （2）0.02×1×3×365×1400000000÷1000=30660000（千克）=（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）（元）； 答：可卖得人民币元； （4）（人）， 卖得的钱可供多少名儿童享用一年的爱心午餐． 【点睛】此题考查了有理数的实际应用及科学记数法，解答此类题要审清题意，抓住问题的关键，列出相应的算式来解决问题．此外本题计算量比较大，要求学生细心认真，同时注意近似数中的取舍． 【经典例题七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例7】截至2020年10月末，全国核酸日检测能力是人份，实现了“应检尽检”、“愿检尽检”．数据原来的数是（  ） A．576000 B．576万 C．57600000 D．57.6万 【答案】B 【分析】将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 【详解】解：=5760000=576万． 故选：B． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 1．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得. 【详解】解：∵表示的原数为8016000000000， ∴原数中“0”的个数为10， 故选：C． 【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位． 2．写成原数是 ． 【答案】4980000 【分析】根据科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向右移几位，可得答案． 【详解】解：，把它写成原数是4980000， 故答案为：4980000． 【点睛】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，n＞0时，n是几，小数点就向后移几位． 3．下列是用科学记数法表示的数，写出原来各是什么数． （1）．        （2）． （3）．        （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据科学记数法的定义即可得； （2）根据科学记数法的定义即可得； （3）根据科学记数法的定义即可得； （4）根据科学记数法的定义即可得． 【详解】科学记数法：将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种记数的方法叫做科学记数法， 则（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键． 【经典例题八 有理数四则混合运算】 【例8】（23-24七年级上·四川绵阳·期中）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④；⑤若x为数轴上任意一点，则的最小值为．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，绝对值的意义； 由数轴得，，然后根据有理数的运算法则以及绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得：，， 所以：①，结论正确； ②，原结论错误； ③，原结论错误； ④，原结论错误； ⑤∵的几何意义为表示x的点到表示数a、b、c的点的距离之和， ∴其最小值为表示数b、c的两点之间的距离，即，结论正确； 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 1．定义新运算：，例如：，若，，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则．先根据新定义的运算求出的值，再比较即可． 【详解】解： ， 故选：C． 2．一个四位正整数各数位上数字均不为0，若以千位数字、百位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数与十位数字、个位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数字之和为110，称这个四位数为“尚善数”．例如：四位正整数2783，因为，所以2783是一个“尚善数”，则最小的“尚善数”是 ．如果一个四位正整数为“尚善数”，定义，若能被15整除，则满足条件的的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查对题干“尚善数”概念的理解，根据题意得到一个“尚善数”的千位数字与十位数字的和为，百位数字与个位数字的和为，推出要“尚善数”最小，即千位数字为1，则十位数字为9，百位数字为1，则个位数字为9，即可得到最小的“尚善数”；再根据第一空同理得到最大的“尚善数”，利用列举法往下找出满足能被15整除的最大的“尚善数”，即可解题． 【详解】解：“尚善数”以千位数字、百位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数与十位数字、个位数字分别作为十位数字、个位数字组成的两位数之和为110， 一个“尚善数”的千位数字与十位数字的和为，百位数字与个位数字的和为， 四位正整数各数位上数字均不为0， 要“尚善数”最小，即千位数字为1，则十位数字为9，百位数字为1，则个位数字为9， 最小的“尚善数”是． 由第一空同理可知， 最大的“尚善数”是，其，不能被15整除； 其次是，其，不能被15整除； 依次往下是，其，不能被15整除； ，其，不能被15整除； ，其，不能被15整除； ，其，不能被15整除； ，其，能被15整除； 满足条件的A的最大值为； 故答案为：，． 3．2007年1月1日之前，国际统一书号由10个数字组成，前面9个数字分为3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用．核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算出．如：某书的书号是，它的核检码的计算顺序是： ①； ②； ③．这里的2就是该书号的核检码． 依照上面的顺序，求书号的核检码． 【答案】2 【分析】本题考查了有理数的混合运算，读懂校验码的三步计算是解题的关键．根据校验码的三步计算步骤即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 答：这本书的校验码是2． 【经典例题九 有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，得到至少要购买5份套餐，再结合优惠活动进行求解即可．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：∵全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币， ∴至少要购买5份套餐， ①当购买5份套餐，其余全部购买电影票时： （元）， ∵消费满300元，减25元， ∴共消费：元， ②当购买6份套餐，其余全部购买电影票时： 元， ∵消费满600元，减60元， ∴共消费：元， 此时最优惠， 故选B． 1．某品牌的饮料促销方式如下：甲店打七五折，乙店“买三送一”，丙店“每满元减元”．李老师要买瓶标价9元的这种品牌的饮料，在（    ）店购买更省钱 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】解决本题关键是理解三家商店不同的优惠政策，分别找出求现价的方法，求出现价，再比较．甲店打七五折：是指现价是原价的，把原价看成单位“1”，用原价9元乘求出每瓶的现价，再乘瓶，即可求出在甲店需要的钱数； 乙店“满三送一”：是指买4瓶饮料只需要付3瓶的钱，先用瓶除以4，求出里面最多有几个4瓶，还余几瓶，从而求出需要付钱的瓶数，再乘9元，即可求出在乙店需要的钱数； 丙店“每满元减元”：是指每元可以减免元，先用瓶乘9元，求出原价一共是多少钱，再除以，求出总钱数里面有多少个元，就是可以减免多少个元，再用乘法求出可以减免的钱数，然后用原总价减去可以减免的钱数，从而求出丙店需要的钱数，再比较即可求解． 【详解】解：甲店： （元） 乙店： （元） 丙店： （元） （元） 答：在甲店购买更省钱． 故选：A． 2．《行程问题》老李和老王两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从老李身边开过用了秒，分钟后火车又从老王身边开过，用了秒，那么从火车遇到老王开始，再过 秒，老李、老王两人相遇． 【答案】 【分析】本题考查相遇问题，路程、速度、时间三者之间的关系．利用已知信息先求出火车速度是人步行速度的倍数，相遇问题，利用路程速度、时间关系即可解答． 【详解】解：解：根据题意可知 ①火车速度是人步行速度的： ， ②相遇时间： （分钟）， （秒）． 故答案为：720． 3．自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与平均计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车_______辆； (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖励15元；少生产一辆另扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)313 (2)2109 (3)126550 【分析】本题主要考查了有理数加法和有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）先把所有数相加，再加上，即可求解； （3）根据基本工资加奖金以及扣费，可得答案． 【详解】（1）解：辆， ∴该厂星期四生产自行车313辆； 故答案为：313； （2）解：辆 ∴该厂本周实际生产自行车2109辆； 故答案为：2109； （3）解：元， ∴该厂工人这一周的工资总额是126550元． 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式． 【详解】解：输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 1．下图是一个“数值转换机”的示意图，按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本体考查了代数式求值，将各项代入运算程序中，逐一计算即可，读懂运算程序是解题的关键． 【详解】、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，符合题意； 故选：． 2．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 【答案】4和5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，绝对值的求解，根据程序顺序代入求值即可，解题的关键是读懂程序框图，并掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【详解】解：输入x的值为6时，， 输出的值为； 输入x的值为时，， 输出的值为； 所以输出的值分别为4和5， 故答案为：4和5． 3．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或． 【分析】本题考查了整式的加减中的程序计算，正确理解程序是解题的关键． (1)根据程序，得，计算即可． (2)根据程序，列出代数式，计算即可． (3)根据程序，列出等式，计算即可． (4)根据程序，列出等式，计算即可． 【详解】（1）根据程序，得． （2）根据程序，得， 故答案为：． （3）根据程序，得， ∴， 解得或． （4）根据程序，得， ∴， ∴， 解得或． 【经典例题十一 算24点】 【例11】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 1．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解： 本题中设计的数字有：8，4，2，12． 根据题目规则，可得满足条件的算式如下： （1）． （2）． （3）． （4）等． 故答案为：（答案不唯一）． 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【答案】(1)、；15； (2)、； (3)、4； (4) 【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据有理数的乘方运算即可确定； （4）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【详解】（1）解：∵，，， ∴抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为15． 故答案为：、；15； （2）∵， ∴抽取、两张卡片相除的商最小，最小值为． 故答案为：、；． （3）∵，， ∴抽取、4两张卡片，组成的最大值为． 故答案为：、4；． （4）抽取、、0、3，则． 故答案为：． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数混合计算法则进行计算即可； （3）根据简便运算进行计算； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 1．计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)9 【分析】（1）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （2）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （3）先运算乘除，然后加减解题即可； （4）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （5）应用乘法分配律，求出每个算式的值各是多少即可． （6）先运算括号内的加减，然后运算除法解题即可； （7）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （8）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题． 此题主要考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） 2．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 3．为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用类比的数学思想解决问题是解题关键．仿照题干，令，进而得到，然后作差，整理即可得到所求式子的值． 【详解】解：令，则， ， ， 即的值为． 【经典例题十三 有理数乘方的新定义运算】 【例13】探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)17 (3) 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算． （1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据∶ ；，可得∶0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳*运算的法则∶ 两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ∴， 解得：， 1．设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的乘方．理解题意掌握新定义下的实数运算法则是解题关键． （1）根据新定义下的运算法则计算即可； （2）根据新定义下的运算法则计算出M、N，再相加整理即可． 【详解】（1）解：； （2） 解： ． 2．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 3．【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 【答案】(1)， (2)B (3)； (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解与运用； （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据题意确定出所求即可； （3）利用题中的新定义计算即可求出值； （4）原式变形后，计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 故答案为：；； （2）A．任何非零数的次商都等于，说法正确，不符合题意； B．对于任何正整数，当为奇数时，；当为偶数时，，原说法错误，符合题意； C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，不符合题意； D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，不符合题意． 故选：B； （3）解： 故答案为：；． （4） 1．如果等式，则等式成立的的值的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】当时，，此时，成立；当时，，此时，成立；当时，，此时，不成立；本题考查了幂的分类计算，分类是解题的关键． 【详解】当时，，此时，成立； 当时，，此时，成立； 当时，，此时，不成立； 故选B． 2．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，神舟十八号的飞行速度约为米/分，把“”用科学记数法表示应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选A． 3．观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 4．按如图所示的运算程序计算，若输入数字，则输出的结果是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算和运用运算程序计算是解题的关键，根据题中提供的运算程序代入计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得： 若输入数字，则， ∵， ∴， 故选：C． 5．周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，得到至少要购买5份套餐，再结合优惠活动进行求解即可．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：∵全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币， ∴至少要购买5份套餐， ①当购买5份套餐，其余全部购买电影票时： （元）， ∵消费满300元，减25元， ∴共消费：元， ②当购买6份套餐，其余全部购买电影票时： 元， ∵消费满600元，减60元， ∴共消费：元， 此时最优惠， 故选B． 6．如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 7．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，根据绝对值和偶次方的非负性求得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：1． 8．新冠肺炎疫情爆发以来，给全世界人民的生命安全，带来了很大的威胁，截至年月日，根据世界卫生组织统计，全球感染新冠肺炎的确诊病例已超过万人，请把数“万”用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：万=． 故答案为：． 9．有4张扑克牌：红桃6、草花3、草花4，黑桃，李老师拿出这4张牌给同学们算“”，竞赛规则：牌面中黑色数字为正数，红色数字为负数，每张牌只用一次，注意点：限制在加、减、乘、除四则运算法则内，算式是 ．（只列出一式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用—算“点”．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键． 由题意知，根据，构造，即满足要求，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴算式可以是， 故答案为：． 10．现定义两种新运算“”和“”，对任意有理数a，b，规定：，，例如：，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，根据新定义运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 11．计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1)5； (2)3； (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： （1）（2）（3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 12．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 13．如图，是一个“有理数转换器”．（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）    (1)当小明输入3，，，这四个数时，这四次输出的结果分别是 ？ (2)你认为当输出什么数时，其输出结果是0？ 【答案】(1)，，， (2)当输出0或为正整数）时，其输出结果是0 【分析】（1）利用程序图中的程序列式运算即可； （2）利用分类讨论的方法讨论解答即可． 【详解】（1）解：当小明输入3时， ， ，取相反数为2，取倒数为，输出； 当小明输入时， ， 取相反数为4，取倒数为，输出； 当小明输入时， ， 取相反数为，取绝对值为，输出； 当小明输入时， ， 取相反数为201，取倒数为，输出． 故答案为：，，，； （2）解：当输入0时， ， 取相反数为0，取绝对值为0，输出0； 当输入5的倍数即输入为正整数）时， ， 加上个时，会变成0，最后输出的结果为0， 当输出0或为正整数）时，其输出结果是0． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是操作型题目，解题的关键是理解程序图中的程序并熟练运用． 14．在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020． 【答案】 【分析】依据题例的方法乘2后，错位相减即可． 【详解】解：设, 则， 两式相减得： 即 【点睛】本题属于新定义运算，考查有理数的混合运算，读懂材料内容，理解题中错位相减的方法是解题关键． 15．一列队伍长，行进速度，为了传达一个命令，通讯员从队伍排尾跑步赶到队伍排头，其速度然后又立即以大小为的速度返回排尾．问： (1)通讯员从离开排尾到重新回到排尾共需多少时间？ (2)通讯员归队处与离队处相距多远？ 【答案】(1)通讯员从离开排尾到重新回到排尾共需 (2)通讯员归队处与离队处相距 【分析】本题主要考查有理数四则运算的的应用，解题的关键是读懂题意，准确计算． （1）分别求出通讯员从队伍排尾跑步赶到队伍排头所用的时间和通讯员从队伍排头跑步赶到队伍排尾所用的时间相加即可； （2）用通讯员从离开排尾到重新回到排尾的时间乘以队伍的行进速度即可． 【详解】（1）解：通讯员从队伍排尾跑步赶到队伍排头所用的时间为， 通讯员从队伍排头跑步赶到队伍排尾所用的时间为， 则通讯员从离开排尾到重新回到排尾共需的时间为 答：通讯员从离开排尾到重新回到排尾共需； （2）解：根据题意得：， 答：通讯员归队处与离队处相距． 学科网（北京）股份有限公司 $$