专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 利用乘法运算律进行巧算 题型五 倒数、绝对值和相反数的综合运算 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除的混合运算 题型九 与有理数乘除有关的新定义问题 题型十 有理数乘除法中的多结论问题 题型十一 有理数乘除法中的程序计算 题型十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点3：有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 1．有理数在数轴上的对应点如图所示，则下面的式子中正确的是（    ）                            A． B． C． D． 2．如图，数轴上点A、B所表示的两个数的积是 ．    3．巧算： (1) (2) 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】如果，那么这四个数中负数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1．有四个互不相等的整数且，那么等于(     ) A． B． C． D．不能确定 2．如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上表示的数为 ．（写出一个即可） 3．计算：． 【经典例题三 有理数乘法的实际应用】 【例3】果园里有桃树240棵，苹果树的棵数是桃树的，梨树的棵数是苹果树的，梨树有（    ）棵． A．144 B．180 C．60 D．96 1．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．一种共享单车密码锁的密码是一个四位数，每位上都只能是1~4中的任意一个数字，那么一位淘气的小朋友要打开密码锁，最多要试 次．如果这种共享单车加一位密码，那么就要多试 次． 3．观察下列等式：，，．将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：__________． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①__________； ②若a、b为有理数，且，则__________； (3)探究并计算：． 【经典例题四 利用乘法运算律进行巧算】 【例4】为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 1．计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 2．计算： ． 3．巧算． (1) (2) 【经典例题五 倒数、绝对值和相反数的综合运算】 【例5】如图是小思的试卷，她的得分是（    ） 填空题．（每小题20分，共100分）  姓名:小思  得分_____ 1．可以表示一个数的相反数，这个数是； 2．绝对值是2019的数是2019； 3．在，，0，1中最小的数与最大的数的差是； 4．比较大小： ； 5．若的倒数与互为相反数，则m的值是． A．20分 B．40分 C．60分 D．80分 1．下列说法中正确的有（　　） ①若两数的差是正数，则这两个数都是正数； ②任何数的绝对值一定是正数； ③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数； ④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大． ⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，求 ． 3．已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数． 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例6】下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 1．已知，结果不可能的是（    ） A．2 B． C．1 D．0 2．三个互不相等的有理数，既可以表示为0，b，的形式，也可以表示为1，a，的形式，那么 ． 3．计算： (1)； (2)． 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例7】在2018的左边添加一个数字，右边添加一个数字，组成一个六位数，且能被45整除，则的最大值是（    ） A．10 B．35 C．56 D．81 1．甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（    ） 天数 第3天 第5天 工作进度 A．6天 B．8天 C．9天 D．10天 2．若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 3．某校六年级有140名师生去参观自然博物馆，某运输公司有两种车辆可供选择： （1）限坐40人的大客车，每人票价5元，如满坐票价可打八折； （2）限坐10人的面包车，每人票价6元，如满坐票价可按75%优惠． 请你根据以上信息为六年级师生设计一种最省钱的租车方案，并算出总租金． 【经典例题八 有理数乘除的混合运算】 【例8】计算： (1)； (2)． 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【经典例题九 与有理数乘除有关的新定义问题】 【例9】若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 1．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 3．对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【经典例题十 有理数乘除法中的多结论问题】 【例10】若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【经典例题十一 有理数乘除法中的程序计算】 【例11】如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2023次输出的结果为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 1．如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ． 3．哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【经典例题十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数】 【例12】下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 1．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 2．已知，，则的值是 ． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 1．下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．计算17最简便的方法是（    ） A． B． C． D． 3．已知表示两个非零的实数，则的值不可能是（ ） A．2 B．–2 C．1 D．0 4．某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 5．下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若，则；③若a＋b＜0，且，则|4a＋3b|＝－4a－3b；④若是有理数，则一定是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则(a－b)(b－c)(c－a)＞0；其中一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．计算：= 7．已知为非等有理数，且，则的值为 ． 8．7．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 9．有两个正数、，满足，规定把大于或等于且小于或等于的所有数记作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有数记作，如果在中，在中，那么的一切值所在范围是 ． 10．体育课每星期上两节，两节课的安排要满足如下要求：①每天只能上一节；②不能连续两天都有体育课；③每天可以在节的任意一节上这门课；④星期六和星期日不能安排．则这门课共有 种安排方式． 11．（1）计算：； （2）计算：． 12．计算： (1)； (2)． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 14．某市出租车收费标准如下表： 种类 里程（千米） 收费（元） 起步价 3千米以内（包括3千米） 10.00 单程 3千米以上，每增加1千米 3.00 往返 3千米以上，每增加1千米 2.20 (1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？ (2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？ 15．我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题． 例如，我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，；现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)填空：_________（）；_________（） (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 利用乘法运算律进行巧算 题型五 倒数、绝对值和相反数的综合运算 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除的混合运算 题型九 与有理数乘除有关的新定义问题 题型十 有理数乘除法中的多结论问题 题型十一 有理数乘除法中的程序计算 题型十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点3：有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 【答案】C 【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解∶∵，， ∴8不是完美数，故选项A不符合题意； ∵，， ∴18不是完美数，故选项B不符合题意； ∵，， ∴28是完美数，故选项C符合题意； ∵，， ∴32不是完美数，故选项D不符合题意； 故选：C 1．有理数在数轴上的对应点如图所示，则下面的式子中正确的是（    ）                            A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，根据数轴即可判断求解，掌握数轴上有理数的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴，， ∴正确， 故选：． 2．如图，数轴上点A、B所表示的两个数的积是 ．    【答案】 【分析】根据数轴可知A、B所代表的数，从而求出答案． 【详解】解：由数轴得出：A表示的数为，B表示的数为2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则． 3．巧算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可； （2）分析式子中的每一项，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】如果，那么这四个数中负数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法与乘法的应用，关键是能根据已知和有理数的运算法则进行判断a、 b 、c 、d的符号． 根据，，得出a、b异号，c、d中至少有一个正数，即c、d中最多有1个负数，再由，负因数得个数是1个或3个．即可求解． 【详解】解：∵， ∴a、b互为相反数，即a、b异号， ∵ ∴c、d中至少有一个正数，即c、d中最多有1个负数， ∴a、b、c、d中至少有2个正数， 又∵ ∴负因数得个数是1个或3个． ∴这四个数中负数有1个． 故选：D． 1．有四个互不相等的整数且，那么等于(     ) A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据题意得出这四个数的值，即可确定这四个数的和，解题的关键在于根据题意判断出四个数的值． 【详解】解：由题意得：这四个整数小于或等于，且互不相等，再由乘积为可得，四个数中必有和， ∴四个数为：，，，， ∴和为， 故选：． 2．如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上表示的数为 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据要求找出符合条件的a的值即可． 【详解】解：∵5张卡片分别写了5个不同的整数， ∴，0，2，6， ∵同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，且， ∴3张卡片上各数之积最小为时，抽取的卡片是，2，6， ∴a可能是1，，，． 故答案为：1（或或或）． 【点睛】本题主要考查了有理数的运算，解题的关键是根据3张卡片上各数之积最小为，确定a可能的取值． 3．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 【经典例题三 有理数乘法的实际应用】 【例3】果园里有桃树240棵，苹果树的棵数是桃树的，梨树的棵数是苹果树的，梨树有（    ）棵． A．144 B．180 C．60 D．96 【答案】A 【分析】根据题意，得到等量关系苹果树的棵数=桃树 ，梨树的棵数=苹果树 ，分别代入即可求解． 【详解】 （棵） 答：梨树有144棵． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，根据题意得出等量关系，列出算式并进行计算即可． 1．《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织，问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同．第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，天完工，问一共织了多少布？ A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律，由题意可知每天减少的量一样，由数的规律求和即可，读懂题意，找出规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一天织布尺，第天织布尺， ∴一共织布（尺）， 故选：． 2．一种共享单车密码锁的密码是一个四位数，每位上都只能是1~4中的任意一个数字，那么一位淘气的小朋友要打开密码锁，最多要试 次．如果这种共享单车加一位密码，那么就要多试 次． 【答案】 256 1024 【分析】密码是一个四位数，每位数字都可以是这4个数字中的任意一个，所以每个数位上的数字都有4种选择，然后根据乘法原理解答；如果要给这种共享单车加一位密码，那么密码是一个五位数，每位数字都可以是这4个数字中的任意一个，所以每个数位上的数字都有4种选择，然后根据乘法原理解答即可． 【详解】解：（次） 故最多要试256次． （次） 故如果要给这种共享单车加一位密码，那么就要多试1024次． 故答案为：256；1024． 【点睛】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 3．观察下列等式：，，．将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：__________． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①__________； ②若a、b为有理数，且，则__________； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了有理数的运算，根据题意找出规律是解决问题的关键． （1）根据规律求解即可； （2）①将式子按照（1）中的规律展开，求解即可； ②先求出，，将式子按照（1）中的规律展开，求解即可； （3）将式子按照题意中的规律展开，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：； （2）解：① ； 故答案为：． ②∵， ∴，， 解得：，， ； 故答案为：． （3）解： ． 【经典例题四 利用乘法运算律进行巧算】 【例4】为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数乘法运算律，根据题意可以看出括号内之和为分数，与之积为只有乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 【详解】解：， ， ， 故选：． 1．计算，运算中运用的运算律为（    ）． A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律． 【详解】∵运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律， 故选D． 【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分数四则运算的简算，把应用乘法分配律展开，再把、、展开成整数和分数的和，然后整数和整数一起简算，分数和分数一起简算，再结合减法的性质解答，灵活应用乘法分配律、减法性质是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．巧算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及乘法运算律： （1）采用乘法分配律计算，原式可变形为； （2）采用乘法分配律计算，原式可变形为． 【详解】（1） （2） 【经典例题五 倒数、绝对值和相反数的综合运算】 【例5】如图是小思的试卷，她的得分是（    ） 填空题．（每小题20分，共100分）  姓名:小思  得分_____ 1．可以表示一个数的相反数，这个数是； 2．绝对值是2019的数是2019； 3．在，，0，1中最小的数与最大的数的差是； 4．比较大小： ； 5．若的倒数与互为相反数，则m的值是． A．20分 B．40分 C．60分 D．80分 【答案】A 【分析】本题主要考查相反数，倒数，绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．根据知识点逐一进行分析即可． 【详解】解：，可以表示一个数的相反数，这个数是，故第一个正确； 绝对值是2019的数是，故第二个错误； 在，，0，1中最小的数与最大的数分别是，它们的差为，故第三个错误； ，故第四个错误； 的倒数是，与互为相反数，故，故，故第五个错误； 小思只有分． 故选A． 1．下列说法中正确的有（　　） ①若两数的差是正数，则这两个数都是正数； ②任何数的绝对值一定是正数； ③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数； ④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大． ⑤正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，任何数都有倒数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用数轴、相反数、倒数、绝对值及有理数的减法的有关性质进行判断即可得到答案． 【详解】①若两数的差是正数，则这两个数不一定都是正数，如1-（-2），故错误； ②0的绝对值是0，故错误； ③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数，故正确； ④在数轴上与原点距离越远的点表示的数越大，在原点右边成立，在原点左边不成立，如-1和-6，故错误； ⑤0没有倒数，故错误． 上述，正确的有1个， 故选A． 【点睛】本题考查了数轴、相反数、绝对值及倒数、有理数的减法的有关性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1，求 ． 【答案】2009或/或2009 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值以及有理数的混合运算，先根据“a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1”可得、或，然后再分和两种情况，分别代入计算即可；掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是1， ∴，或， 当m＝1时，原式； 当时，原式． 故答案为：2009或． 3．已知的倒数是，的绝对值是最小的正整数，且，求的相反数． 【答案】的相反数是 【分析】本题主要考查了倒数、绝对值的意义、相反数，先根据倒数的定义和绝对值的意义得出，，再结合得出，从而求得的值，最后根据相反数的定义即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：的倒数是，的绝对值是最小的正整数， ，， ， ， ， 的相反数是． 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例6】下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 1．已知，结果不可能的是（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查化简绝对值，由绝对值的性质可得当时，；当时，；当时，；当时，；分情况讨论即可．注意：（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）分情况讨论时，虽然③④两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时，还是要分为两种．运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】∵当时，；当时，； 当时，；当时，； ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ∴综上所述，的值可能为2，，0，不可能为1． 故选：C． 2．三个互不相等的有理数，既可以表示为0，b，的形式，也可以表示为1，a，的形式，那么 ． 【答案】 【分析】根据三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即与中有一个是0，与中有一个是1，再根据分式有意义的条件判断出、的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：三个互不相等的有理数，既表示为1，，的形式，又可以表示为0，，的形式， 这两个数组的数分别对应相等． 与中有一个是0，与中有一个是1，但若，会使无意义， ，只能，即，于是．只能是，于是， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“与中有一个是0，与中有一个是1”是解答此题的关键． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序． （1）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可； （2）根据有理数的乘除法运算法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例7】在2018的左边添加一个数字，右边添加一个数字，组成一个六位数，且能被45整除，则的最大值是（    ） A．10 B．35 C．56 D．81 【答案】A 【分析】本题考查有理数的除法运算，根据整除的概念，得出或，根据的不同取值，讨论的值，即可解题． 【详解】解：∵能被45整除， ∴或， 当时，； 当时，能被9整除，则，故的最大值为． 故选：A． 1．甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（    ） 天数 第3天 第5天 工作进度 A．6天 B．8天 C．9天 D．10天 【答案】C 【分析】此题是典型的工程问题，需要特别注意的是把问题分段分析，分清每段的情况即可．此题是工程问题，把此工作分段进行分析，甲自己做了3天做了，则可知道甲自己做需要天，从而求出乙的工作效率，进而求出结果即可． 【详解】解：甲自己做需天， ∴乙的工作效率为： ∴（天）， 故选：C． 2．若正整数m、n、p、q满足，则的最小值为 ． 【答案】65 【分析】本题考查有理数的乘除及正整数的概念．根据题意，将m用含q的式子表示，再由m、n、p、q为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ，，， ， ∵m、n、p、q为正整数， ∴q的最小值为8，则，，， ∴， 的最小值为65． 故答案为：65 3．某校六年级有140名师生去参观自然博物馆，某运输公司有两种车辆可供选择： （1）限坐40人的大客车，每人票价5元，如满坐票价可打八折； （2）限坐10人的面包车，每人票价6元，如满坐票价可按75%优惠． 请你根据以上信息为六年级师生设计一种最省钱的租车方案，并算出总租金． 【答案】用3辆大客车和2辆面包车合算，总租金为570元 【分析】两种方案：方案一是用大客车，载不了的用面包车，用3辆大客车，然后算出总租金；再一种是全部都有面包车，需辆，然后算出总租金． 【详解】解：方案一： 大客车：（辆）（人）， （元）， 面包车：（辆）， （元）， （元）； 方案二： 面包车：（辆）， （元）， ， 即第一种方案：用3辆大客车和2辆面包车合算，因为第一种方案最省钱； 答：用3辆大客车和2辆面包车合算，总租金为570元． 【点睛】此题做题的关键是要根据题意进行分析，设计出租车方案，进而找出最佳租车方案，然后算出总租金进行比较，然后得出结论． 【经典例题八 有理数乘除的混合运算】 【例8】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法则进行计算便可． 【详解】（1） ； （2） ． 1．计算：． 【答案】3 【分析】先确定符号，再把除法化为乘法，根据有理数乘法法则计算． 本题主要考查了有理数的乘法、除法，掌握有理数乘法、除法法则，符号的确定是解题关键． 【详解】解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)6 (2) (3)0 (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的加减法可以解答本题；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （3）根据有理数的加减法可以解答本题；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算； （4）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算； （5）根据有理数的乘除法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【经典例题九 与有理数乘除有关的新定义问题】 【例9】若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义运算先计算，进而计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义列出算式是解题的关键． 1．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 2．对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 【答案】 【分析】利用定义的新运算转化为有理数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义下的运算，认真读懂题意是关键． 3．对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 【经典例题十 有理数乘除法中的多结论问题】 【例10】若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及比较有理数的大小，根据数轴可以确定a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而判断题目中各式子是否正确． 【详解】解：由图可知：，，， ，则①正确； ，则②错误； ，则③正确； ，则④正确； ，则⑤错误； ，则⑥正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑥，共个， 故选：C． 1．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，相反数，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握相关的定义和运算法则， 根据绝对值，相反数，有理数的运算进行解答即可 【详解】解：①若数a的绝对值等于a，则a是正数或0，故此选项错误； ②若，a、b、c不互为相反数，因为相反数指的是两个数，故此选项错误； ③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数，故此选项正确； ④若两个数的商为，则这两个数互为相反数，故此选项正确；； ⑤除以一个数等于乘这个数（0除外）的倒数，故此选项错误； ⑥当几个不为0的数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，故此选项错误； 则正确的只有2个， 故选：B 2．下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法法则逐个判定即可． 【详解】解：①若，则可能是负数，也可能是零，故①错误； ②小于1的正数的倒数，这个正数小于它的倒数，故②错误； ③除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数，故③错误； ④若，则，说法正确； ⑤若，则且或且，即⑤错误． 故选A． 3．已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减，除法和有理数的大小比较．根据各点在数轴上的位置，判断①，根据加法、减法和倒数确定②③④． 【详解】解：由数轴知，， 则，故①正确； ，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，即；故③正确， ∴，故④不正确 故选：C． 【经典例题十一 有理数乘除法中的程序计算】 【例11】如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2023次输出的结果为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算． 【详解】由设计的程序，可知： 依次输出的结果是50,25,32,16,8,4,2,1,8,4,2,1,…，发现从8开始循环． 则，故第2023次输出的结果是2. 故答案为：B. 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，掌握循环的规律，根据循环的规律进行推广是关键． 1．如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可以写出前几次输出的结果，从而可以发现输出结果的变化规律，进而得到第2019次输出的结果． 【详解】解：根据题意得：可发现第1次输出的结果是24； 第2次输出的结果是24×=12； 第3次输出的结果是12×=6； 第4次输出的结果为6×=3； 第5次输出的结果为3+5=8； 第6次输出的结果为8=4； 第7次输出的结果为4=2； 第8次输出的结果为2=1； 第9次输出的结果为1+5=6； 归纳总结得到输出的结果从第3次开始以6，3，8，4，2，1循环， ∵（2017-2）6=335.....5， 则第2017次输出的结果为2. 故选：D. 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中输出结果的变化规律． 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ． 【答案】-6 【分析】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为 ×2=1， 第2次运算输出的结果为1−5=−4， 第3次运算输出的结果为 ×(−4)=－2， 第4次运算输出的结果为 ×(−2)=－1， 第5次运算输出的结果为−1−5=－6， 第6次运算输出的结果为×(−6)=－3， 第7次运算输出的结果为−3−5=－8， 第8次运算输出的结果为 ×(−8)=－4， 归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以−4，−2，−1，−6，−3，−8循环往复的， 因为2021−1=336×6+4， 所以第2021次运算输出的结果与第5次输出的结果相同，即为−6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【答案】(1) (2)输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示无法运行 【分析】（1）根据新定义，进行计算即可求解； （2）根据除数不能为0，即可求解． 【详解】（1）解： . （2）输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示“该操作无法运行” 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【经典例题十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数】 【例12】下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，直线相交交点个数的探究，化简绝对值，新定义运算的含义，由绝对值的非负性的含义可判断①，由直线相交交点个数的规律探究可判断②，由绝对值的含义，结合有理数的除法运算的符号确定可判断③，先根据探究得到，再根据新定义运算的含义可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴对于任意有理数，代数式有最大值1；故①符合题意； ∵2条直线相交，最多1个交点， 3条直线两两相交，最多3个交点，而， 4条直线两两相交，最多6个交点，而， ∴10条直线两两相交，最多有个交点，故②不符合题意； 由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时，， 当时，，故③符合题意； ∵，，， ∴异号，且，， ∴， ∴，故④符合题意； 故选D 1．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 2．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式， ∵和， ∴在中必为两正一负或两负一正， ∴当为两正一负时，原式， 当为两负一正时，原式， 故答案为：． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 1．下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法法则分别计算，即可判断求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不符题意； 、，该选项不符题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不符题意； 故选：． 2．计算17最简便的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式第一个因式适当变形后，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式＝（16+1）× ＝（16+）× ＝16×+× ＝6+ ＝6，最简便． 故选：C． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，乘法分配律，熟练掌握运算法则及运算律是解本题的关键． 3．已知表示两个非零的实数，则的值不可能是（ ） A．2 B．–2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】由绝对值的性质可得当时，；当时，；当时，；当时，；分情况讨论即可． 【详解】∵当时，；当时，； 当时，；当时，； ∴①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，； ∴综上所述，的值可能为2，，0，不可能为1． 故选：C． 【点睛】本题考查化简绝对值，（1）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；（2）分情况讨论时，虽然③④两种情况在本题中的计算结果是一样的，但在分类讨论时，还是要分为两种． 4．某水果种植基地种植一种优质黄桃，2020年黄桃总产量为，2021年增产，2022年引进先进管理技术以及种植面积的逐步扩大，每年黄桃的产量增产，若2022年后该地黄桃增产量不变，则该基地黄桃产量突破的年份是（    ） A．2022年 B．2023年 C．2024年 D．2025年 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，理解题意成为解题的关键． 根据增长率求出依次求出2021年、2022年、2023年基地黄桃产量，然后对比即可解答． 【详解】解：2021年基地黄桃产量为， 2022年基地黄桃产量为， 2023年基地黄桃产量为， 因此突破的年份是2023年． 故选B． 5．下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若，则；③若a＋b＜0，且，则|4a＋3b|＝－4a－3b；④若是有理数，则一定是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则(a－b)(b－c)(c－a)＞0；其中一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据倒数以及有理数的乘除法法则分别进行分析即可得出答案． 【详解】解：①一个数和它的倒数相等，则这个数是1和-1，共2个，故这个结论错误； ②若，设，则，，所以，故这个结论错误； ③若a＋b＜0，且，则|，，所以|4a＋3b|＝－4a－3b，故这个结论正确； ④若是有理数，当时，；当时，，所以一定是非负数，故这个结论正确； ⑤若c＜0＜a＜b，则，，，所以，(a－b)(b－c)(c－a)＞0，故这个结论正确； 所以，一定正确的有③④⑤，共3个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法，倒数，关键是根据它们的性质和法则分别进行解答，注意分类讨论思想的运用． 6．计算：= 【答案】 【分析】把化成，化成，然后再利用乘法分配律的逆运算解答． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查乘法分配律，注意观察题目中数字构成的特点和规律，善于灵活运用运算定律或运算技巧，巧妙解答． 7．已知为非等有理数，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了化简绝对值，根据题目已知条件得出，，，中有一个负数或两个负数，再分两种情况：当中有一个负数时，不放设，，；当中有两个负数时，不妨设，，，分别进行计算即可，熟练掌握绝对值的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：为非等有理数，且， ，，，中有一个负数或两个负数， ， 当中有一个负数时，不放设，，， 则原式， 当中有两个负数时，不妨设，，， 则原式， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 8．7．计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【答案】 72 120 0 【分析】本题考查了有理数的乘法，直接根据有理数的乘法法则解题即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：72； （3） ， 故答案为：； （4） ， 故答案为：120； （5）， 故答案为：0． 9．有两个正数、，满足，规定把大于或等于且小于或等于的所有数记作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有数记作，如果在中，在中，那么的一切值所在范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数混合运算．根据题意，找出使取最大（小值时，的值，再计算即可． 【详解】解：在中，在中， 当，时，的最大值为； 当，时，的最小值为， ； 故答案为：． 10．体育课每星期上两节，两节课的安排要满足如下要求：①每天只能上一节；②不能连续两天都有体育课；③每天可以在节的任意一节上这门课；④星期六和星期日不能安排．则这门课共有 种安排方式． 【答案】 【分析】首先从安排在哪天来说有6种情况，而每一节体育课又有6种情况，然后可得答案． 【详解】解：由题意可知，这两节体育课可以安排在：周一和周三；周一和周四；周一和周五；周二和周四；周二和周五；周三和周五，共6种情况，而每一节体育课都有6种情况（从第一节到第六节）， 所以这门课共有种安排方式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了排列组合的不相邻问题，判断出安排时间的情况数是解题的关键． 11．（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． （1）先将化成，再运用乘法分配律计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了有理数的除法的运算，解题关键在于熟知除以一个数等于乘以它的倒数． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 14．某市出租车收费标准如下表： 种类 里程（千米） 收费（元） 起步价 3千米以内（包括3千米） 10.00 单程 3千米以上，每增加1千米 3.00 往返 3千米以上，每增加1千米 2.20 (1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？ (2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？ 【答案】(1)13.6千米 (2)租往返的车比较划算，63.24元 【分析】（1）根据出租车的收费标准，列式计算即可； （2）根据收费标准可知，3千米以上往返的单价要比单程的单价便宜，选择往返最划算，列式计算即可． 【详解】（1）解： （千米） 答：小华家到动物园有13.6千米． （2）3千米以上往返的单价要比单程的单价便宜，所以应该租往返的车比较划算． （千米） （元） 答：租往返的车比较划算，她至少要付出租车费63.24元． 【点睛】本题考查有理数运算的实际应用．解题的关键是理解并掌握出租车的收费标准，正确的列出算式． 15．我们知道：在研究和解决数学问题时．当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”，这一数学思想用处非常广泛，我们经常用这种方法解答问题． 例如，我们在讨论的值时，就会对进行分类讨论，当时，；当时，；现在请你利用这一思想解决下列问题： (1)填空：_________（）；_________（） (2)若，求的值． 【答案】(1)1或，2或0或 (2)1或 【分析】本题主要考查了绝对值以及有理数的除法等知识点， （1）分别利用或分析得出答案；分或或或等情况讨论得出答案； （2）由得出中有两个为正数，一个为负数或三个都为负数等情况讨论得出答案； 正确分类讨论得出答案是解题关键． 【详解】（1）若有理数a不等于零， 当时，， 当时，； ∵， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：1或；或2或0； （2）∵， ∴中有两个为正数，一个为负数或三个都为负数， ∴当中有两个为正数，一个为负数时， 当三个都为负数时， ， ∴的值为1或． 学科网（北京）股份有限公司 $$