专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期中）下列说法，其中正确的个数为（    ） ①整数和分数统称为有理数；②一个有理数不是正数就是负数；③有最小的正数，没有最大的负数；④如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个正数；⑤一定在原点的左边． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）如图，的相反数在数轴上的位置为（　 　） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）当x＝ 时，代数式2x+1与5x﹣6的值互为相反数． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）有下列各数：5，0，，． (1)写出这些数的相反数； (2)将这些数及它们的相反数都表示在同一条数轴上； (3)再按从大到小的顺序排列，并用“”连接； (4)写出比这些数都小的最大整数和比这些数都大的最小整数（直接写出答案）． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（23-24七年级上·重庆江北·期中）﹣2是2的（　　） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．1倍 1．（23-24七年级上·辽宁辽阳·期中）下列各数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（﹣25）与 B．与 C．﹣3与﹣|﹣3| D．﹣6与（﹣2）×3 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法:①若a、b互为相反数,则a+b=0;②若a+b=0,则a、b互为相反数:③若a、b互为相反数,则=-1;④若=-1,则a、b互为相反数．正确的结论有 个. 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级上·四川宜宾·期中）下列各数中互为相反数的是（    ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）化简-（-8）的的结果（     ） A． B． C．8 D．-8 2．（23-24七年级上·北京·单元测试）如果，则x= . 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． (7)问：①当前面有2022个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2023个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个数中负数有（   ）个    A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）数轴上A，B两点的距离为6，且A，B所表示的数互为相反数，B在A的右侧，则点B所表示的数为 ． 3．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示，点表示8． (1)点表示的有理数是______，表示原点的是点______． (2)图中哪些点表示的有理数互为相反数？ (3)图中的数轴上另有点到A点，点距离之和为13，求点表示的有理数． 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法：①；②；③相反数大于它本身的数一定是负数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的序号为（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 1．（23-24六年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C．若，则与相等 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 2．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则 ； 3．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)点，，在数轴上分别表示有理数，，，那么到的距离与到的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究： ①的最小值是______； ②求的最小值以及此时的值． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下列各式正确的是（   ） A．﹣|5|＝|﹣5| B．﹣5＝|﹣5| C．|5|＝|﹣5| D．|5|＝﹣|﹣5| 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知2，4，且a，b异号，则a+b= ； 3．（2024七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（2023·重庆渝北·一模）已知实数a，b，c满足，且，则下列说法中，正确的个数是（    ） ①；②；③化简； A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24七年级上·浙江金华·期中）如图，表示在数轴上的四个点的位置关系，并且它们表示的数分别为a，b，c，d，若，，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程恰有两个不同的解，则的取值范围为 3．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）在数轴上表示有理数：，并用“”将它们连接起来． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（23-24六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 2．（2024七年级·全国·竞赛）若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 3．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例11】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例12】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（23-24七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 1．（2023·浙江·模拟预测）的相反数是（　　　） A． B． C． D． 2．（2023·陕西西安·二模）下列各组数中，互为相反数的组是(   ) A．和 B．2023和 C．和2023 D．和 3．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 4．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）能使式子成立的数是（    ） A．任意一个负数 B．任意一个正数 C．任意一个数 D．任意一个非正数 5．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·湖北·周测）若，则 ． 7．（23-24七年级上·福建泉州·期中）若，则 ． 8．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）化简： ， ， ． 9．（2024七年级·全国·竞赛）满足的所有整数对有 对． 10．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 11．（2024七年级·全国·竞赛）解方程：． 12．（23-24七年级上·广西南宁·期中）在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大顺序排列，，，，，． 13．（23-24七年级上·河北沧州·期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知．    (1)请直接写出原点在第几部分； (2)已知点A与点C之间的距离为5，点B与点C之间的距离是3． ①若，求的值； ②若a，c互为相反数，求的值； (3)设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在这三点中，当相邻两点的距离相等时，直接写出d的值． 14．（23-24七年级上·北京密云·期末）在数轴上，若A、B、C三点满足AC=2CB，则称C是线段AB的相关点.当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段AB的外相关点. 如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数-1的点D是线段AB的外相关点. （1）如图2，A、B表示的数分别为5和-1，则线段AB的内相关点表示的数为______,线段AB的外相关点表示的数为________. （2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒. ①当PQ=7时，求t值. ②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N.直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值. 15．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相反数和绝对值重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相反数的辨别与定义 题型二 判断是否互为相反数 题型三 利用相反数的意义化简多重符号 题型四 相反数与数轴的综合 题型五 绝对值的意义 题型六 求一个数的绝对值 题型七 化简绝对值 题型八 绝对值非负性解题 题型九 绝对值方程 题型十 绝对值的其他应用 题型十一 有理数的大小比较 题型十二 有理数大小比较的实际应用 知识点1：相反数的概念 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 知识点2：相反数的意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 知识点3：多重符号的化简 1、一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2、一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3、一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 知识点4：绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3、绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4、绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 知识点5：化简绝对值 ①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 知识点6：绝对值的非负性 1、 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0． 2、 。 知识点7：绝对值的应用 1、质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2、小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3、数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 【经典例题一 相反数的辨别与定义】 【例1】（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期中）下列说法，其中正确的个数为（    ） ①整数和分数统称为有理数；②一个有理数不是正数就是负数；③有最小的正数，没有最大的负数；④如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个正数；⑤一定在原点的左边． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数，正确的理解有理数的有关定义及运算法则是解决问题的关键．根据有理数的有关定义及运算逐一判断即可． 【详解】解： ①整数和分数统称为有理数，故①正确； ②一个有理数可能不是正数也不是负数，比如0，故②错误； ③没有最小的正数，也没有最大的负数，故③错误； ④如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个正数，故④正确； ⑤，一定在原点的右边，故⑤错误． 其中正确的个数为2个． 故选A． 1．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）如图，的相反数在数轴上的位置为（　 　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据相反数的定义可得的相反数为2，再在数轴上确定其位置即可． 【详解】解：的相反数为2， 结合数轴可知，2在数轴上的位置为点， ∴的相反数在数轴上的位置为点． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相反数和数轴的知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）当x＝ 时，代数式2x+1与5x﹣6的值互为相反数． 【答案】 【分析】因为代数式2x+1与5x﹣6互为相反数，则2x+1与5x﹣6的和为0，即可求得． 【详解】∵代数式2x+1与5x﹣6互为相反数 ∴2x+1+5x﹣6=0 解得x= 故答案为： 【点睛】本题考查相反数，掌握互为相反数的两数和为0是解题关键． 3．（24-25七年级上·全国·假期作业）有下列各数：5，0，，． (1)写出这些数的相反数； (2)将这些数及它们的相反数都表示在同一条数轴上； (3)再按从大到小的顺序排列，并用“”连接； (4)写出比这些数都小的最大整数和比这些数都大的最小整数（直接写出答案）． 【答案】(1)5的相反数是，0的相反数是0，的相反数是3，的相反数是 (2)见解析 (3) (4)比这些数都小的最大整数为，比这些数都大的最小整数为6 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，涉及相反数、有理数大小比较等知识，解题的关键是把这些数表示在数轴上． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）将这些数及它们的相反数表示在同一条数轴即可； （3）根据数轴上表示的数，从右到左写出这些数，用连接即可； （4）根据数轴上表示的数，写出比小的最大整数，比5大的最小整数即可． 【详解】（1）解：5的相反数是，0的相反数是0，的相反数是3，的相反数是； （2）解：将它们表示在数轴上，如图： （3）解：用“”连接为：； （4）解：比这些数都小的最大整数为，比这些数都大的最小整数为6． 【经典例题二 判断是否互为相反数】 【例2】（23-24七年级上·重庆江北·期中）﹣2是2的（　　） A．倒数 B．相反数 C．绝对值 D．1倍 【答案】B 【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【详解】解：﹣2是2的相反数. 故选：B. 【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键. 1．（23-24七年级上·辽宁辽阳·期中）下列各数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（﹣25）与 B．与 C．﹣3与﹣|﹣3| D．﹣6与（﹣2）×3 【答案】A 【分析】只有符号不同的数互为相反数，据此判断即可． 【详解】A、﹣（﹣25）=25，=-25，正确，符合题意； B、=9，=9，两个数相等，不是互为相反数，不符合题意； C、﹣3与﹣|﹣3|=-3，两个数相等，不是互为相反数，不符合题意； D、﹣6与（﹣2）×3=-6两个数相等，不是互为相反数，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了相反数的概念，解题的关键是注意：两个数符号不同，但是绝对值相等，就是互为相反数． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法:①若a、b互为相反数,则a+b=0;②若a+b=0,则a、b互为相反数:③若a、b互为相反数,则=-1;④若=-1,则a、b互为相反数．正确的结论有 个. 【答案】3 【分析】根据相反数的定义对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①只有符号不同的两个数叫做互为相反数，若、互为相反数，则，故本小题正确； ②，，、互为相反数，故本小题正确； ③的相反数是0，若时，无意义，故本小题错误； ④，，、互为相反数，故本小题正确． 综上所述：正确的结论有①②④，共3个， 故答案为3． 【点睛】本题考查的是相反数的定义，在解答此题时要注意0的相反数是0． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各对数，并指出哪些互为相反数： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1)3，与互为相反数 (2)1.2，，与互为相反数 (3)， (4)， 【分析】首先化简各对数，然后根据相反数的概念求解即可． 【详解】（1）， 所以与互为相反数； （2），， 所以与互为相反数； （3），， 所以与相等； （4），， 所以与相等． 【点睛】本题考查了多重符号的化简方法，一个数前面有偶数个“”号，结果为正，一个数前面有奇数个“”号，结果为负，0前面无论有几个“”号，结果都为0．只有符号不同的两个数互为相反数． 【经典例题三 利用相反数的意义化简多重符号】 【例3】（23-24七年级上·四川宜宾·期中）下列各数中互为相反数的是（    ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】D 【分析】此题依据相反数的概念求值，并要注意符号的变化．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 【详解】解：A、+（-5）=-5，选项错误； B、-（+5）=-5，选项错误； C、-（+5）=-5，-|-5|=-5，选项错误； D、-（-5）=5，+（-5）=-5，5与-5互为相反数，选项正确. 故选D． 【点睛】此题主要考查相反数的概念及定义．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 1．（23-24七年级上·湖北黄冈·阶段练习）化简-（-8）的的结果（     ） A． B． C．8 D．-8 【答案】C 【分析】直接根据相反数的定义解答即可． 【详解】∵-（-8）即为-8的相反数， ∵-8＜0， ∴-8的相反数是8，即-（-8）=8． 故选C． 【点睛】本题考查了相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2．（23-24七年级上·北京·单元测试）如果，则x= . 【答案】3 【分析】根据相反数的概念解答即可. 【详解】, -(+x)=3 X=-3,故答案为3. 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的概念是解题的关键. 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各式的符号，并回答问题： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． (7)问：①当前面有2022个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2023个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】(1)2 (2) (3) (4) (5)5 (6) (7)①；②；总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根据相反数的定义分别进行化简即可； （7）根据前面的计算结果猜想即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． （7）解：①当前面有2022个负号，化简后结果是． ②当前面有2023个负号，化简后结果． 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 【点睛】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． 【经典例题四 相反数与数轴的综合】 【例4】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个数中负数有（   ）个    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了数轴和正负数，先根据相反数的意义，确定原点，再根据各数在原点的位置确定数的正负，根据相反数的意义确定原点的位置是解决本题的关键． 【解答】解：∵， ∴与互为相反数， ∴原点为，如图：    则在原点左侧的数有三个， 即，，，四个数中负数有个． 故选：． 1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，相反数的定义，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据题意得出与互为相反数，与互为相反数，再根据表示数与的点相距30个单位长度即可求出表示数的点到原点的距离为15，再根据表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的求出的值，从而求出的值． 【详解】解：表示数的点与表示数的点到原点的距离相等， 与互为相反数，即原点在、之间，如图， 与互为相反数，且表示数与的点相距30个单位长度， 表示数的点到原点的距离为15， 表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的， ， ， 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）数轴上A，B两点的距离为6，且A，B所表示的数互为相反数，B在A的右侧，则点B所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数定义和数轴，掌握相反数对应的点在数轴的两侧，到原点的距离相等是解题的关键． 数轴上互为相反数的两点在原点的两侧，并且到原点的距离相等，以及B在A的右侧，即可求解． 【详解】点表示互为相反数的两个数，B在A的右侧，并且这两点的距离为6， 这两个数一个为3，另一个则为， B在A的右侧， 点B表示的数为． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·陕西商洛·期末）如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示，点表示8． (1)点表示的有理数是______，表示原点的是点______． (2)图中哪些点表示的有理数互为相反数？ (3)图中的数轴上另有点到A点，点距离之和为13，求点表示的有理数． 【答案】(1)，C (2)B和D，A和E， (3)或 【分析】本题考查了数轴，两点间的距离公式，解题的关键是采用数形结合的数学思想． （1）根据，可知图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度，则后边的点表示的数总是比前边相邻的点表示的数大2，据此即可判断； （2）根据相反数的几何意义可知，原点两旁到原点距离相等的点互为相反数，即可解答； （3）根据两点间的距离公式，设M表示的数是x，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度， 则B表示：，C表示，是原点． 故答案为：，C； （2）解：由（1）可知C为原点，且相邻两点之间的距离都相等， B和D，A和E，分别互为相反数； 故答案为：B和D，A和E， （3）解：， M不在线段上，设M表示的数是x， 当M在A的左边时：，解得； 当M在G的右侧时：，解得， 则M点表示：或． 故答案为：或． 【经典例题五 绝对值的意义】 【例5】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法：①；②；③相反数大于它本身的数一定是负数；④绝对值等于它本身的数一定是正数．其中正确的序号为（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查绝对值及相反数，根据绝对值及相反数的性质逐项判断即可，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：①、a为任意实数时，，故①符合题意； ②、当时，，故②不符合题意； ③、只有负数的相反数大于它本身，故③符合题意； ④、因为，0不是正数，也不是负数，故④不符合题意； 综上，正确的为①③， 故选：C． 1．（23-24六年级上·山东淄博·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C．若，则与相等 D．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，，不是负数，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、若，则与相等或互为相反数，则此项错误，不符合题意； D、因为正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数，此项正确，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知，则 ； 【答案】或； 【分析】本题考查绝对值的应用及数轴上两点间距离，根据，分在左边与右边两类讨论即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴数在左边或右边， 当数在左边时， ∵， ∴，解得：， 当数在右边时， ∵， ∴，解得：， 故答案为：或． 3．（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示，在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点，在数轴上分别表示有理数，，那么，之间的距离可表示为． (1)点，，在数轴上分别表示有理数，，，那么到的距离与到的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示）； (2)利用数轴探究： ①的最小值是______； ②求的最小值以及此时的值． 【答案】(1) (2)①；②最小值为， 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键是数形结合，理解绝对值的几何意义． （1）分别表示，，即可求解； （2）①到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离； ②到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离． 【详解】（1）解：，， 点到点的距离与点到点的距离之和为， 故答案为：； （2）①到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离， 的最小值是， 故答案为：； ②到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离， 在时取最小值，最小值为． 【经典例题六 求一个数的绝对值】 【例6】（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的含义和求法，由，求出的值是多少即可． 【详解】解：，，， ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零． 1．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下列各式正确的是（   ） A．﹣|5|＝|﹣5| B．﹣5＝|﹣5| C．|5|＝|﹣5| D．|5|＝﹣|﹣5| 【答案】C 【分析】根据绝对值的含义和求法解答即可． 【详解】解：A、﹣|5|=-5，|﹣5|=5，原式错误，故此选项不符合题意； B、|﹣5|=5，原式错误，故此选项不符合题意； C、|5|=5，|﹣5|=5，|5|=|﹣5|，原式正确，故此选项符合题意； D、|5|=5，﹣|﹣5|=-5，原式错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了绝对值．解答此题的关键是熟练掌握绝对值的含义和求法． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）已知2，4，且a，b异号，则a+b= ； 【答案】 【分析】根据绝对值的性质求出a，b，代入求解即可； 【详解】∵2，4， ∴，， ∵a，b异号， ∴，或，， ∴或； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质应用，准确计算是解题的关键． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）写出下列各数的绝对值． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）3 【答案】（1）1.5；（2）；（3）6；（4）；（5）3 【分析】本题考查绝对值，根据绝对值的性质分别进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． 【经典例题七 化简绝对值】 【例7】（2023·重庆渝北·一模）已知实数a，b，c满足，且，则下列说法中，正确的个数是（    ） ①；②；③化简； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简，解题的关键是熟知正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数． 根据绝对值的意义分类讨论，逐项判断正确与否即可． 【详解】解：∵， 当时，，得，不符合题意； 当时，，得，故①错误； 将代入得，， 因得，，故②正确； ∵，， ∴ ，故③错误． 故正确的选项有②，正确的个数是1． 故选：B． 1．（23-24七年级上·浙江金华·期中）如图，表示在数轴上的四个点的位置关系，并且它们表示的数分别为a，b，c，d，若，，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的化简求值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．根据题目得到，即可求出，化简求值即可得到答案． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 故选B． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若关于的方程恰有两个不同的解，则的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质和不等式性质即可求解. 【详解】解：， ， 或， 当时，方程无解或只有一个解， ， ，即或，即， 但当时，或都成立，此时有个不同的解， 只有时，成立，方程恰有两个不同的解. 3．（23-24七年级上·吉林松原·阶段练习）在数轴上表示有理数：，并用“”将它们连接起来． 【答案】在数轴上表示见解析， 【分析】本题考查数轴表示有理数及比较大小，涉及绝对值、相反数性质及数轴性质等知识，先化简，再由数轴性质比较各有理数大小即可得到答案，熟记数轴性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 在数轴上表示，如图所示： ． 【经典例题八 绝对值非负性解题】 【例8】（23-24六年级下·上海浦东新·期中），则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】先根据绝对值非负性的性质求得的值，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值非负性的性质、代数式求值等知识点，熟练掌握绝对值非负性的性质是解题的关键． 1．（23-24七年级上·广东广州·期中）设个有理数满足，且，则的最小值是（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，由，结合已知条件得到，再取值验证符合题意即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴． 当时，取，， 则且，满足题目条件，故所求n的最小值为20． 故选B 2．（23-24七年级上·安徽池州·期末）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则 （1）c的值为 ． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为 ． 【答案】 2024 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2024三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2024； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2024三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值为2024； 故答案为：2． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)①②或 (2)①，② (3)当时，，当时，，当时，，当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （）①根据、两点之间的距离公式即可求解； ②根据及、两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数的值，即可求解； （）根据点位置分情况讨论，用含的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）①∵点表示数，点表示数， ∴、两点之间的距离表示为； ②点表示数，点表示数， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和的距离之和， ∴当整数的值为这个值时，的最小值为， 即相应的整数的个数为个； 故答案为：①；；②； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是， ∴点表示的数是，点表示的数是，、之间的距离， ∵点的运动速度始终保持每秒个单位长度，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，，当时，，当时， 【经典例题九 绝对值方程】 【例9】（2024·安徽合肥·二模）若方程无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是注意分类讨论．分三种情况：当时，当时，当时，分别求出m的范围，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∴当时，方程无解； 当时，原方程可变为：， 即， ∵此时， ∴当时，方程无解； 综上分析可知：当时，方程无解； 故选：D． 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）已知是方程的解，则k的值为（    ） A．11或 B．9或 C．11或 D．或9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及绝对值求值，熟练掌握绝对值求解是解题的关键．将代入方程，根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得或． 故选：C． 2．（2024七年级·全国·竞赛）若关于的方有三个不同的解，则有理数 ． 【答案】5 【分析】本题考查了绝对值的性质和解绝对值方程等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质即可求解． 【详解】解：， ， 或， 当时，即时，方程无解，此时方程最多只有两个不同的解，不符合题意； 当时，即时，方程有一个解，此时方程有两个不同的解，即此时方程由三个不同的解，符合题意； 当时，即时，方程有两个不同的解，此时方程有两个不同的解，即方程此时有4个不同的解，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·甘肃陇南·阶段练习）阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【答案】(1)，或3 (2)①3；②或3 【分析】（1）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （2）①由点在线段上，可得，计算求解即可；②由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得，或， 故答案为：，或3； （2）①解：∵点在线段上， ∴， 故答案为：3． ②解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． 【经典例题十 绝对值的其他应用】 【例10】（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）数轴上有，，，，五个点，各点的位置与所表示的数如图所示，且．若数轴上有一点，所表示的数为，且，则关于点的位置，下列叙述正确的是（    ） A．在，之间 B．在，之间 C．在，之间 D．在，之间 【答案】B 【分析】根据O、A、B、C、五个点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：点A表示的数为-5，点B表示的数为3，点C表示的数为-1，点D表示的数为d，且AC=BC ∵， ∴MD=BD， 又∵-5＜d＜-1＜3 ∴M点介于O、C之间， 故选：B． 【点睛】本题考查的是数与数轴，利用数形结合思想解题是关键． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b．A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示1和3两点之间的距离是 ； ②x表示一个有理数，且，则有理数x的值是 ． 【答案】 2 －5或3 【分析】（1）根据数轴可直接得出答案； （2）根据绝对值的几何意义，结合数轴进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，由数轴可知，表示1和3两点之间的距离是2； （2）由题意可知，的意义为：x到2的距离加上x到－4的距离等于8， ∴由数轴可知，当x＝－5或x＝3时，x到2的距离加上x到－4的距离等于8，即此时， 故答案为：（1）2；（2）－5或3． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）5，x，4；（2）或；（3）①的最小值为6；②的最小值为7 【分析】（1）根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的双值性建立方程求解即可； （3）根据材料正确理解计算即可． 【详解】解：（1）， 表示表示数x和数4这两点的距离， 故答案为：5，x，4； （2）， ， 或， 解得：或； （3）①由探究材料3得，当时，有最小值，最小值为6． ， ∴最小值为6． ②由探究材料3得，这是在求点x到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为7， ． 的最小值为7． 【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． 【经典例题十一 有理数的大小比较】 【例11】（23-24·江苏宿迁·模拟预测）当时，的大小顺序是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 熟知正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，根据可令求出的值，再比较大小即可，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解： ∴令则 ， 故选：A． 1．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查了比较有理数的大小，找出符合条件的点，即可得到答案． 【详解】解：大于而小于2.3的整数有，，，，0，1，2，共7个， 故选：C． 2．（23-24七年级上·江西吉安·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了两个负数的大小比较方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系，解题的关键是正确理解两个负数相比较，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则 故答案为：． 3．（23-24七年级上·河南洛阳·期中）请阅读材料，并解决问题． 比较两个数的大小的方法： 若比较与的大小，利用绝对值法比较这两个负数的大小要涉及到分数的通分，计算量大，可以使用如下的方法改进： 解：因为，所以，所以． (1)上述方法是先通过找中间量______来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，______大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； (2)利用上述方法比较与的大小． 【答案】(1)；绝对值 (2) 【分析】本题主要考查有理数大小比较： （1）根据计算过程和有理数大小比较法则得出答案即可； （2）找出中间量是，再比较大小即可， 【详解】（1）上述方法是先通过找中间量来比较出与的大小，再根据两个负数比较大小，绝对值大的负数反而小，把这种方法叫做借助中间量比较法； 故答案为：；绝对值； （2）∵， ∴， ∴． 【经典例题十二 有理数大小比较的实际应用】 【例12】（2024·湖北恩施·一模）今年春节后有一段时间气候异常寒冷，某一天，北京、杭州、哈尔滨、金华四个城市的最低气温分别是，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则．根据有理数的大小比较，即可作出判断． 【详解】解：， 故温度最低是， 故选：C． 1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，检测4个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从质量的角度看，最接近标准质量的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】解： ，， ∵ ∴最接近标准质量的是． 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建福州·期末）小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 3．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）一种圆形的机器零件规定直径为200毫米,为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 【答案】（1）1号的直径最大，最大直径是200.2（mm）；3号的直径最小，最小直径是199.7（mm）；（2）质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【分析】（1）先比较表格中6个数据的大小，然后根据最大的数据和最小的数据即为直径最大和最小解答即可； （2）与规定质量差的绝对值最小的就是质量最好的，与规定质量差的绝对值最大的就是质量最差的，据此解答即可． 【详解】解：（1）由﹣0.3＜﹣0.2＜﹣0.1＜0＜0.1＜0.2知：1号的直径最大，最大直径是200+0.2=200.2（mm）； 3号的直径最小，最小直径是200﹣0.3=199.7（mm）； （2）由于， 所以质量最好的是5号，质量最差的是3号． 【点睛】本题考查了正负数在实际中的应用、有理数的大小比较以及绝对值的实际应用，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键． 1．（2023·浙江·模拟预测）的相反数是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简符号，再由相反数的定义求解即可. 【详解】，的相反数是， 故选：D 【点睛】此题主要考查了多重符号的化简和相反数，正确掌握定义是解题关键． 2．（2023·陕西西安·二模）下列各组数中，互为相反数的组是(   ) A．和 B．2023和 C．和2023 D．和 【答案】A 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即可． 【详解】解：A．和互为相反数，故A选项符合题意； B．2023和互为倒数，故B选项不符合题意； C．和2023不互为相反数，故C选项不符合题意； D．和不互为相反数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查相反数，正确理解相反数的定义是解答的关键． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 4．（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）能使式子成立的数是（    ） A．任意一个负数 B．任意一个正数 C．任意一个数 D．任意一个非正数 【答案】D 【分析】分当时，当时，当时，三种情况去绝对值，看方程是否有解即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴，这与事实矛盾，不符合题意； 当时， ∵， ∴，等式恒成立，符合题意； 综上所述，， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解绝对值方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 5．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，且，然后进行逐一辨别． 【详解】解：由题意可得，且， ，，，， 选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D 【点睛】此题考查了运用数轴表示实数大小的能力，关键是能正确理解相关知识，并能运用数形结合思想进行求解． 6．（23-24七年级上·湖北·周测）若，则 ． 【答案】 【分析】先去括号得到，根据绝对值等于一个正数的数有两个，直接利用绝对值得性质得出结果． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的求解，绝对值得意义，去括号得法则，熟练掌握绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于的数有一个，没有绝对值等于负数的数，是解答本题的关键． 7．（23-24七年级上·福建泉州·期中）若，则 ． 【答案】2010或2036 【分析】本题主要考查绝对值的性质，根据绝对值的意义进行化简即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴， ∴或2010． 故答案为：2010或2036． 8．（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）化简： ， ， ． 【答案】 7 【分析】根据相反数的意义化简即可解答． 【详解】解：，，． 故答案为：7，，． 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，只有符号不同的两个数叫做相反数． 9．（2024七年级·全国·竞赛）满足的所有整数对有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，绝对值的意义，根据已知可得到或，分情况进行求解即可． 【详解】解：， ， 或， 所以有或或或，共4对， 故答案为：4． 10．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）已知，则的最大值为 ；的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，掌握绝对值的几何意义是解题关键．根据绝对值的几何意义可得，当时，有最小值3；当时，有最小值6，再根据、的取值得出答案即可 ． 【详解】解：当时，有最小值3； 当时，有最小值6； ， 当，时，有最大值为5；当，时，有最小值为； 故答案为：， 11．（2024七年级·全国·竞赛）解方程：． 【答案】或． 【分析】本题主要考查解绝对值方程，分、、三种情况去绝对值，解一元一次方程即可． 【详解】解：（1）当时，有，得； （2）当时，有，无解； （3）当时，有，得． 所以方程的解为或． 12．（23-24七年级上·广西南宁·期中）在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大顺序排列，，，，，． 【答案】数轴表示见解析，． 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，先化简各数，再把它们在数轴上表示出来，由数轴即可比较出大小，在数轴上正确表示出各数是解题的关键． 【详解】解：，，， 各数在数轴上表示如下： 由数轴可得，． 13．（23-24七年级上·河北沧州·期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A，B，C把数轴分成①②③④四部分，点A，B，C对应的数分别是a，b，c，已知．    (1)请直接写出原点在第几部分； (2)已知点A与点C之间的距离为5，点B与点C之间的距离是3． ①若，求的值； ②若a，c互为相反数，求的值； (3)设原点为O，若点C表示数3，数轴上一点D表示的数为d，在这三点中，当相邻两点的距离相等时，直接写出d的值． 【答案】(1)第③部分 (2)； (3)或或 【分析】本题主要考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离，有理数的加减法运用，熟练掌握分类讨论是解题的关键． （1）由可得异号，从而得出圆点的位置； （2）①由分别求出的值即可得到答案． ②a，c互为相反数，故，再由点A与点C之间的距离为5，点B与点C之间的距离是3求出值计算． （3）分三种情况讨论，当点是的中点时，当点是的中点时，当点是的中点时，分别求解． 【详解】（1）解：， 异号， 原点在，之间，即第③部分； （2）解：①：点B与点C之间的距离是3，， ， 点A与点C之间的距离为5， ， ； ②∵a，c互为相反数，故， 点A与点C之间的距离为5， ∴， ∵点B与点C之间的距离是3， ， ， ； （3）解：①当点是的中点时，， ，得， ②当点是的中点时，， ， ③当点是的中点时，， ， 综上所述，或或． 14．（23-24七年级上·北京密云·期末）在数轴上，若A、B、C三点满足AC=2CB，则称C是线段AB的相关点.当点C在线段AB上时，称C为线段AB的内相关点，当点C在线段AB延长线上时，称C为线段AB的外相关点. 如图1，当A对应的数为5，B对应的数为2时，则表示数3的点C是线段AB的内相关点，表示数-1的点D是线段AB的外相关点. （1）如图2，A、B表示的数分别为5和-1，则线段AB的内相关点表示的数为______,线段AB的外相关点表示的数为________. （2）在（1）的条件下，点P、点Q分别从A点、B点同时出发，点P、点Q分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为t秒. ①当PQ=7时，求t值. ②设线段PQ的内相关点为M，外相关点为N.直接写出M、N所对应的数为相反数时t的取值. 【答案】（1）1，-7；（2）① 当PQ=7时，t=1；②t=1.8 【分析】（1）根据内相关点和外相关点的定义列出等式求解即可； （2）①根据“路程=速度时间”以及点A和B表示的数求出点P和Q表示的数，然后根据列出等式求解即可； ②同（1）的方法一样，分别求出点M，N表示的数，再根据相反数的定义列出等式求解即可. 【详解】（1）设线段AB的内相关点表示的数为a 由得， 解得 设线段AB的外相关点表示的数为b 由得， 解得 故答案为：和； （2）①运动时间为t秒 点P对应的数为，点Q对应的数为，并且点P在点Q右侧 则 当时，，解得； ②同（1）可得：内相关点M表示的数为 外相关点N表示的数为 由相反数的定义得， 解得 故t的值为1.8. 【点睛】本题考查了数轴的定义、相反数的定义，理解新定义是解题关键. 15．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：我们知道的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．举例：数轴上表示数a和的两点A和B之间的距离是． 问题探究：参考阅读材料，解答下列问题． (1)①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ． (2)若数轴上表示数a的点位于与5之间，求的值是 ； (3)当取最小值时，相应的数a的取值范围是 ； (4)求的最小值是 ． 实际应用： (5)问题：某一直线沿街一侧有2023户居民（相邻两户居民间隔相同），每户按序标记为：，，，，，…，某餐饮公司想为这2023户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在 ，才能使这2023户居民到点P的距离总和最小．（填住户标记字母） 拓展提升： (6)若数a，b满足，求的最小值为 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由两点间距离直接求解即可； （2）根据绝对值的性质化简绝对值，在计算即可； （3）由两点距离的意义进行解得； （4）当时代数式的值最小，即可得到答案； （5）取最中间点即可； （6）在范围内，解方程便可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示2和5的两点之间的距离是； 数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是； （2）解：， ； （3）解：表示数的点与表示数和的点的距离之和， 当位于和之间时，其距离之和最小， 故当取最小值时，相应的数a的取值范围是； （4）解：当时，取最小值， 原式； （5）解：点选在最中间时，距离总和最小， 故答案为：； （6）解：， 当时， ， ， 数a，b满足，求的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$