专题02 有理数和数轴重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题02 有理数和数轴重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数的概念 题型二 有理数的分类 题型三 0的意义 题型四 带“非”字的有理数 题型五 数轴的三要素及其画法 题型六 用数轴上的点表示有理数 题型七 利用数轴比较有理数的大小 题型八 数轴上两点之间的距离 题型九 数轴上点的覆盖问题 题型十 数轴上的动点问题 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型十二 用数轴解决实际问题 知识点1：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 知识点2：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【经典例题一 有理数的概念】 【例1】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 1．（22-23七年级上·重庆万州·阶段练习）在实数，7，，，0.131131113…中，有理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（223-24七年级上·江苏泰州·阶段练习），，，，，4，这些数中，有理数有 个． 3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）把下列各数分别填在表示它所属的横线上：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦2000；⑧．（填写序号） （1）正数：___________； （2）负数：___________； （3）整数：___________； （4）分数___________． 【经典例题二 有理数的分类】 【例2】（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）下列四个数中，为负整数是（     ） A． B． C． D． 1．（2023六年级下·上海·专题练习）在，，0，，，，，10中，负数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（22-23七年级上·四川成都·期中）已知一组数：，0，，3，，． 正数集合： …； 非正数集合： …； 分数集合： …； 3．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）对下列各数进行分类，其中整数，分数，非负数分别是： 整数：{             …}； 分数：{             …}； 非负数：{             …}． 【经典例题三 0的意义】 【例3】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．既不是正数，也不是负数 B．的绝对值是 C．立方根等于本身的数是 D．一个有理数不是整数就是分数 2．（23-24七年级上·广东阳江·阶段练习） 既不是正数，也不是分数，但它是整数． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【经典例题四 带“非”字的有理数】 【例4】（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）下面关于0的说法，说法正确的是（    ） A．0是最小的正数 B．0是最大的负数 C．0既不是正数也不是负数 D．海拔0m就是没有海拔 1．（23-24七年级上·浙江台州·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（　　 ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）有理数2，+7.5，-0.03，-0.4，0，.中，非负分数有 ． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）请把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，，， 正整数集合：{__________…}； 负分数集合：{__________…}； 自然数集合：{__________…}； 非负有理数集合：{__________…}． 【经典例题五 数轴的三要素及其画法】 【例5】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个 数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个 数． 3．（2023七年级·全国·专题练习）观察下列图形，指出哪条数轴画得正确，其余错在哪里？ 【经典例题六 用数轴上的点表示有理数】 【例6】（23-24七年级上·重庆·期中）数轴上表示数的点和表示数的点之间的整数点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，数轴的单位长度为1．若点A表示的数是，则点表示的数为（    ） A． B．0 C．2 D．3 2．（22-23七年级上·湖北十堰·期中）在数轴上表示和两点之间的整数有 个． 3．（22-23七年级上·陕西延安·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，，设点，，所对应数的和是．若以为原点，求出点，所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？ 【经典例题七 利用数轴比较有理数的大小】 【例7】（23-24七年级上·四川达州·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 1．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置，下列比较大小正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）两数在数轴上的位置如图所示，则 （用“”“”“”填空）． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）把下列各数表示的点画在数轴上（请标注原数），并用“”把这些数连接起来．． 【经典例题八 数轴上两点之间的距离】 【例8】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 1．（23-24七年级上·甘肃张掖·阶段练习）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（    ） A．6 B．2 C．3或6 D．2或6 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 【经典例题九 数轴上点的覆盖问题】 【例9】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2020cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（　　） A．2020 B．2021 C．2020或2021 D．2019或2020 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有 个．    3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【经典例题十 数轴上的动点问题】 【例10】（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏·假期作业）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 3．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【经典例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例11】（2024·北京石景山·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 【经典例题十二 用数轴解决实际问题】 【例12】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 1、（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 2、（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 3、（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 2．（23-24七年级上·山东·课后作业）下列各图中，表示数轴正确的是（　　） A．A B．B C．C D．D 3．（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023七年级上·全国·专题练习）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．a<-2 B．b<1 C．a>b D．b<2 5．（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，,，2023，，0.26，11.3中，非负整数有 个． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，0，3.14%，-4.733…，100，，7151551…中，正数是 ，分数是 ． 8．（23-24七年级上·福建福州·期末）已知数轴上，，，四点所表示的数分别为，，，，，其中有两个数的和为0，且满足．若，，．则这四个数中互为相反数的是 ． 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    10．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为-10，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 11．（2023七年级上·浙江·专题练习）画出数轴并表示下列有理数：1.5，﹣2，2，﹣2.5，，，0． 12．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）用数轴上的点表示下列各有理数，并比较大小． ，，，， 13．（23-24六年级上·山东威海·期中）请把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正数集合：{ …} 整数集合：{ …} 正分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} 14．（24-25七年级上·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 15．（23-24七年级上·陕西西安·期中）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数和数轴重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数的概念 题型二 有理数的分类 题型三 0的意义 题型四 带“非”字的有理数 题型五 数轴的三要素及其画法 题型六 用数轴上的点表示有理数 题型七 利用数轴比较有理数的大小 题型八 数轴上两点之间的距离 题型九 数轴上点的覆盖问题 题型十 数轴上的动点问题 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型十二 用数轴解决实际问题 知识点1：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 知识点2：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【经典例题一 有理数的概念】 【例1】（23-24七年级上·江苏淮安·期中）下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有理数的意义逐项判断即可．掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．注意π是无理数． 【详解】解：实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中有理数为：、、，共3个. 故选C. 1．（22-23七年级上·重庆万州·阶段练习）在实数，7，，，0.131131113…中，有理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有理数的定义进行解答即可． 【详解】解：有理数有：，7，三个数， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的定义，解题的关键是熟记整数与分数统称有理数． 2．（223-24七年级上·江苏泰州·阶段练习），，，，，4，这些数中，有理数有 个． 【答案】6 【分析】先根据有理数概念判断出有理数，再计算个数即可． 【详解】∵整数和分数统称有理数， ∴有理数有：，，，，4，，共6个． 故答案为：6． 【点睛】要掌握：整数和分数统称有理数，其中不是有理数．能准确的判断出什么是有理数，知道是无限不循环小数，是无理数． 3．（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）把下列各数分别填在表示它所属的横线上：①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦2000；⑧．（填写序号） （1）正数：___________； （2）负数：___________； （3）整数：___________； （4）分数___________． 【答案】（1）②⑥⑦ （2）①③⑤⑧ （3）②④⑤⑦ （4）①③⑥⑧ 【分析】本题考查有理数的分类及定义，掌握有理数的分类及相关定义是解题的关键； 根据有理数的分类及定义进行分类即可． 【详解】解：（1）正数：②⑥⑦； （2）负数：①③⑤⑧； （3）整数：②④⑤⑦； （4）分数：①③⑥⑧． 故答案为：②⑥⑦，①③⑤⑧，②④⑤⑦，①③⑥⑧． 【经典例题二 有理数的分类】 【例2】（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）下列四个数中，为负整数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据负整数的定义即可求解． 【详解】、既不是正数也不是负数，不符合题意； 、是正整数，不符合题意； 、是负整数，符合题意； 、是负分数，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了大于的整数是正整数，小于的整数是负整数，熟记负整数的概念是解题的关键． 1．（2023六年级下·上海·专题练习）在，，0，，，，，10中，负数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】负数就是小于0的数，依据定义即可求解． 【详解】解：在，，0，，，，，10中，负数有，，，，一共4个． 故选：B． 【点睛】此题考查了正数与负数，判断一个数是正数还是负数，要把它化简成最后形式再判断． 2．（22-23七年级上·四川成都·期中）已知一组数：，0，，3，，． 正数集合： …； 非正数集合： …； 分数集合： …； 【答案】 ，3， 0，， ，， 【分析】根据有理数的分类进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：正数集合为：{，3，… } ； 非正数集合为：{0，，… }； 分数集合为：{，，… }； 故答案为：，3，；0，，；，，． 【点睛】本题考查了有理数的分类，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 3．（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）对下列各数进行分类，其中整数，分数，非负数分别是： 整数：{             …}； 分数：{             …}； 非负数：{             …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类．认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点． 根据有理数的分类分别进行解答． 【详解】解：，， 整数：{…}； 分数：{…}； 非负数：{…}． 【经典例题三 0的意义】 【例3】（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）下列结论正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据0的概念逐项判断即可得． 【详解】A、既不是正数，也不是负数，则此项错误； B、不是正数，则此项错误； C、整数包括负整数、和正整数，且没有最小的整数，则此项错误； D、既不是正数也不是负数，则此项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了0的概念，掌握理解0的概念是解题关键． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．既不是正数，也不是负数 B．的绝对值是 C．立方根等于本身的数是 D．一个有理数不是整数就是分数 【答案】C 【分析】有理数包括正数、0、负数，0的绝对值是0，1、-1、0的立方根等于它本身，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，故本选项说法正确，不符合题意； B、0的绝对值是0，故本选项说法正确，不符合题意； C、立方根等于它本身的数是1，-1，0，故本选项符合题意； D、有理数包括整数和分数，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了对有理数，立方根的定义，绝对值的应用，注意：有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数． 2．（23-24七年级上·广东阳江·阶段练习） 既不是正数，也不是分数，但它是整数． 【答案】0 【分析】根据有理数的分类可求解． 【详解】解：0既不是正数，也不是分数，但它是整数． 故答案为0． 【点睛】本题主要考查有理数的分类，属于基础知识． 3．（23-24七年级·全国·假期作业）请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【答案】见解析 【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决． 【详解】解：①零既不是正数也不是负数； ②零小于正数，大于负数； ③零不能做分母； ④零是最小的非负数； ⑤零的相反数是零; ⑥任何不为零的数的零次幂为1； ⑦零乘以任何数都是零等． 【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性． 【经典例题四 带“非”字的有理数】 【例4】（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）下面关于0的说法，说法正确的是（    ） A．0是最小的正数 B．0是最大的负数 C．0既不是正数也不是负数 D．海拔0m就是没有海拔 【答案】C 【分析】0既不是正数也不是负数，正确认识海拔0m的意义即可． 【详解】A、0是最小的正数，错误，0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； B、0是最大的负数，错误，0既不是正数也不是负数，故本选项不符合题意； C、0既不是正数也不是负数，故本选项符合题意； D、海拔0m就是没有海拔，错误，海拔0m就是与海平面高度相同，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查0的意义及其应用，明确海拔0m是与海平面高度相同，0是正负数的分界是解题的关键． 1．（23-24七年级上·浙江台州·期中）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（　　 ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①、0是最小的整数，说法错误，因为整数有正、负、0之分； ②、一个有理数不是正数就是负数，说法错误，0既不是正数也不是负数； ③、非负数指的是正数和0，说法错误； ④、整数和分数统称有理数，说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的分类以及正数负数的有关概念，正确理解有理数的分类是解题的关键． 2．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）有理数2，+7.5，-0.03，-0.4，0，.中，非负分数有 ． 【答案】+7.5， 【分析】根据非负数的定义，即非负数为大于或等于0的数，再判定是否为分数即可． 【详解】∵2>0，+7.5>0，−0.03<0，−0.4<0，0=0， ∴非负数为：2，+7.5，0, ∵0和2为整数 ∴非负分数为：+7.5， 故答案为+7.5，． 【点睛】本题考查了非负数的定义，解题的关键是熟练的掌握非负数的定义． 3．（23-24七年级上·福建泉州·期中）请把下列各数填入相应的集合里： ，，，，，，， 正整数集合：{__________…}； 负分数集合：{__________…}； 自然数集合：{__________…}； 非负有理数集合：{__________…}． 【答案】；，；，；，，，． 【分析】本题考查了自然数、分数、非负有理数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉自然数、分数、非负有理数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】根据有理数的分类及定义有： 正整数集合：{    ，…}； 负分数集合：{ ，…}； 自然数集合：{ ，…}； 非负有理数集合：{ …}； 故答案为：；，；，；，，，． 【经典例题五 数轴的三要素及其画法】 【例5】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列数轴画得正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的画法，根据数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A，没有原点，故该选项不正确，不符合题意； B，单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； C，正确，故该选项符合题意； D，单位标记不正确，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 1．（23-24七年级上·四川泸州·阶段练习）下列图形是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是数轴的定义，数轴是规定了原点，正方向和单位长度的直线；根据上述定义，逐一判断各选项，即可得到结论． 【详解】解：A．没有规定正方向，不是数轴，故本选项不符合题意； B．有了原点，正方向和单位长度，是数轴，故本选项符合题意； C．没有负半轴，且不是直线，故不是数轴，故本选项不符合题意； D．单位长度不均匀，不是数轴，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个 数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个 数． 【答案】 负 正 【分析】根据数轴上点的位置特征判断即可． 【详解】解：数轴上，如果表示数的点在原点的左边，那么是一个负数；如果表示数的点在原点的右边，那么是一个正数， 故答案为：负；正 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是弄清数轴上点的位置特征． 3．（2023七年级·全国·专题练习）观察下列图形，指出哪条数轴画得正确，其余错在哪里？ 【答案】见解析 【分析】根据数轴三要素和画法解题即可． 【详解】解：D正确， A：没有原点，B：没有方向； C：单位长度不统一；E：负半轴数字倒置． 【点睛】本题考查数轴三要素及画法，画数轴时原点，正方向和单位长度缺一不可，且左边的数要比右边的小。单位长度的大小可以根据不同的需要选择． 【经典例题六 用数轴上的点表示有理数】 【例6】（23-24七年级上·重庆·期中）数轴上表示数的点和表示数的点之间的整数点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，根据题意得到和之间的整数有，0，1，2，3共5个，据此即可求解． 【详解】解：和之间的整数有：，0，1，2，3， 共5个， 数轴上表示数的点和表示数的点之间的整数点个数为5． 故选：C 1．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，数轴的单位长度为1．若点A表示的数是，则点表示的数为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴得到点与点A相差3个单位长度，即可得到答案； 【详解】解：由数轴可得， 点与点A相差3个单位长度， ， 故选：C； 【点睛】本题考查数轴上点表示的数字，解题的关键是根据数轴得到两点的距离． 2．（22-23七年级上·湖北十堰·期中）在数轴上表示和两点之间的整数有 个． 【答案】6 【分析】在数轴上找出点和，找出两点之间的整数即可得出结论． 【详解】解：依照题意，画出图形，如图所示．    在和两点之间的整数有：，，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答． 3．（22-23七年级上·陕西延安·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，，设点，，所对应数的和是．若以为原点，求出点，所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？ 【答案】以B为原点，点A，C所对应的数分别是，1，；以C为原点，点A，B所对应的数分别是，， 【分析】根据以为原点，则表示1，表示，进而得到的值；根据以为原点，则表示，表示，进而得到的值． 【详解】解：以为原点，点，所对应的数分别是，1， ； 以为原点，点，所对应的数分别是，， ． 【点睛】本题主要考查了数轴，解决本题的关键是数形结合思想的灵活运用． 【经典例题七 利用数轴比较有理数的大小】 【例7】（23-24七年级上·四川达州·期中）a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上有理数的大小比较，正负数，解题的关键是熟练掌握数轴上有理数的大小比较法则，根据数轴上的数，以右为正方向时，右边的数永远大于左边的数，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 1．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置，下列比较大小正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴得出，，进而得出，即可进行解答． 【详解】解：从数轴可知：，， ∴， ∴，，，， 即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小，解题的关键是掌握数轴上的点表示的数右边>左边． 2．（23-24七年级上·山东青岛·期末）两数在数轴上的位置如图所示，则 （用“”“”“”填空）． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上比较大小，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．根据数轴上比较大小即可得到答案． 【详解】解：根据在数轴的位置可知，， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）把下列各数表示的点画在数轴上（请标注原数），并用“”把这些数连接起来．． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了有理数的化简、比较和利用数轴上的点表示的能力，先对有关有理数进行化简，再把它们用数轴上的点表示出来，最后把它们比较连接． 【详解】解：∵，，， ∴把它们表示的点画在数轴上如下： ∴． 【经典例题八 数轴上两点之间的距离】 【例8】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，即可得出点表示的数，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的面积为，边长为， ∴，点对应的数是， ∵移动后的长方形与原长方形 重叠部分的面积为， ∴阴影部分的面积为，，， 如图，当长方形向左平移时， 即， ∴， ∴表示的数为， 如图，当长方形向右平移时， 即， ∴， ∴， ∴， ∴表示的数为， ∴点表示的数为或， 故选：． 1．（23-24七年级上·甘肃张掖·阶段练习）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（    ） A．6 B．2 C．3或6 D．2或6 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，解题的关键是分类讨论． 要求学生分情况讨论，，三点的位置关系，即点在线段内，点在线段外． 【详解】解：此题画图时会出现两种情况，即点在线段内，点在线段外，所以要分两种情况计算． 点、表示的数分别为、1， ． 第一种情况：在线段外， ； 第二种情况：在线段内， ． 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 【答案】5或11 【分析】本题考查了数轴，根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键．分两种情况：当点A落在B点的左侧时和当点A落在B点的右侧时，可求出点A的对应点所表示的数，再利用中点公式即可求解． 【详解】解：设是点的对应点，由题意可知点是和的中点， 当点在的右侧，， 表示的数为， C表示的数为：；， 当点在的左侧，， 表示的数为， C表示的数为：， 故答案：5或11． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 【答案】(1) (2) (3)见解析，三种 【分析】本题考查了数轴，牢记数轴上点的移动规律：向左移动减，向右移动加是解题关键． （1）根据向右移动加，求出点A表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向左移动减，求出点B、C表示的数，然后作出判断即可； （3）根据要使三个点表示的数相同，由向左移动减，向右移动加，在三个点中任取两点，使得三点中的两个点到另外一点，由此写出所有移动的方法即可． 【详解】（1）点A向右移动4个单位长度后，表示的数是0， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （2）点B向左移动2个单位长度后，表示的数是，C点向左移动8个单位后，表示的数是， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最大，是； （3）有三种移动方法： ①点A向右移动6个单位长度，点B向右移动3个单位长度； ②点A向右移动3个单位长度，点C向左移动3个单位长度； ③点B向左移动3个单位长度，点C向左移动6个单位长度． 【经典例题九 数轴上点的覆盖问题】 【例9】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【详解】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2020cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（　　） A．2020 B．2021 C．2020或2021 D．2019或2020 【答案】C 【分析】某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数可能正好是2021个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是2020个． 【详解】依题意得： ①当线段AB起点在整点时覆盖2021个数， ②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2020个数， 综上所述，盖住的点为：2020或2021． 故选：C． 【点睛】此题考查了数轴，在学习中要注意培养学生数形结合的思想，注意不要遗漏． 2．（23-24七年级上·山东菏泽·期末）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有 个．    【答案】7 【分析】分别得出原点左边、右边盖住的整数，进而得出答案． 【详解】原点左边盖住的整数有，原点右边盖住的数有因此共有7个； 故答案为：7． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解数轴上数的特点和规律是关键． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】(1)2021或2020个 (2)1011或1010个 【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 【经典例题十 数轴上的动点问题】 【例10】（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 1．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了数轴上点的移动，由题意得点表示数为，点表示数为，点表示数为，熟知数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得点表示的数为， ∵点到、两个点的距离相等， ∴， 解得：， 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏·假期作业）阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减”． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得：， ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴， ∴点B所表示的数是． 故答案为：2，；． 3．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】此题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据数轴上的动点情况列方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可求解； （2）①根据追及问题的等量关系，利用点的运动距离减去点的运动距离，列方程即可；②根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （2）①根据题意得：， 解得：， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②当点与点相遇前距离为个单位长度， ， 解得：； 当点与点相遇后距离为个单位长度， ， 解得：， 答：当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 【经典例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例11】（2024·北京石景山·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴可得，进而根据实数的运算法则即可判断求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴， ∴错误，正确， 故选：． 1．（23-24七年级上·全国·单元测试）已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可． 【详解】解：∵从数轴可知：，， ∴A．， ∴，正确，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，正确，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴，错误，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级上·广东汕头·期中）如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，由数轴判断出符号和大小，根据有理数的运算法则即可求解，通过数轴判断出符号和大小是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·宁夏吴忠·阶段练习）有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 【答案】(1)a为正数，b为负数 (2)见解析 (3)b表示的数是，表示的数是10 (4)a表示的数是5，表示的数是 【分析】本题考查了数轴，相反数，正负数，数轴上两点之间的距离等知识： （1）根据原点右边的数是正数，原点左边的数是负数判断即可； （2）根据相反数的定义表示出即可； （3）根据b与表示的点相距20个单位长度即可求出b、表示的数； （4）根据数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度即可求出a、表示的数． 【详解】（1）由数轴得，数a在原点右边，故数a为正数，数b在原点左边，故数b为负数； （2）如图， ； （3）由题意，得， 解得， ∴， 即b表示的数是，表示的数是10； （4）由题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴a表示的数是5，表示的数是． 【经典例题十二 用数轴解决实际问题】 【例12】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)作图见解析，C村离A村有 (2)邮递员一共骑行了20千米； 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用； （1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答； （2）列出加法算式计算即可； 【详解】（1）解：如下图： 答：C村离A村有； （2）解：， 答：邮递员一共骑行了20千米 1、（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 【答案】(1)西边；14； (2)16 (3)货车一共行驶了38千米，共用了19升油 【分析】（1）以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，依此画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置； （2）小英家距小刚家在数轴上的位置所表示的数的绝对值之和； （3）注意要用绝对值来表示距离，求出路程的和，然后求用的油即可． 【详解】（1）解：根据题意在数轴上表示如下： 小英家在超市西边方向，小英家距离超市14千米， 故答案为：西边；14； （2）小英家距小刚家有km， 故答案为：16； （3）根据题意得： 千米， 升． 货车一共行驶了38千米，货车共用了19升油． 【点睛】题目主要考查有理数在数轴上表示，有理数的加法及绝对值的意义及有理数的除法的应用，理解题意是解题关键． 2、（23-24七年级上·广东深圳·期中）甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 【答案】甲没获胜． 【分析】可以把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，根据数轴表示数的方法求出标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9，即标志物向甲移了1.9m，由此判断甲没获胜． 【详解】拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向， 标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9， 即标志物向甲移了1.9m＜2m，由此判断甲没获胜． 考点：有理数的加减混合运算． 3、（23-24七年级上·重庆渝中·阶段练习）一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)作图见详解 (2)千米 (3) 【分析】（1）根据数轴表示有理数的方法即可求解； （2）运用数轴求两点之间的距离的方法即可求解； （3）运用有理数的加减法运算即可求解． 【详解】（1）解：货车从货场出发，用一个单位长度表示千米，以东为正方向， ∴以货场为原点，根据题意，货车行驶到各点的位置如图所示，    （2）解：由（1）中数轴图示可知，超市距货场的距离为千米． （3）解：货车行驶的路程为． 【点睛】本题主要考查有理数加减法在实际中的运用，掌握数轴表示有理数的方法，数轴上求两点之间距离的方法，有理数加减法的运算等知识是解题的关键． 1．（2024七年级·全国·竞赛）已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题，分三种情况讨论：①假设都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇数，③假设有两个奇数，一个偶数，即可得出答案． 【详解】解：假设都是偶数或都是奇数，则和都是偶数，那么和都是整数， 假设其中有两个是偶数，一个是奇数，那么和有一个是整数， 假设有两个奇数，一个偶数，那么和有一个是整数， 综上所述：和必定有一个是整数， 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东·课后作业）下列各图中，表示数轴正确的是（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，来判断即可. 【详解】数轴的三要素是：原点，正方向，单位长度， A. 符合数轴的要求，正确； B. 原点左边的数字顺序错误； C. 无原点错误； D. 无正方向错误. 故答案选A. 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是熟练的掌握数轴的三要素. 3．（23-24七年级上·四川眉山·期中）有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 4．（2023七年级上·全国·专题练习）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．a<-2 B．b<1 C．a>b D．b<2 【答案】D 【分析】根据数轴上的点的特征即可判断. 【详解】解：点a在-2的右边，故a＞-2，故A选项错误； 点b在1的右边，故b＞1，故B选项错误； b在a的右边，故b＞a，故C选项错误； b在2的左边，故b＜2，故D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键. 5．（22-23七年级上·陕西咸阳·阶段练习）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了数轴上点的移动，由题意得点表示数为，点表示数为，点表示数为，熟知数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得点表示的数为， ∵点到、两个点的距离相等， ∴， 解得：， 故选：． 6．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在，0，,，2023，，0.26，11.3中，非负整数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案． 【详解】解：，0，2023是非负整数，共3个， 故答案为：3． 7．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）在，，0，3.14%，-4.733…，100，，7151551…中，正数是 ，分数是 ． 【答案】 【分析】根据正数、分数的定义即可得． 【详解】正数是， 因为分数都是有理数， 所以分数是， 故答案为：；． 【点睛】本题考查了正数、分数，掌握理解定义是解题关键． 8．（23-24七年级上·福建福州·期末）已知数轴上，，，四点所表示的数分别为，，，，，其中有两个数的和为0，且满足．若，，．则这四个数中互为相反数的是 ． 【答案】，或， 【分析】 本题考查了有理数与数轴的对应关系以及相反数的概念，正确运用分类讨论思想是解决本题的关键． 【详解】 解：因为这四个数中有两个数和为0，则一定有一个负数和一个正数，因为， 则这四个数为两个正数和两个负数，即， 若和互为相反数，因为，则，， 若和互为相反数，因为，， 所以，则，，， 若和互为相反数，因为，， 所以，则，，，（舍去）． 故答案为：，或，． 9．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数为，点是数轴上的动点．点沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点到点的距离与点到点的距离比是时，点表示的数是 ．    【答案】或/或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离，可分为“当点运动到点右侧时”和“当点运动到点左侧时”两种情况讨论，根据“点到点的距离与点到点的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵在点运动过程中，点到点的距离与点到点的距离比是， ∴， 当点运动到点右侧时，， ∴此时点表示的数是； 当点运动到点左侧时，， ∴此时点表示的数是， 综上所述，点表示的数是或， 故答案为：或． 10．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为-10，点B表示的数为30，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点M、点N同时出发，经过 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 【答案】2或10 【分析】设时间为t秒，表示出点M、点N所表示的数，进而分情况表示他们到原点的距离，列方程求解即可． 【详解】解：经过t秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，则点M所表示的数为()，点N所表示的数为2t． ①当点O是M、N的中点时，有，解得，． ②当点M与点N重合时，有，解得，． 故或10． 故答案为2或10． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，用两点在数轴上所表示的数，来表示两点之间的距离，列方程求解即可，解题关键是利用数形结合的思想进行转化． 11．（2023七年级上·浙江·专题练习）画出数轴并表示下列有理数：1.5，﹣2，2，﹣2.5，，，0． 【答案】见解析 【分析】直接在数轴上表示出相关有理数即可即可． 【详解】解：以0为原点，作一条以右方向为正方向的数轴， 各点的位置如图： 【点睛】本题主要考查了数轴、点在数轴上位置的确定等知识点，正确画出数轴以及在数轴上表示数是解答本题的关键． 12．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）用数轴上的点表示下列各有理数，并比较大小． ，，，， 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数、利用数轴表示数的大小，先将各数表示在数轴上，再结合数轴即可得出答案． 【详解】解：将各数表示在数轴上如图所示： ， 由图可得：． 13．（23-24六年级上·山东威海·期中）请把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正数集合：{ …} 整数集合：{ …} 正分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正数、负数、整数、分数、非负整数的定义进行分类即可． 【详解】解：正数集合：，，，，，； 整数集合：，，，； 正分数集合：，，，； 非负整数集合：，． 14．（24-25七年级上·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？ 探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）； 探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识． 探索1：根据时间路程速度，即可求解； 探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解； 探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解． 【详解】解：探索1：点表示，点表示， ，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， 在段速度为个单位长度/秒， 从点运动至点的时间为：（秒）； 探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， 在段速度为个单位长度/秒， 由探索1可得：在段运动时间为：秒， ， 点表示， 表示的数为：； 探索3：设秒后， ①当在上时， ， ， ， ， ， ， （秒）； ②当在上时， ， ， ， ， （秒）． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 15．（23-24七年级上·陕西西安·期中）数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律： ①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离； ②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为． 请借用数轴和以上规律解决下列问题： 如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______； (2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示） (3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？ (4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 (4)或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案； （2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案； （3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可； （4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为， 故答案为：16，； （2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为， 点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ． 故答案为：，； （3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵P、Q两点相距5个单位长度， ∴， 解得：或， ∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度； （4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得． ②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间， 当P、Q两点重合时，，即， ∴此时， 由题意得， 解得； ③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时， 由题意得， 解得； ④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时， 由题意得， 解得不合题意，舍去， 综上所述：或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$