精品解析：浙江省湖州市德清县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

浙江省湖州市德清县2023-2024学年八年级第二学期数学期末考试试卷 友情提示： 1．全卷分卷I与卷II两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分． 1. 要使二次根式有意义，则x的值可以为 （ ） A. B. 4 C. 2 D. 0 2. 未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 若用反证法证明命题“若或，则”时，应假设（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四位选手各次射击成绩的平均数和方差如表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 平均数环 方差环 则这四人中成绩好且发挥最稳定的是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞1 B. k＜1 C. k＜1且k≠0 D. k≥1 8. 已知点，在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状变化依次为（ ） A. 平行四边形正方形平行四边形矩形 B. 平行四边形正方形矩形菱形 C. 平行四边形矩形平行四边形菱形 D. 平行四边形菱形正方形矩形 10. 如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 如图两处被池塘阻隔，为测量两地的距离，在地面上选一点，连结，分别取的中点．测得，则两地的距离为_________． 13. 已知是方程的根，则代数式的值为_________． 14. 如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是_________．(只要写出一个条件即可) 15. 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长_________． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连结AB，以AB为一边作正方形ABCD，使点在第一象限且落在反比例函数的图象上，设点的横坐标为，点的横坐标为，则_________． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2） 19. 如图，一次函数图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 20. 为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对名员工当月的销售额进行统计和分析． 数据收集：下表为名员工当月的销售额（单位：万元） 数据整理： 销售额/万元 频数 数据分析： 平均数 众数 中位数 7.44 7.7 问题解决： （1）填空：___________，___________； （2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有___________名员工获得奖励； （3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励：员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是万元，比平均数万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释． 21. 如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）直接写出边的长=___________； （2）在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使． 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 23. 在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 24. 如图1，将矩形纸片放置在如图所示平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，当点与点重合时，求点的坐标； （3）如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省湖州市德清县2023-2024学年八年级第二学期数学期末考试试卷 友情提示： 1．全卷分卷I与卷II两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分． 2．试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效． 3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！ 卷I 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分． 1. 要使二次根式有意义，则x的值可以为 （ ） A. B. 4 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】若二次根式有意义，则被开方数是非负数， 即， 解得， 所以B选项满足条件， 故选B． 2. 未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟练掌握这两个概念是解题的关键． 3. 下列各点中，不在反比例函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用反比例函数图象上点的坐标特点进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴xy＝12， A．（3，−4），此时xy＝3×（−4）＝−12，符合题意； B、（3，4），此时xy＝3×4＝12，不合题意； C、（2，6），此时xy＝2×6＝12，不合题意； D、（−2，−6），此时xy＝−2×（−6）＝12，不合题意； 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点坐标特征，属于基础题. 4. 若用反证法证明命题“若或，则”时，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答． 【详解】解：由反证法知第一步应假设该命题的结论“”的反面成立，即， 故选A． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 5. 甲、乙、丙、丁四位选手各次射击成绩的平均数和方差如表所示： 选手 甲 乙 丙 丁 平均数环 方差环 则这四人中成绩好且发挥最稳定的是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：因为乙、丙的平均数高于甲、丁， 所以乙、丙的成绩较好， 又因为丙的方差比较乙小， 所以这四人中成绩好且发挥最稳定的是丙． 故选：C． 【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质求解即可． 详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故错误，不符合题意； 故选：B． 7. 若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k＞1 B. k＜1 C. k＜1且k≠0 D. k≥1 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况，判别式即可得到答案. 【详解】解：由题意知，△=4﹣4k＞0， 解得：k＜1． 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式. 8. 已知点，在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．根据已知条件可知，函数在同一象限内随的增大而减小，得，即可求得m的取值范围． 【详解】∵点，在反比例函数的图象上， 且当时，有， ∴， 解得：． 故选：C． 9. 如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为（ ） A. 平行四边形正方形平行四边形矩形 B. 平行四边形正方形矩形菱形 C. 平行四边形矩形平行四边形菱形 D. 平行四边形菱形正方形矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可得四边形形状的变化情况． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是菱形． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，根据对角线的情况熟练判定各种四边形的形状是解题的关键． 10. 如图，矩形ABCD中，分别是边AD，BC的中点，于P，DP的延长线交AB于．下列结论：①；②；③．其中结论正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据分别证明、，再利用勾股定理求出，逐个选项判断即可． 【详解】解：连接GF， ∵矩形， ∴，，，， ∵，是边的中点， ∴，故①正确； ∵分别是边，的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴（） ∴，即，故②正确； ∵，，， ∴（） ∴， 设，则，， 在中，， ∴解得，即，故③正确； 综上所述，正确的是①②③ 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上中线、勾股定理、全等三角形的性质与判定，涉及知识点比较多，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 卷II 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以用平方差公式计算，结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【详解】解：． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式，． 12. 如图两处被池塘阻隔，为测量两地的距离，在地面上选一点，连结，分别取的中点．测得，则两地的距离为_________． 【答案】10 【解析】 分析】本题考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 13. 已知是方程的根，则代数式的值为_________． 【答案】2025 【解析】 【分析】此题考查了代数式的值、方程根的定义，整体代入是解题的关键．由一元二次方程根的定义得到，再整体代入代数式即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连结，，，要使四边形成为矩形，可添加一个条件是_________．(只要写出一个条件即可) 【答案】（或或等） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形为平行四边形是解题的关键．先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 又， ，且， 四边形为平行四边形， 添加， 矩形； 添加， ， 为矩形； 添加， ， 为矩形． 故答案为：（或或） 15. 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如图，在矩形中，，“筝形”的顶点是的中点，点分别在上，且，则对角线的长_________． 【答案】或 【解析】 【分析】①根据矩形的判定与性质可知，，再根据全等三角形的判定与性质解答即可； ②根据矩形的判定与性质可知，再根据勾股定理可知即可解答． 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键． 【详解】解：①如图，，， ∵点是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，，， 过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为或． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连结AB，以AB为一边作正方形ABCD，使点在第一象限且落在反比例函数的图象上，设点的横坐标为，点的横坐标为，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，得到点D的坐标，再根据点D在反比例函数图像上，点D的横坐标为n，利用坐标相等即可求解． 【详解】解：将代入中，得， 点B的坐标是， 作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示， 四边形正方形， ，， ，， ， 又，， ， ，， ， 点D的坐标是 ， 点D在反比例函数图像上，点D的横坐标为n， 点D的坐标是， ，， ，， ， ， ． 故答案为：2． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算、二次根式性质以及乘法和加法的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，再合并同类二次根式，即可作答． （2）先根据二次根式性质进行化简，再运算乘法，即可作答． 【小问1详解】 解： = = 【小问2详解】 解： 18. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）利用因式分解法将方程变形为即可解答； （2）利用一元二次方程的根的判别式可知方程有两个不相等的实数根，再利用公式法解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴，， 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A的坐标，再把点A的坐标代入，求出k的值即可； （2）求出点B的坐标，结合图象，找出一次函数图象高于反比例函数图象时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把代入得， 将代入，得， 解得，， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得：， ， 由图可知：当时，或． 20. 为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对名员工当月的销售额进行统计和分析． 数据收集：下表为名员工当月的销售额（单位：万元） 数据整理： 销售额/万元 频数 数据分析： 平均数 众数 中位数 7.44 7.7 问题解决： （1）填空：___________，___________； （2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有___________名员工获得奖励； （3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励：员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是万元，比平均数万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释． 【答案】（1）， （2） （3）员工甲不能拿到奖励 【解析】 【分析】（1）根据所给数据及众数的定义求解； （2）根据频数分布表求解； （3）利用中位数进行决策． 【小问1详解】 解：， ∵个数据中，出现了次，是出现次数最多的， ∴众数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：月销售额不低于万元的有：（人）， 故答案为：； 【小问3详解】 解：名员工的销售额的中位数为万元， 名员工的销售额有一半的人，即人超过万元， 公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在万元及以上的人才能获得，而员工甲的销售额是万元，低于万元， 员工甲不能拿到奖励 【点睛】本题考查频数分布表，中位数，利用中位数做决策等，解题的关键是掌握中位数的求法及意义． 21. 如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． （1）直接写出边的长=___________； （2）在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，格点作图． （1）根据勾股定理即可求解； （2）先根据平行四边形的对边平行且相等的性质，确定点D，连接，再连接点E和平行 对角线交点并延长，交于点F． 【小问1详解】 解：根据勾股定理可得：， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）26，12 （2）剪去正方形的边长为 （3）剪去的正方形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； 【小问2详解】 解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问3详解】 解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 23. 在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． （1）如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； （2）如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； （3）当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立，详见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （2）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （3）根据菱形的性质及直角三角形可知，再根据全等三角形的判定与性质可知，最后利用直角三角形的性质 及勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为； 【小问2详解】 解：仍然成立，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，，， ∵是等边三角形 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： 当点在的延长线上时，连接交于点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，平分，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键． 24. 如图1，将矩形纸片放置在如图所示的平面直角坐标系内，点与坐标原点重合，点的坐标为，折叠纸片使点落在轴上的点处，折痕为，过点作轴的平行线交于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）如图2，当点与点重合时，求点的坐标； （3）如图3，在(2)的条件下，点是线段上一动点，点是线段上一动点，过点的反比例函数的图象与线段相交于点，连接，，，，当四边形的周长最小时，求点，点的坐标． 【答案】（1）详见解析 （2） （3）点的坐标为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由题意得出，推出，由折叠的性质得出，，从而得出，推出四边形是平行四边形，结合，即可得证； （2）由折叠可得，由勾股定理可得，推出，设，则，，再由勾股定理计算即可得解； （3）由(2)得坐标为，设点坐标为，根据反比例函数的性质得出坐标为，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，，连结，，得出，，四边形的周长，推出当四点共线时四边形的周长最小，待定系数法求出直线的解析式为：，即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，且轴 折叠纸片使点落在轴上点处，折痕为， ，， ∴ 四边形是平行四边形 又 四边形为菱形． 【小问2详解】 解：点与点重合， 设，则，， 在中，，即， 解得， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：由(2)得坐标为， 设点坐标为， 点都在反比例函数的图象上， ，， 即：， 解得， 坐标为， 作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，则，， 连结， ，， 四边形的周长， 当四点共线时四边形的周长最小， 设直线的解析式为，把，，代入，得 ， 解得， 直线的解析式为：， 令，即，得， 点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定定理、勾股定理、反比例函数的图象与性质、一次函数的应用、坐标与图形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$