第二章 平面解析几何（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

第二章 平面解析几何（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·湖北武汉·期中）若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，利用垂径定理可求得，继而求出圆的半径，写出圆的方程. 【详解】    如图，过点作于，依题意，,因,故， 从而，圆的半径为：, 故所求圆的方程为：，即. 故选：A. 2．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是 D．过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【分析】求解直线的倾斜角判断A，B；点到直线的距离判断C；求解直线方程判断D. 【详解】对于，直线的斜率为，倾斜角为，A错误； 对于，直线的倾斜角为的倾斜角为，两直线不垂直，B错误； 对于，点到直线的距离为，C错误； 对于，设与直线平行的直线方程为，因为它过， 所以 过与直线平行的直线方程是，D正确， 故选：D． 3．（23-24高二下·吉林·期中）若圆M：与双曲线C：的渐近线相切，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线的公式写出直线方程，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列出方程求解. 【详解】双曲线C的渐近线方程为，不妨取， 点M到直线的距离为， 因为圆M与双曲线C的渐近线相切，所以． 故选：A 4．（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长． 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：   ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A 5．（23-24高二上·江苏常州·期中）过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令直线为，根据已知及基本不等式可得，确定等号成立条件得，即可写出直线方程. 【详解】由题设，令直线为， 则，即， 当且仅当时等号成立，此时的面积最小为， 所以直线方程为. 故选：A 6．（21-22高二上·广东湛江·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】圆的圆心，半径，由圆上恰有三点到直线的距离为2，得到圆心到直线的距离为1，由此能出的值． 【详解】由得，所以圆心，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故选：C． 7．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 8．（23-24高二下·上海·期中）在学习推理和证明的课堂上，王老师给出两个曲线方程，问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下列是两位同学的回答：甲：曲线关于对称；曲线关于原点对称；乙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积.则（    ） A．甲､乙两人都对 B．甲､乙两人都不对； C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对. 【答案】C 【分析】结合对称性判断甲的正确性；通过对比和与坐标轴在第一象限围成的图形面积来判断乙的正确性. 【详解】对于甲：交换方程中和的位置得，所以曲线关于对称， 和两个点都满足方程，所以曲线关于原点对称，甲回答正确. 对于乙：直线与坐标轴在第一象限围成的图形面积为， ，， 在第一象限，直线与曲线都满足， ， ， 所以在第一象限，直线的图象在曲线的图象上方， 所以正确. 圆与坐标轴在第一象限围成的图形面积为， 在第一象限，曲线与曲线都满足， ， ， ， 所以在第一象限，曲线的图象在曲线的图象下方， 所以，乙回答错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据“对称椭圆”的定义可知，然后逐个分析判断. 【详解】因为新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点， 所以，即， 对于A，，则，所以，所以A正确， 对于B，，则，所以，所以B错误， 对于C，，则，所以，所以C正确， 对于D，，则，所以，所以D错误， 故选：AC 10．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 【答案】ABC 【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 11．（23-24高二下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 【答案】BC 【分析】由题意设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，得，再表示出，则可表示出，然后逐个分析判断即可. 【详解】由题意可知，抛物线的焦点，准线为，直线的斜率不为零， 设直线为，， 由，得， 因为， 所以， 所以， 所以， 对于A，因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4，所以A错误， 对于B，因为线段的中点为，，则 到轴的距离为，而以线段为直径的圆的半径为， 所以圆心到轴的距离等于圆的半径，所以以线段为直径的圆与轴相切，所以B正确， 对于C，因为 ，所以C正确， 对于D，因为 ，所以D错误， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·上海·期中）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由直线恒过定点，分别计算，，结合图象即可得的范围. 【详解】 直线经过定点，如图所示， 则， 因为直线与连接两点的线段相交， 所以由图可知，. 故答案为：. 13．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 【答案】5 【分析】利用抛物线的定义转化为点到线的距离问题求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 则的最小值为到准线的距离，即为. 故答案为：.    14．（23-24高二下·广东茂名·期中）过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】由直线和圆相切，求得直线的斜率，求得直线的方程，与切线方程联立，可得的坐标，联立切线方程和直线，求得的坐标，再由，可得，，的关系，由离心率公式，可得所求值． 【详解】如图，由，设直线的方程为，， 由直线与圆相切，可得， 解得，即直线的方程为， 由，可得直线的方程为， 与切线的方程联立，可得，， 由，可得，， 若，则， 化为，即， 即为， 则． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定，然后通过两点的坐标确定方程； （2）先确定直线的斜率，然后通过点的坐标和斜率确定方程. 【详解】（1）由于，，故，而，故的方程是，即. （2）由于直线的斜率是，且不在直线上. 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 16．（15分）（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 17．（15分）（23-24高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 【答案】(1)在以为焦点的双曲线右支上， (2)炮击的方位角为北偏东. 【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知在以、为焦点的双曲线右支上，即可求出轨迹方程； （2）首先求出点坐标，依题意点在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，再联立（1）中轨迹方程，求出点坐标，即可求出，从而确定方向. 【详解】（1）依题意，， 又，即， 故在以、为焦点的双曲线右支上， 设双曲线方程为，则且， 所以，所以双曲线方程为. （2）因为且，所以，， 所以， 因为，所以点在线段的垂直平分线上， 因为，中点， 所以直线的方程为， 由 （1） 知点还在上， 由，解得（负值已舍去），所以， 因此，则，所以， 故炮击的方位角为的北偏东.    18．（17分）（23-24高二下·北京延庆·期中）已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点坐标，即可得椭圆的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合韦达定理探讨点的纵坐标的关系即可得解. 【详解】（1）直线与坐标轴的两个交点为，而，则，， 所以椭圆的方程为. （2）设过点的直线为，由题意直线斜率存在， 设方程为，即， 由，消去y得， 整理得， 由 ，得， 设，则， ， 将代入得，直线的方程为， 令得， 则 因此点是线段的中点，所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19．（17分）（23-24高二上·浙江台州·期中）已知点P是抛物线：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点.    (1)写出抛物线焦点及准线方程； (2)求弦AB长的最小值； (3)若直线AB交椭圆：于C、D两点，、分别是△PAB、△PCD的面积，求的最小值. 【答案】(1)焦点，准线方程为 (2)4 (3). 【分析】（1）由抛物线方程直接得到参数，继而可得抛物线焦点及准线方程； （2）先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为，然后设、，由同一法可得直线的方程为，与抛物线方程联立用弦长公式求出最值即可； （3）将面积比转化为弦长比，然后求出直线与椭圆的弦长，构造关于参数的函数求最值即可. 【详解】（1）因为抛物线：， 所以由题意得， 所以，焦点，准线方程为. （2）设点在抛物线上，则， 联立，消去x得，，即， 所以，关于y的方程有两个相等的实根，此时， 因此，直线与抛物线相切，且切点为. 设点、，， 则以A为切点的切线方程为， 同理以B为切点的切线方程为， ∵两条切线均过点， ∴，即， 所以，点A、B的坐标满足直线的方程， 所以，直线AB的方程为， 在直线AB的方程中，令，可得，所以，直线AB过定点； 由题意可知，直线AB不与x轴重合，可设直线AB的方程为， 联立，可得， 恒成立， 由韦达定理得，， 由弦长公式可得， 当时，弦AB长的最小值为4. （3）设点P到直线AB的距离为d，则, 设、， 由，得， 恒成立. 由韦达定理得，， 由弦长公式得. ∴， 当且仅当时，等号成立. 因此，的最小值为. 【点睛】方法法点睛：求切点弦，一般可从同构出发利用同一法求解。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 平面解析几何（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·湖北武汉·期中）若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·云南昆明·期中）已知直线：，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．若直线：，则 C．点到直线的距离是 D．过与直线平行的直线方程是 3．（23-24高二下·吉林·期中）若圆M：与双曲线C：的渐近线相切，则（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 5．（23-24高二上·江苏常州·期中）过点的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当的面积最小时，l的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高二上·广东湛江·期中）若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 7．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 8．（23-24高二下·上海·期中）在学习推理和证明的课堂上，王老师给出两个曲线方程，问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下列是两位同学的回答：甲：曲线关于对称；曲线关于原点对称；乙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积.则（    ） A．甲､乙两人都对 B．甲､乙两人都不对； C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）若椭圆绕其对称中心旋转，所得新椭圆的两个顶点恰好是旋转前椭圆的两个焦点，就称该椭圆为“对称椭圆”．下列是“对称椭圆”的方程有（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知圆，圆，则下列结论正确的是（    ） A．若和外离，则或 B．若和外切，则 C．当时，有且仅有一条直线与和均相切 D．当时，和内含 11．（23-24高二下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，过拋物线的焦点作直线交抛物线于两点，则（    ） A．的最小值为2 B．以线段为直径的圆与轴相切 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·上海·期中）已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是 . 13．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 . 14．（23-24高二下·广东茂名·期中）过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（23-24高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 16．（15分）（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 17．（15分）（23-24高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 18．（17分）（23-24高二下·北京延庆·期中）已知椭圆经过直线与坐标轴的两个交点. (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆的右顶点，过点的直线交椭圆于点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，求的值. 19．（17分）（23-24高二上·浙江台州·期中）已知点P是抛物线：的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB，其中A、B为切点.    (1)写出抛物线焦点及准线方程； (2)求弦AB长的最小值； (3)若直线AB交椭圆：于C、D两点，、分别是△PAB、△PCD的面积，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$