集合小专题检测卷-2025届高三数学一轮复习

集合小专题-2025年高考数学常考易错一轮复习检测卷 一、单选题 1．已知集合和集合满足：有2个元素，有6个元素，且集合的元素个数比集合的元素个数多2个，则集合的所有子集个数比集合的所有子集个数多（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则＝（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．设集合，则（    ） A．， B．， C．当且仅当时， D．当且仅当时， 二、多选题 9．已知集合，若，则的取值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．下列命题正确的是（    ） A． B．集合的真子集个数是4 C．不等式的解集是 D．的解集是或 11．已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意，，均有，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（    ）． A． B． C． D． 三、填空题 12．设集合，，，则 ． 13．若，则实数的取值范围为 ． 14．记表示k个元素的有限集，表示非空数集E中所有元素的和，若集合，则 ，若，则m的最小值为 . 四、解答题 15．已知集合，集合，全集为. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．已知函数的定义域为M． (1)若，求实数a的取值范围； (2)求． 17．已知函数. （1）当时，若的最小值为，求实数的值； （2）当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围. 18．已知函数，其中，是非空数集且.设，. （1）若，，求； （2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由； （3）若且，，单调递增，求集合，. 19．设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若为集合的“相关数”，证明：； (3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】设集合和集合的元素个数分别为，根据条件列方程求出，然后根据集合子集个数的公式求出集合和集合的所有子集个数，然后做差即可. 【详解】设集合和集合的元素个数分别为， 则由有2个元素，有6个元素可知，． 即①． 又因为集合的元素个数比集合的元素个数多2个， 所以②． 联立①②可得，，即集合和集合的元素个数分别为5和3， 所以集合的所有子集个数和集合的所有子集个数分别为，， 所以， 故选：C． 2．C 【分析】求对数复合函数的定义域求集合A，再由集合交运算求结果. 【详解】由对数的函数性质可得，且， 所以. 故选：C 3．C 【分析】先利用指数函数的性质求出集合，解一元二次不等式求出集合，再求两集合的并集. 【详解】由，得，解得， 所以， 由，得，解得， 所以， 所以， 故选：C 4．A 【分析】方法一：由条件可得，再将集合化简，列出不等式，即可得到结果；方法二：将集合化简，再将代入计算检验，即可得到结果. 【详解】方法一：由，得． 集合，， 且，解得． 故选：A． 方法二：集合，，． 当时，，此时满足，故排除选项B，D； 当时，，此时不满足，故排除选项C． 故选：A． 5．D 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，所以． 当时，，则，所以． 故选：D． 6．A 【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为，所以， 则，故， 而， 所以. 故选：A. 7．D 【分析】先求解出集合，再分别验证四个选项即可. 【详解】集合，，或，， ，， 所以，故选项A不正确； ，故选项B不正确； 或，故选项C不正确； ，故选项D正确； 故选：D. 8．D 【分析】利用取值判断，再反判断点是否在集合中. 【详解】若，代入集合可得，所以，故AB错误； 所以由原命题的逆否命题同真同假可知，当且仅当时，，故C错，D正确； 故选：D 9．AB 【分析】根据并集的结果可得，即可得到的取值； 【详解】解：因为，所以，所以或； 故选：AB 10．AC 【分析】A. 利用集合相等判断；B.根据集合的真子集定义判断；C.利用一元二次不等式的解法判断；D.利用分式不等式的解法判断. 【详解】A. ，故正确； B.集合的真子集个数是3，故错误； C.不等式的解集是，故正确； D. 的解集是或， 故选：AC 11．ACD 【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答. 【详解】设，，，则C为线段AB上一点， 因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内， 四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：            A                                B            C                                D 观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，ACD符合题意. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：涉及符合某个条件的点构成的平面区域问题，理解不等式变为对应等式时的曲线方程的意义， 再作出方程表示的曲线，作图时一定要分清虚实线、准确确定区域. 12． 【分析】根据集合的交运算以及补集定义即可求解. 【详解】，， 故， 故答案为： 13． 【分析】将原问题等价转换为对于任意恒成立，只需求出不等式右边代数式的最小值即可得解. 【详解】若，则对于任意恒成立， 即对于任意恒成立， 根据二次函数性质可知，当时，， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14． 21 【分析】第一空，根据集合新定义可写出的所有可能情况，即可求得答案；第二空，由题意求出，利用等差数列的求和公式列不等式，结合解一元二次不等式求出m的范围，即可求得答案. 【详解】当时，表示3个元素的有限集， 由可知或或或， 故； 由题意知， 故由可得，即， 解得或（舍去）， 结合，故m的最小值为21， 故答案为：；21 【点睛】关键点睛：本题考查了集合新定义问题，解答本题的关键在于理解题中所给新定义的含义，明确其内容，进而结合解不等式，即可求解. 15．(1)或. (2) 【分析】（1）化简集合，根据补集与交集的运算性质即可得答案； （2）根据题意可得 ，结合一元二次不等式的解集讨论集合的取值情况即可得实数的取值范围. 【详解】（1）由题知：当时， ， 又 ， 或. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则 ， ， ①当时，集合，满足题意； ②当时，集合， ，则，又时，符合 ， 可得； ③当时，集合， ，则，又时，符合 ， 可得. 综上，实数的取值范围为. 16．(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据绝对值的性质，结合二次根式的性质进行求解即可； （2）根据绝对值的性质、交集的定义， 结合之间的大小关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1） 所以的最小值为，因此， 所以； （2）因为，所以当时，， ； 当时，，此时； ②当时，，此时． 17．（1）或；（2）. 【分析】（1）根据绝对值的几何意义有，结合已知有，即可求a的值； （2）由题意，可得求x的范围，由解集包含列不等式组，求的范围. 【详解】（1）当时，， ∵的最小值为， ∴，得或； （2）当时，，即， 由题意，当时不等式成立，则原式等价于，即， ∵不等式的解集包含， ∴且，即， 故，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛： （1）绝对值不等关系的应用，求参数值； （2）利用不等式解集的包含关系转化不等式，求参数范围. 18．（1）；（2）存在，3；（3），，其中或，，其中或，，或， 【解析】（1）依题意分别表示时的值域，结合的图像和性质和二次函数的图像和性质分别求出此分段函数两支上的值域，即可得出结论； （2）抓住线索，逐层深入，先判断，得的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定的值； （3）根据函数的单调性，可得，再证明在上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合. 【详解】（1）， ， ； （2）若则，不合题意， 从而， ，得. 若，则， 的原象且， ，矛盾. ，此时可取，满足题意. （3）是单调递增函数，对任意， ，同理可得：. 若存在，使得则， 于是，记， ，同理可知，由， 得， ， 对于任意，取 中的自然数，则 综上所述，满足条件的必有如下表示： ，其中， 或，其中， 或，或. 【点睛】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题和解决问题的能力，属于较难题. 19．(1)5不是集合的“相关数”，6是集合的“相关数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据相关数的定义判断，即可求解； （2）根据相关数的定义，得到时，一定不是集合的“相关数”，得到，从而证明结论； （3）根据，将集合的元素分成组，对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和为，从而求出的最小值． 【详解】（1）解：当时，， ①对于的含有5个元素的子集， 因为，所以5不是集合的“相关数”； ②的含有6个元素的子集只有， 因为，所以6是集合的“相关数”． （2）证明：考察集合的含有个元素的子集， 中任意4个元素之和一定不小于， 所以一定不是集合的“相关数”； 所以当时，一定不是集合的“相关数”， 因此若为集合的“相关数”，必有， 即若为集合的“相关数”，必有. （3）解：由（2）得， 先将集合的元素分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 再将集合的元素剔除和后，分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 这一组与上述三组中至少一组无相同元素， 不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和， 所以集合的“相关数”的最小值为. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$