精品解析：广西壮族自治区桂林市宝贤中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题

桂林市宝贤中学2022年秋季学期初二数学10月集中训练 一．选择题（共12小题，36分） 1. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 无法确定 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　) A. 1，2，3.5 B. 4，5，9 C. 20，15，8 D. 5，15，8 3. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的倍 C. 缩小为原来的倍 D. 不变 4. 某种冠状病毒的直径120纳米，1纳米米，则这种冠状病毒的直径（单位是米）用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 两点之间线段最短 C. 对顶角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 6. 下列约分中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 某市为处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务. 设原计划每天铺设管道x米，则可得方程( ) A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图：中，点在上，现有下列四个命题：①若，则．②若，，则，．③若，，则，．④若，，则，．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，内有一点D，且，若，则的大小是( ) A. B. C. D. 12. 如图，，且和，则（ ） A. B. C. D. 不能确定，具体由三角形形状确定 二．填空题（共6小题，18分） 13. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则该等腰三角形的周长是 _______． 14. 命题“如果互为相反数，那么”的逆命题为_________________． 15. 已知a+b＝8，ab＝12，则＝_____． 16. 已知，则分式的值为______________． 17. 等腰三角形两个内角度数之比为，这个等腰三角形底角的度数为______________． 变式：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形的顶角度数为_______________． 18. 如图，在第一个中，，，在AB上取一点C，延长到，使得，得到第二个；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，则第2024个三角形中，以点为顶点的等腰三角形的底角的度数为______． 三．解答题（共8小题） 19. 解关于的分式方程：． 20. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 21. 计算： （1）； （2）． 22. 已知，，分别是的三边长，且，满足关系式． （1）求a，b，c的值； （2）判断的形状？并说明理由． 23. 如图，中，，，平分，于D，，交于F，求： （1）的度数； （2）当平分时，，若，，，请用含m，n，a的代数式表示的长． 24. 关于x的方程． （1）m为何值时，方程有增根？ （2）m为何值时，方程无解？ 25. 某市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2万元和0.7万元．试问： （1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？ （2）要使整个工程费用不超过225万元，则乙公司最少应施工多少天？ 26. 如图，已知中，，，，P、Q是边上两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求的面积； （2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 桂林市宝贤中学2022年秋季学期初二数学10月集中训练 一．选择题（共12小题，36分） 1. 若分式的值为0，则的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件为分式的分子为0，分母不为0是解题的关键． 2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　) A. 1，2，3.5 B. 4，5，9 C. 20，15，8 D. 5，15，8 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系即：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，利用排除法求解． 【详解】解：A、∵1+2=3＜3.5，∴不能组成三角形； B、∵4+5=9，∴不能组成三角形； C、20、15、8，能组成三角形； D、5+8=13＜15，不能组成三角形． 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系性质，解题关键是熟练掌握三边关系定理. 3. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的倍 C. 缩小为原来的倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的性质求解即可． 【详解】解：∵分式中的x和y都扩大3倍， ∴分式变为， 故分式的值不变， 故选：D． 【点睛】本题考查分式的性质，熟知分式的性质是解答的关键． 4. 某种冠状病毒的直径120纳米，1纳米米，则这种冠状病毒的直径（单位是米）用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】120纳米=120×10-9米=1.2×10-7米， 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 两点之间线段最短 C 对顶角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题的判定，平行线的判定以及性质，垂线段最短以及对顶角相等知识．根据平行线的判定以及性质，垂线段最短以及对顶角相等等知识一一判定即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是真命题，故该选项不符合题意； B、两点之间线段最短，故原命题为真命题，故该选项不符合题意； C、对顶角相等，故原命题是真命题，故该选项不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 下列约分中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了约分．约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数就继续约去，据此判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，左边最简，不能约分，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，左边最简，不能约分，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． 8. 某市为处理污水需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务. 设原计划每天铺设管道x米，则可得方程( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原计划每天铺设管道x米，根据题中等量关系，即原计划用的时间=实际用的时间+20，列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道x米， 则原计划用的时间为：，实际用的时间为：， 所列方程为： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用题，能根据题意准确列出方程是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【详解】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=72°，△ABC是等腰三角形， ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD=∠DCB=36°， ∴△ACD是等腰三角形， 在△BDC中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BD=BC=BE， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠BDE=72°，∠ADE=36°， ∴△ADE是等腰三角形． ∴图中等腰三角形共有共5个． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形的内角和、外角和，平角相关知识． 10. 如图：中，点在上，现有下列四个命题：①若，则．②若，，则，．③若，，则，．④若，，则，．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．也考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质对①进行判断；根据等腰三角形的“三线合一”对②③④进行判断． 【详解】解：若，则，所以①正确； 若，，即为顶角的平分线，则，，所以②正确； 若，，即为底边上的中线，则，，所以③正确； 若，，即为底边上的高，则，，所以④正确． 故选：D． 11. 如图，内有一点D，且，若，则的大小是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果延长BD交AC于E，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，所以，又，根据等腰三角形等边对等角的性质得出，进而得出结果． 【详解】延长BD交AC于E． ， ． 又， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 12. 如图，，且和，则（ ） A. B. C. D. 不能确定，具体由三角形的形状确定 【答案】B 【解析】 【分析】先在△ABC中，求出∠ABC和∠ACB的和，再利用∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，求出∠DBC与∠DCB的和，从而得出∠BDC=140°，再根据△BCD中，点E就是三角形三个内角平分线的交点，由此求得结论即可． 【详解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°， ∵∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6， ∴∠DBC+∠DCB=40°， ∴∠BDC=180°-40°=140°， ∵∠2=∠3，∠5=∠6， ∴DE平分∠BDC， ∴∠BDE=∠BDC=70°． 故选B． 【点睛】此题考查三角形的内角和，角平分线的性质，三角形中三条内角的平分线交于一点是解本题的关键． 二．填空题（共6小题，18分） 13. 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和6，则该等腰三角形的周长是 _______． 【答案】14 【解析】 【分析】分2为腰长，6为腰长结合三角形三边的关系进行求解即可 【详解】解：当腰为2时，， ∴2、2、6不能组成三角形； 当腰为6时，， ∴2、6、6能组成三角形， 该三角形的周长． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 14. 命题“如果互为相反数，那么”逆命题为_________________． 【答案】如果，那么互为相反数 【解析】 【分析】把原命题的条件作为逆命题的结论，把原命题的结论作为逆命题的条件，即可． 【详解】“如果互为相反数，那么”的逆命题为：“如果，那么互为相反数”． 故答案是：如果，那么互为相反数． 【点睛】本题主要考查逆命题的定义，掌握逆命题与原命题的关系，是解题的关键． 15. 已知a+b＝8，ab＝12，则＝_____． 【答案】8 【解析】 【分析】利用完全平方公式的变式将原式进行变形，再代值计算即可. 【详解】解：当a+b＝8、ab＝12时， 原式＝， ＝， ＝ ， ＝ ， ＝8， 故答案为8． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，有效进行数式变形是解题关键. 16. 已知，则分式的值为______________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据分式的加减将已知等式变形为，代入分式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减，正确的计算是解题的关键． 17. 等腰三角形两个内角度数之比为，这个等腰三角形底角的度数为______________． 变式：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形的顶角度数为_______________． 【答案】 ①. 或 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理． 依题意，根据等腰三角形有两个角相等进行分类讨论，再根据三角形内角和定理即可求解． 变式：根据等腰三角形有两个角相等进行分类讨论，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则底角为； 当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则底角； 故答案为：或； 变式：当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则顶角为； 当这个等腰三角形的三个内角的度数比为时， 则顶角； 故答案为：或． 18. 如图，在第一个中，，，在AB上取一点C，延长到，使得，得到第二个；在上取一点D，延长到，使得；…，按此做法进行下去，则第2024个三角形中，以点为顶点的等腰三角形的底角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，本题根据题意得出，的度数，再总结规律是解答本题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴； 同理可得， ∴点为顶点的等腰三角形的底角的度数为， ∴点为顶点的等腰三角形的底角的度数为． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 19. 解关于的分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】方程两边同时乘以(3+x)(3-x)，化为整式方程后进行求解，然后进行检验即可得. 【详解】方程两边同时乘以(3+x)(3-x)，得 9(3-x)=6(3+x)， 解得：， 检验：当时，(3+x)(3-x)≠0， 所以是原分式方程的解． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 20. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、含乘方的分式乘除运算． （1）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案； （2）先乘方再计算乘除，再约分即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 已知，，分别是的三边长，且，满足关系式． （1）求a，b，c的值； （2）判断的形状？并说明理由． 【答案】（1），，； （2）是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，偶次方的非负性，等腰三角形的判定定理的应用，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性，偶次方的非负性求出、、的值， （2）根据等腰三角形的判定定理判断的形状即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，，． ，，； 【小问2详解】 解：， 是等腰三角形． 23. 如图，中，，，平分，于D，，交于F，求： （1）的度数； （2）当平分时，，若，，，请用含m，n，a的代数式表示的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，一元一次方程的应用． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数； （2）设，则，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设，则， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴，即． 24. 关于x的方程． （1）m为何值时，方程有增根？ （2）m为何值时，方程无解？ 【答案】（1）当或时，方程有增根； （2）当或或时，方程无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根和无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤和增根问题是解题的关键． （1）去分母把分式方程化为整式方程，再把增根代入，即可求出m的值； （2）分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的能令最简公分母为0，据此进行解答． 【小问1详解】 解： 方程两边都乘， 得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得或， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， ∴当或时，方程有增根； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 则，即， 当，即时整式方程无解， 当，即时整式方程无解， 当，即时整式方程无解， ∴当或或时，方程无解． 25. 某市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完成．从两个公司的业务资料看到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天也恰好完成．如果每天需要支付甲、乙两公司的工程费用分别为1.2万元和0.7万元．试问： （1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？ （2）要使整个工程费用不超过22.5万元，则乙公司最少应施工多少天？ 【答案】（1）单独完成这项工程甲公司需20天，乙需30天； （2）乙公司至少要施工15天． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设单独完成这项工程甲公司需要x天，则乙公司需要天，根据“若甲、乙合做9天后，由甲再单独做5天恰好完成”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设乙公司施工y天，则甲公司施工天，根据整个工程费用不超过22.5万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论． 小问1详解】 解：设单独完成这项工程甲公司需天，乙公司需天， 根据题意，得， 解得，经检验是原方程的解， ， 答：单独完成这项工程甲公司需20天，乙需30天； 【小问2详解】 解：设乙公司应施工天，则甲公司应施工天， ，解得 答：乙公司至少要施工15天． 26. 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）出发2秒后，求的面积； （2）当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？ （3）当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1） （2）出发秒后，能形成等腰三角形； （3）当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）先求出和的长，则可求得的长，然后利用勾股定理计算即可； （2）用t分别表示出和，根据为等腰三角形可得到，则可得关于t的方程，解方程即可； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分、和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【小问1详解】 解：当时，则，， ∵， ∴， ∴的面积； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∵， ∴， 当为等腰三角形时，则有， 即， 解得， 即出发秒后，能形成等腰三角形； 【小问3详解】 解：①当时，如图1所示， 则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒； ②当时，如图2所示， 则， ∴秒； ③当时，如图3所示， 过B点作于点E， 则， ∴， ∴， ∴， ∴秒， 综上所述：当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$