精品解析：广东省湛江经济技术开发区第四中学2023—2024学年上学期九年级期末数学模拟试卷

2023-2024学年广东省湛江市经开四中九年级（上）期末数学模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. ax2﹣bx+c＝0 B. 2ax（x﹣1）＝2ax2+x﹣5 C. （a2+1）x2﹣x+6＝0 D. （a+1）x2﹣x+a＝0 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A. a≥﹣1 B. a＞﹣1 C. a≤﹣1 D. a＜﹣1 4. 已知：圆内接正六边形的边长为2，则圆心到内接正六边形各边的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（　　） A. m＝4 B. m＝2 C. m＝2或m＝﹣2 D. m＝﹣2 6. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=52°，则∠DAC 的大小为（ ） A. 128o B. 104o C. 64o D. 52o 7. 已知关于的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 已知直线的图象如图所示，则抛物线的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则tan∠HAB等于(　　) A. 3 B. C. 2 D. 10. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为F，交BC于点E，BE=2EC，连接AE．则tan∠CAE的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 一元二次方程根与系数关系：如果，是一元二次方程的两个根，那么___________________， __________________． 12. 抛物线的对称轴是________． 13. 如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为________ 14. 方程的解为______． 15. 如图，已知正六边形，是此正六边形的外接圆，若，则阴影部分的面积是______． 三．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 16. 计算与解方程： （1）计算： （2）解方程： 17. 某校要求学生暑假进行社会调查，每人必须完成至份报告，调查结束后随机抽查了名学生每人完成报告的份数，并分为四类，：份；：份；：份；：份，各类的人数绘制成扇形图（如图1）和尚未完整的条形图（如图2），回答下列问题： (1)请将条形统计图2补充完整______； (2)这名学生每天完成报告份数的众数是______，中位数是______． (3)在求出名学生每人完成报告份数的平均数时，小明是这样分析的： 第一步：求平均数的公式是 第二步：在该问题中，，，，， 第三步：（份） 小明的分析对不对？如果对，请说明理由如果不对，请求出正确结果______． 18. 如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒，     （1）这个无盖纸盒的长为______cm，宽为______cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，求x的值． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19. 已知和点O，作，使与关于点O成中心对称． 20. 全运会吉祥物以陕西秦岭独有的四个国宝级动物“金丝猴、羚牛、大熊猫、朱鹮”为创意原型，设计了一组幸福快乐、充满活力、精神焕发、积极向上的运动吉祥物形象．现有四张纪念卡片分别绘有吉祥物的图案（如图），纪念卡背面完全相同． （1）小丽从四张纪念卡任意抽取一张，则小丽抽取到的卡片绘有吉祥物“羚羚”的概率为__________； （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的动物名称再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的动物名称．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是“熊熊”的概率． 21. 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG． （1）如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD； （2）当α为何值时，GC＝GB？ 五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 22. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O 上，且点C是弧BD的中点，过点C作 AD 的垂线EF交直线AD于点E． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）连接 BC，若 AB＝5，BC＝3，求线段 AE 的长． 23. 如图1，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，若点在抛物线上且，求点D的坐标； （3）如图2，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年广东省湛江市经开四中九年级（上）期末数学模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. ax2﹣bx+c＝0 B. 2ax（x﹣1）＝2ax2+x﹣5 C. （a2+1）x2﹣x+6＝0 D. （a+1）x2﹣x+a＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【详解】解：A．当a=0时，ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．2ax（x-1）=2ax2+x-5整理后化为：-2ax-x+5=0，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．（a2+1）x2-x+6=0，是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意； D．当a=-1时，（a+1）x2-x+a=0不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 若一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A. a≥﹣1 B. a＞﹣1 C. a≤﹣1 D. a＜﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式大于等于0即可得出答案. 【详解】解：根据题意得 解得 故选：A． 【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键. 4. 已知：圆内接正六边形的边长为2，则圆心到内接正六边形各边的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出． 此题主要考查了正多边形和圆、利用勾股定理解三角形，正确掌握正六边形的性质是解题关键． 【详解】解：如图，连接，，作， ∵圆内接正六边形边长为2， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中， ∴正六边形的边心距是． 故选：C． 5. 关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（　　） A. m＝4 B. m＝2 C. m＝2或m＝﹣2 D. m＝﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】根据常数项为0，可得m2-4=0，同时还要保证m-2≠0，即可． 【详解】由题意得：m2-4=0，且m-2≠0， 解得：m=-2， 故选D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 6. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=52°，则∠DAC 的大小为（ ） A. 128o B. 104o C. 64o D. 52o 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠ADC=∠CBE=52°，根据等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，求出即可． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O,∠CBE=52°， ∴∠ADC=∠CBE=52°， ∵AD=DC， ∴∠DAC=∠DCA=×(180°−∠DAC)=64°. 故答案选：C. 【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理. 7. 已知关于的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式及一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数图像的性质是解题的关键．根据二次函数的性质得出顶点坐标，再根据一元二次方程无实根得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：， 抛物线顶点坐标为， 又关于的一元二次方程无实数根， ， 解得：， ， 抛物线的顶点所在象限是第二象限． 故选：B． 8. 已知直线的图象如图所示，则抛物线的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象与系数的关系，熟记一次函数在不同情况下所在的象限，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等． 先根据一次函数的图象判断、的符号，再由此判断二次函数的图象所在的象限． 【详解】解：直线的图象过第一、二、四象限， ，． 由，可知抛物线与轴的交点在轴的负半轴，排除，两个答案； 又抛物线的对称轴，排除答案． 故选：B． 9. 如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则tan∠HAB等于(　　) A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接BD，作交BH与点M， 【详解】解：如图，连接BD，作交BH与点M，设正六边形的边长为，由正六边形的性质可求出BD长，易知BH长，在在中，求tan∠HAB即可. 由正六边形和正方形的性质可知点B、D、H三点共线， 设正六边形的边长为，则，由正方形的性质可知， 在中，，， 在中，， 正六边形中， 在中，. 故选：B. 【点睛】本题考查了解直角三角形，灵活利用正多边形的性质构造直角三角形是解题的关键. 10. 如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC垂足为F，交BC于点E，BE=2EC，连接AE．则tan∠CAE的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明△AFD∽△CFE，得出，由△CFE∽△DFC，得出，设EF=x，则DE=3x，再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解： 设EC=x，∵BE=2EC=2x，∴BC=BE+CE=3x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=3x，AD∥EC， ∴△AFD∽△CFE， ∴ ， ，设CF=n，设EF=m， ∴DF=3EF=3m，AF=3CF=3n， ∵△ECD是直角三角形，， ∴△CFE∽△DFC， ∴， ∴，即， ∴，∵， ∴tan∠CAE=， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 一元二次方程根与系数关系：如果，是一元二次方程的两个根，那么___________________， __________________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：根据根与系数的关系得，． 故答案为：，． 12. 抛物线的对称轴是________． 【答案】直线x=-1 【解析】 【分析】利用对称轴的计算公式解答. 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线x=-1. 【点睛】此题考查抛物线对称轴的计算公式，掌握公式是解题的关键. 13. 如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为________ 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵y=（x﹣2）2+1=x2﹣4x+4+1=x2﹣4x+5，∴c的值为5．故答案为5． 14. 方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 15. 如图，已知正六边形，是此正六边形的外接圆，若，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，交于G，由正六边形的性质可得出是等边三角形，，进而可得阴影部分的面积=三角形的面积×2+扇形的面积，然后根据三角形的面积和扇形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于G， ∵是正六边形的外接圆， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴阴影部分的面积=三角形的面积×2+扇形的面积， 在直角三角形中，， ∴阴影部分的面积=； 故答案为： 【点睛】本题考查了正多边形和圆以及不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、熟练掌握正多边形和圆的相关知识是解题的关键． 三．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 16. 计算与解方程： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂，乘方，绝对值，正切值，然后进行加减运算即可； （2）先因式分解，然后求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或 解得：， ∴方程的解为，． 【点睛】本题考查了零指数幂，乘方，绝对值，正切值，解一元二次方程．解题的关键在于正确的计算． 17. 某校要求学生暑假进行社会调查，每人必须完成至份报告，调查结束后随机抽查了名学生每人完成报告的份数，并分为四类，：份；：份；：份；：份，各类的人数绘制成扇形图（如图1）和尚未完整的条形图（如图2），回答下列问题： (1)请将条形统计图2补充完整______； (2)这名学生每天完成报告份数的众数是______，中位数是______． (3)在求出名学生每人完成报告份数的平均数时，小明是这样分析的： 第一步：求平均数的公式是 第二步：在该问题中，，，，， 第三步：（份） 小明的分析对不对？如果对，请说明理由如果不对，请求出正确结果______． 【答案】（1）6人， 补全图形如下： （2）5，5； （3）不对， 正确结果为=4.7（份）． 故答案为：不对，正确结果为4.7份． 【解析】 【分析】（1）用总人数乘以B类型的百分比可得其人数，据此补全图形； （2）根据众数和中位数的定义求解可得； （3）利用加权平均数的定义计算可得． 【详解】解：（1）B类型人数为20×30%=6(人)． （2）由条形图知，C类型人数最多，所以众数为5份， 中位数是第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均为5份，所以中位数是5份； 故答案为5，5； （3）略 【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，加权平均数与中位数，众数，解题的关键是读懂统计图，从中得到必要的数据． 18. 如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒，     （1）这个无盖纸盒的长为______cm，宽为______cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，求x的值． 【答案】（1），；（2）x的值为2cm 【解析】 【分析】（1）根据图形，直接用代数式表示边长即可． （2）利用面积公式，得到关于的方程，求解方程即可，注意舍根． 【详解】（1）解：由图形可得：这个无盖纸盒的长为cm，宽为cm． （2）解：由题知：． 整理得： 解得：，（不合题意，舍去） 答：x的值为2cm． 【点睛】本题主要是考查了列代数式以及一元二次方程的求解，注意舍根，一元二次方程的解一定要符合实际问题． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19. 已知和点O，作，使与关于点O成中心对称． 【答案】 如图所示，即为所求． ． 【解析】 【分析】本题主要考查作图—中心对称图形的作法．分别作出三个顶点关于点O的对称点，再首尾顺次连接即可． 【详解】略 20. 全运会吉祥物以陕西秦岭独有的四个国宝级动物“金丝猴、羚牛、大熊猫、朱鹮”为创意原型，设计了一组幸福快乐、充满活力、精神焕发、积极向上的运动吉祥物形象．现有四张纪念卡片分别绘有吉祥物的图案（如图），纪念卡背面完全相同． （1）小丽从四张纪念卡任意抽取一张，则小丽抽取到的卡片绘有吉祥物“羚羚”的概率为__________； （2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的动物名称再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的动物名称．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是“熊熊”的概率． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）从四张纪念卡任意抽取一张，根据概率公式解题即可； （2）根据题意，先列出随机抽取一张卡片的所有可能，再列出从剩余的卡片中随机抽取一张卡片的所有可能，继而根据概率公式解题． 【详解】解：（1）小丽抽取到的卡片绘有吉祥物“羚羚”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果数，其中小明两次抽取的卡片中有一张是“熊熊”的有6种结果，∴P（小明两次抽取的卡片中有一张是“熊熊”． 【点睛】本题考查概率、画树状图或列表法求概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG． （1）如图①，当点E在BD上时，求证：FD＝CD； （2）当α为何值时，GC＝GB？ 【答案】 （1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD， ∴∠AEB＝∠ABE， 又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF， ∴∠EDA＝∠DEF， 又∵DE＝ED， ∴△AED≌△FDE（SAS）， ∴DF＝AE， 又∵AE＝AB＝CD， ∴CD＝DF； （2）当α=60°或300°时，GC＝GB． 【解析】 【分析】（1）先运用SAS判定△AED≌△FDE，可得DF=AE，再根据AE=AB=CD，即可得出CD=DF； （2）当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数． 【详解】（1）略． （2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论： ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC＝GB， ∴GH⊥BC， ∴四边形ABHM是矩形， ∴AM＝BH＝AD＝AG， ∴GM垂直平分AD， ∴GD＝GA＝DA， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠DAG＝60°， ∴旋转角α＝60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG＝60°， ∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用，解题关键是掌握旋转的性质、全等三角形的判定（SAS）与性质的运用． 五．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分） 22. 如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O 上，且点C是弧BD的中点，过点C作 AD 的垂线EF交直线AD于点E． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）连接 BC，若 AB＝5，BC＝3，求线段 AE 的长． 【答案】（1） 证明：连接 OC， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠BAC， ∵点 C 是的中点， ∴∠EAC=∠BAC， ∴∠EAC=∠OCA， ∴OCAE， ∵AE⊥EF， ∴OC⊥EF，即 EF 是⊙O 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、平行线的判定得到OC∥AE，得到OC⊥EF，根据切线的判定定理证明； （2）根据勾股定理求出AC，证明△AEC∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AB 为⊙O 的直径， ∴， ∴AC==4， ∵，， ∴， 【点睛】本题考查的是切线的判定、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理、直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 23. 如图1，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，若点在抛物线上且，求点D的坐标； （3）如图2，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）且 【解析】 【分析】（1）设交点式，然后把点坐标代入求出的值即可得到抛物线的解析式； （2）如图1中，如图1中，作于．由，推出，由，， 推出，推出，设交轴于，则，可得直线的解析式为，利用方程组即可求出点坐标，同法求出； （3）当直线经过，时，则有，解得，可得一次函数的解析式为，观察图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式为， 即； 【小问2详解】 解：如图1中，作于． ， ， ，， ， ，设交轴于，则， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 由， 解得或， ． 当点在轴下方时，同理可求得直线的解析式为， 由， 解得或． ． 【小问3详解】 解：如图2中， 当直线经过，时，则有， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 当直线经过，时，则有， 解得， 一次函数， 观察图象可知：且时，直线经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点． 【点睛】本题考查二次函数综合题，折叠的性质，一次函数的应用，二次函数图象性质，解直角 三角形，待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $