专题2.4 指数函数的图象及性质（十大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题2.4指数函数的图象及性质 题型一 指数幂的运算 题型六 比较指数式的大小 题型二 含条件的求值问题 题型七 解简单的指数方程或不等式 题型三 指数（型）函数图象的识别 题型八 求指数（型）函数的值域 题型四 指数型函数过定点问题 题型九 根据值域求参数 题型五 指数型函数的单调性问题（含求参） 题型十 恒（能）成立问题 知识点1指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且. ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 题型一 指数幂的运算 例1．化简（其中a＞0，b＞0）的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 练习1．化简（a＜0）的结果为（    ） A． B． C． D． 练习2．化简： . 练习3．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 练习4．化简求值： (1) (2)； 题型二 含条件的求值问题 例3．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 例4．若，求的值． 练习1．已知，则的值是 A． B． C． D． 练习2．若，则 ． 练习3．若，，则 ． 练习4．若， ，，则 ． 知识点2指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 题型三 指数（型）函数图象的识别 例5．函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   例6．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 练习1．在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C．   D．   练习2．已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）      A．   B．   C．   D．   练习3．函数的图象是（    ） A．   B．     C．   D．   练习4．函数（，且）的图象可能是（    ）. A． B． C．   D． 题型四 指数型函数过定点问题 例7．已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例8．已知幂函数的图像经过函数（且）的图像所过的定点，则 ； 练习1．函数（且）的图象经过一定点，则该定点坐标为 ． 练习2．直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（        ） A． B． C． D． 练习3．已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，若，则 . 练习4．函数（且）的图像恒过定点P，则点P的坐标为 ；若点P在直线上，其中，则的最小值为 ． 题型五 指数型函数的单调性问题（含求参） 例9．“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例10．若函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 练习1．已知定义域为的函数，若对任意，，均有恒成立，则下列情形可能成立的是（    ） A． B． C． D． 练习2．若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 练习3．已知函数，则的单调递减区间为 . 练习4．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 题型六 比较指数式的大小 例11．设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 例12．在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 练习1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 练习3．已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 练习4．实数从小到大排列为 ． 题型七 解简单的指数方程或不等式 例13．若全集，集合，则（   ） A． B． C． D．[0,3] 例14．解不等式． (1)； (2)（其中且）． 练习1．已知集合，则的元素数量是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 练习2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数是奇函数. (1)求； (2)求不等式 的解集. 练习4．解不等式：（其中且）． 题型八 求指数（型）函数的值域 例15．求下列函数的定义域与值域： (1)； (2). 例16．函数的值域是 ． 练习1．函数的值域为 ． 练习2．若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 练习3．定义运算：，则函数的值域为 ． 练习4．函数在上的值域为 ． 题型九 根据值域求参数 例17．指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 . 例18．如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 练习1．已知，其中．若，求的定义域． 练习2．已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 练习3．若函数的值域为，则a的取值范围是 . 练习4．已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 题型十 恒（能）成立问题 例19．设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 例20．已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 练习1．已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 练习2．已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 练习3．函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 练习4．设函数，. (1)求函数的值域； (2)设函数，若对，，，求实数a取值范围. 一、单选题 1．若，则化简的结果是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．若指数函数是减函数，则下列不等式中，能够成立的是（　　） A． B． C． D． 3．已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知指数函数为增函数，且图象过点，则满足（    ） A．当时，有最大值 B．当时，有最大值5 C．当时，有最小值32 D．当时，有最小值2 5．已知函数，若实数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 6．已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，，则（    ） A．是偶函数 B．恒成立 C．的值域是 D．的值域是 8．设表示不超过的最大整数，如，．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的值域为 B． C．函数的值域为 D．函数的值域为 三、填空题 9．（1）已知，则 ； （2）若，，则 ； （3） ． 10．已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 11．已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 12．已知函数. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)设函数，若，求a的取值范围. 13．已知函数 (1)当时，证明：为奇函数； (2)当时，函数在上的值域为求a的取值范围. 14．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的解析式并用定义证明的单调性； (2)使得成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4指数函数的图象及性质 题型一 指数幂的运算 题型六 比较指数式的大小 题型二 含条件的求值问题 题型七 解简单的指数方程或不等式 题型三 指数（型）函数图象的识别 题型八 求指数（型）函数的值域 题型四 指数型函数过定点问题 题型九 根据值域求参数 题型五 指数型函数的单调性问题（含求参） 题型十 恒（能）成立问题 知识点1指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且. ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 题型一 指数幂的运算 例1．化简（其中a＞0，b＞0）的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 例2．（1）化简：（a＞0，b＞0）； （2）求值：. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） . （2） . 练习1．化简（a＜0）的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 练习2．化简： . 【答案】1 【详解】原式. 故答案为：1． 练习3．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A项错误，,而； B项正确，； C项正确，； D项正确，. 故选：BCD. 练习4．化简求值： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2） . 题型二 含条件的求值问题 例3．已知正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，取等号时， 所以的最小值为， 故选：D. 例4．若，求的值． 【答案】5 【详解】， 则． 练习1．已知，则的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知， ， 由于，故，则原式. 故选B. 【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题. 练习2．若，则 ． 【答案】 【详解】（负数舍去） . 故答案为：. 练习3．若，，则 ． 【答案】180 【详解】. 故答案为：180 练习4．若， ，，则 ． 【答案】 【详解】， ， ， 所以，原式， 故答案为： 知识点2指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 题型三 指数（型）函数图象的识别 例5．函数的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图像关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B 例6．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 练习1．在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C．   D．   【答案】C 【详解】对于A和B，指数函数过定点，且递增，则，所以幂函数递增，且增加的越来越快，故A不符合，B不符合； 对于C和D，指数函数过定点，且递减，则，所以幂函数递增，且增加的越来越慢，故C符合，D不符合. 故选：C. 练习2．已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】根据函数的图象可知， 再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB， 且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确； 故选：C 练习3．函数的图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【详解】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的， 而的图象过点，且在上是增函数， 所以的图象过点，且在上是增函数， 故选：A 练习4．函数（，且）的图象可能是（    ）. A． B． C．   D． 【答案】C 【详解】因为函数（，且）， 当时，是增函数，并且恒过定点， 又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确； 当时，是减函数，并且恒过定点， 又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误. 故选：C. 题型四 指数型函数过定点问题 例7．已知函数恒过定点，则函数不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 故选：B 例8．已知幂函数的图像经过函数（且）的图像所过的定点，则 ； 【答案】 【详解】由知：令，则，故定点为， 将代入中可得，故， 故答案为： 练习1．函数（且）的图象经过一定点，则该定点坐标为 ． 【答案】 【详解】当，即时，， 所以的图象经过定点. 故答案为： 练习2．直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，解得， 由题意可知：点在直线上， 可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 练习3．已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，若，则 . 【答案】 【详解】由于的图象恒过定点，所以，且，故且， 由于，所以， 又，即，故， 因此，故， 故答案为： 练习4．函数（且）的图像恒过定点P，则点P的坐标为 ；若点P在直线上，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为恒过定点， 所以（且）过定点P（4，1）所以，即， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9． 故答案为：. 题型五 指数型函数的单调性问题（含求参） 例9．“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 例10．若函数在上为减函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数在定义域上单调递减，满足条件； 当时，函数开口向上，对称轴为，所以在上单调递增， 又在定义域上单调递增，所以在上单调递增，不符合题意； 当时，只需满足在为减函数，即，则； 综上可得. 故选：C 练习1．已知定义域为的函数，若对任意，，均有恒成立，则下列情形可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A：若，所以，所以为单调递减的指数函数，因此对任意，，均有恒成立，故A正确； 对B：若，，函数无意义，故B错误； 对C：若，所以，所以为单调递增的指数函数，所以对任意，，均有恒成立，故C错误； 对D：若，所以，所以为单调递增的指数函数，所以对任意，，均有恒成立，故D错误； 故选：A 练习2．若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 练习3．已知函数，则的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】令，， 则是由和构成的复合函数， 由指数函数性质得在上单调递减， 由二次函数性质得的单调递增区间为， 由复合函数性质得的单调递减区间为. 故答案为： 练习4．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 题型六 比较指数式的大小 例11．设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，而 而，因为，所以， 所以，故， 所以. 故选：B 例12．在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数与在上单调递减，可知，， 只需比较与的大小，由于幂函数在上单调递增， 所以，所以这四个数中，最大的数为. 故选：C. 练习1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，结合对应幂指数函数单调性，知，所以. 故选：A 练习2．（多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】在上是减函数，，故A不正确； 在上是增函数，，故B正确； 在上是增函数，，故C正确； 在上是减函数，，故D正确． 故选：BCD. 练习3．已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为，所以； 因为，所以； 所以， 故答案为：. 练习4．实数从小到大排列为 ． 【答案】 【详解】因为，则由在上单调递增， 在上单调递增，知，故， 又由函数为增函数， 得，则． 又． 故答案为：. 题型七 解简单的指数方程或不等式 例13．若全集，集合，则（   ） A． B． C． D．[0,3] 【答案】B 【详解】由题意可知，，， 则，故,． 故选：B． 例14．解不等式． (1)； (2)（其中且）． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【详解】（1）；令， 所以； 所以（舍）或，即， 所以，所以不等式的解集为． （2）当时，因为，且在R上严格递增， 所以， 即，解得或， 当时，因为， 且在R上严格递减， 所以， 即，解得， 综上：当时，； 当时，． 练习1．已知集合，则的元素数量是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】由于，故，又，故，有5个元素， 故选：D. 练习2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得或， 所以， 由，得，解得， 所以， 所以. 故选：C 练习3．已知函数是奇函数. (1)求； (2)求不等式 的解集. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以的定义域为， 函数是奇函数，所以， 解得，可得， 当时， ， 所以是奇函数，故； （2）因为是奇函数，所以， 由得， 可得，解得， 即，可得， 解得， 所以不等式的解集为. 练习4．解不等式：（其中且）． 【答案】答案见解析 【详解】当时，； 当时，． 综上，当时，解集为；时，解集为． 题型八 求指数（型）函数的值域 例15．求下列函数的定义域与值域： (1)； (2). 【答案】(1)定义域为，值域为且 (2)定义域为，值域为 【详解】（1）由，得，所以定义域为， 则，所以， 所以的值域为且． （2）由，得，所以定义域为， 当时，， 又因为，所以， 即的值域为． 例16．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 练习1．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】当时，当且仅当，即时取等号， 当时，当且仅当，即时取等号， 令，则， 对于函数在定义域上单调递减，且，， 所以函数，的值域为， 则函数的值域为. 故答案为： 练习2．若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 【答案】 【详解】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 练习3．定义运算：，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】当时，，当时，， 所以， 当时，，当时，， 所以函数的值域是. 故答案为： 练习4．函数在上的值域为 ． 【答案】 【详解】；； 时，取最小值时，取最大值67； 的值域为． 故答案为：． 题型九 根据值域求参数 例17．指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 . 【答案】2 【详解】当时，单调递增，故，解得或（舍去）， 当时，单调递减，故，无解， 综上，等于2. 故答案为：2 例18．如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【详解】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 练习1．已知，其中．若，求的定义域． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以，所以， 所以定义域为． 练习2．已知函数且的图象过坐标原点. (1)求的值； (2)设在区间上的最大值为，最小值为，若，求的值. 【答案】(1) (2)或3 【详解】（1）因为的图象过坐标原点， 所以，解得. （2）若，则在上单调递减， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 若，则在上单调递增， 所以，所以，即， 解得或（舍去）； 综上，的值为或3. 练习3．若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 练习4．已知函数． (1)若，求的单调区间 (2)若有最大值3，求的值 【答案】(1)答案见解析 (2)1 【详解】（1）当时， 令，则在上单调递增，在单调递减， 且在R上为减函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）令，则， 因为的最大值为3，且在R上为减函数， 所以的最小值为， 当时，无最大值，不合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数a的值为1. 题型十 恒（能）成立问题 例19．设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意得在上有意义，故在上恒成立， 故， 当时，，而，满足，符合题意， 当时，，在上恒成立， 令，， 其中在上单调递减， 故， 故， 综上，t的取值范围是， 故答案为： 例20．已知函数且. (1)若，求函数的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）若，则， 令， 故原式化为， 若时，可知在上单调递增， 可知在上单调递增，可知； 若时，可知在上单调递减， 可知在上单调递减，可知； 综上所述：， 可知当时，取到最小值为1. （2）因为， 设， 由题意得即恒成立，即恒成立， 且，则，解得， 所以实数的取值范围为. 练习1．已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】为偶函数，为奇函数，，即 又，解得， 时，等价于， 化简得，， 令，则，在上单调递增， 当时， 则实数的最大值为 故答案为： 练习2．已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，解得，此时符合题意． （2）原问题即为，即恒成立， 则， 设， 则， ，∴当时，y取得最小值26， 要使不等式在上恒成立，则， 练习3．函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为函数为偶函数. 所以恒成立，即恒成立. 即恒成立，解得， 所以，令， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. （2）当时，函数的图象恒在轴上方， 故当时恒成立. 即恒成立. 令，令，. 因为，对称轴为， 故当即时，取最大值4，故. 练习4．设函数，. (1)求函数的值域； (2)设函数，若对，，，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，又∵，， ∴，当且仅当，即时取等号， 所以， 即函数的值域为. （2）∵， 设，因为，所以，函数在上单调递增， ∴，即， 设时，函数的值域为A.由题意知， ∵函数 ①当，即时，函数在上递增， 则，即 ，∴ ②当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者， 而且，不合题意， ③当，即时，函数在上递减， 则，即 ，满足条件的不存在， 综上所述，实数a取值范围为. 【点睛】对于双变量双函数类似，，的问题转化为值域包含值域的问题. 一、单选题 1．若，则化简的结果是（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】 . 因为， 所以异号，， 所以， 所以，. 故选：B. 2．若指数函数是减函数，则下列不等式中，能够成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】指数函数是减函数，则，因此有，只有C成立， 故选：C． 3．已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据指数函数单调性知为单调减函数， 因为，则，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 4．已知指数函数为增函数，且图象过点，则满足（    ） A．当时，有最大值 B．当时，有最大值5 C．当时，有最小值32 D．当时，有最小值2 【答案】C 【详解】因为为增函数，所以，又， 则， 所以， 所以，则， 当时，，故， 由对勾函数的性质知在上单调递增，故． 又由于单调递增，单调递减，且， 则，B，D错误． 当时，，故， 当且仅当时等号成立，A错误，C正确． 故选：C． 5．已知函数，若实数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】函数，， 而，因此， 又函数在上递增， 则函数在上递增，于是， 所以. 故选：B 6．已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，恒有， 所以当时，恒有， 不妨设，则，即， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题 7．已知函数，，则（    ） A．是偶函数 B．恒成立 C．的值域是 D．的值域是 【答案】AB 【详解】A，，故是偶函数 ，故A正确； B，，，故B正确； C，，当且仅当，即 时，等号成立，故C错误； D，，当 时，，故D错误． 故选：AB 8．设表示不超过的最大整数，如，．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的值域为 B． C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】ABD 【详解】对于选项A：解法一：． ，，， 即函数的值域为，故A正确． 解法二：由，得，显然时等式不成立， 故，解得，故函数的值域为，故A正确． 对于选项B：，故B正确． 对于选项C，D：由A，B知，函数的值域为，． ①当时，，故，， 因此； ②当时，，，， ，，； ③当时，同理可得． 故函数的值域为，故C错误，D正确． 故选：ABD. 三、填空题 9．（1）已知，则 ； （2）若，，则 ； （3） ． 【答案】 【详解】（1）因为，所以，则， 所以，所以； （2）因为，， 所以 ； （3） . 故答案为：；； 10．已知函数，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【详解】由题意知函数定义域为R，且， 所以 为奇函数． 又函数均为R上的增函数，根据复合函数的单调性可知也为R上的增函数， 所以，为R上的函数． 由，得，所以， 解得， 故答案为：． 四、解答题 11．已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，且在定义域上单调递增， 则，解得， 所以实数x的取值范围为. （2）因为，当且仅当时等号成立， 且在定义域上单调递增，则， 又因为，所以的值域为. 12．已知函数. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)设函数，若，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)为偶函数，理由见解析 (3) 【详解】（1）令，则， 则， 所以的解析式为. （2）为偶函数. 理由如下： 因为的定义域为，且， 所以为偶函数. （3）， ，所以是上的奇函数， 因为，所以. 因为，都是增函数，所以是上的增函数， 所以， 则， 因为，所以，即a的取值范围是. 13．已知函数 (1)当时，证明：为奇函数； (2)当时，函数在上的值域为求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 由，得函数的定义域为， 因为， 所以函数为定义域上的奇函数. （2）当时，， 因为在上递增，所以在上递减， 因为，所以在上递增， 因为函数在上的值域为 所以，， 所以是方程的两个根， 令，则， 即有两个不同的正根， 所以，即， 解得 即a的取值范围为. 14．已知函数是定义在上的奇函数． (1)求的解析式并用定义证明的单调性； (2)使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，解得， 则， 且， 所以为定义在上的奇函数，故，即. 是上的增函数，证明如下： 任取，且， 则 ， 所以，所以，，， 所以， ， 所以，即， 所以是上的增函数. （2）当时，不等式即， 故， 则令，因为，所以， 由题意可知，， 因为函数，为上的增函数， 故在上单调递增， 故， 所以，即实数的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$