专题2.3 函数的奇偶性、周期性和对称性（九大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题2.3函数的奇偶性、周期性和对称性 题型一 函数奇偶性的判断 题型六 奇偶性与单调性结合解不等式 题型二 已知函数的奇偶性求函数值 题型七 函数的周期性 题型三 局部奇偶函数求函数值 题型八 函数的对称性 题型四 已知函数的奇偶性求解析式 题型九 奇偶性、对称性、周期性相结合 题型五 奇偶性与单调性结合比较大小 一、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 题型一 函数奇偶性的判断 例1．下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 例2．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 练习1．下列四个函数中，是偶函数且在区间上单调递增的函数个数是（    ） ①  ②  ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 练习2．下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 练习3．（多选）下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 练习4．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 题型二 已知函数的奇偶性求函数值 例3．已知定义在R上的奇函数满足，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 例4．设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 练习1．若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 练习2．已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， . 练习3．已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，则 ． 练习4．已知函数为奇函数，且当时，，则 ． 题型三 局部奇偶函数求函数值 例5．已知函数，则等于（    ） A．5 B．0 C．10 D．14 例6．已知函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-3 练习1．设函数，且，则（    ） A． B． C． D． 练习2．设，若，则 ． 练习3．已知函数，其中，且，则 ． 练习4．已知函数的值域为，则 ． 题型四 已知函数的奇偶性求解析式 例7．奇函数在上的解析式是，则函数在上的解析式是（    ） A． B． C． D． 例8．已知函数是定义在R上的奇函数，且，则 ． 练习1．函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 练习2．设是定义在上的奇函数，则 练习3．设是定义在上的奇函数且当时，，求的表达式． 练习4．已知函数，若为偶函数，且在是增函数，求的解析式 题型五 奇偶性与单调性结合比较大小 例9．若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 例10．若函数是区间上的偶函数，，，，则m，n，p的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 练习1．已知函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的大小无法确定 练习2．已知函数，其中是偶函数，比较大小： ． 练习3．奇函数的局部图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 练习4．已知为偶函数且在上单调递增，比较，，大小关系 . 题型六 奇偶性与单调性结合解不等式 例11．已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例12．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习1．已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数，若，则x的取值范围为 ． 练习3．已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 练习4．定义在上的偶函数满足：对任意的，有且，求不等式的解集. 二、函数的周期性 1．周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．函数周期性的常用结论 设函数，. ①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为； ③若，则函数的周期为 题型七 函数的周期性 例13．已知函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 例14．若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 练习1．已知函数是定义域为的奇函数，.当时，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 练习2．已知偶函数满足，且在区间上是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 练习4．已知奇函数的定义域是，且，当时，. (1)求证：是周期为2的函数； (2)求在区间上的解析式. 三、函数的对称性 1．函数自身的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 2．不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线成轴对称。 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 题型八 函数的对称性 例15．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 例16．已知是上的奇函数，满足．若，则（   ） A．4 B． C．3 D． 练习1．已知定义在R上的奇函数满足，且，则下列结论错误的是（    ）. A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 练习2．（多选）函数的图象关于直线对称，那么（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 练习3．若函数对于都有，则 . 练习4．已知定义域为R的函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是 ． 题型九 奇偶性、对称性、周期性相结合 例17．已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例18．（多选）已知函数的定义域为，的图像关于直线对称，且对任意的都有，则下列正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．2是的一个周期 D． 练习1．若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（    ） A．2023 B． C．4048 D． 练习2．（多选）已知是定义在上的偶函数，为奇函数，当则下列说法中正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D．2是的一个周期 练习3．（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A．是周期函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 练习4．（多选）已知函数，的定义域均为，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数的一个周期是 B．函数的一个周期是 C．若，则 D．若当时，，则当时， 一、单选题 1．已知定义在上的偶函数满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 3．已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若函数的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知函数为偶函数，对任意的，满足，记，，则（    ） A． B． C． D． 6．设函数的定义域为，且满足，，，，都有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 8．定义在上且满足，其中，在为增函数，则下列成立的是（    ） A．不等式解集为 B．不等式解集为 C．解集为 D．解集为 三、填空题 9．定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则 . 10．已知，函数是奇函数，则 ；若的值域为，则 . 十三、解答题 11．判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 12．已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式. 13．已知对任意，有，若，求x的取值范围． 14．已知函数是定义在上的偶函数． (1)求函数的解析式； (2)对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3函数的奇偶性、周期性和对称性 题型一 函数奇偶性的判断 题型六 奇偶性与单调性结合解不等式 题型二 已知函数的奇偶性求函数值 题型七 函数的周期性 题型三 局部奇偶函数求函数值 题型八 函数的对称性 题型四 已知函数的奇偶性求解析式 题型九 奇偶性、对称性、周期性相结合 题型五 奇偶性与单调性结合比较大小 一、函数的奇偶性 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是： 对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括，则． （4）若函数是偶函数，则． （5）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数为偶函数，函数为奇函数． ②函数（且）为奇函数． ③函数（且）为奇函数． ④函数（且）为奇函数． 题型一 函数奇偶性的判断 例1．下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于选项A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，故A错误； 对于选项BC：可知，均为奇函数，故BC错误； 对于选项D：因为的定义域为， 且，所以为偶函数，故D正确； 故选：D. 例2．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【答案】(1)不是奇函数也不是偶函数 (2)偶函数 (3)奇函数 【详解】（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. 练习1．下列四个函数中，是偶函数且在区间上单调递增的函数个数是（    ） ①  ②  ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，，则函数定义域为R，且， 所以是偶函数， 当时，恒成立， 故函数在上单调递增，故①符合； 对于②，，则函数定义域为R，且， 所以函数是奇函数，故②不符合； 对于③，，则函数定义域为R，且， 故是偶函数， 当时，函数为单调递增，故③符合； 对于④，由正切函数图象性质可知函数在不单调，故④不符合. 故选：B. 练习2．下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A项，函数定义域为， 不关于原点对称，非奇非偶函数，A错误； B项，函数，由， 则，故不是奇函数，B错误； C项，函数，由， 则，故不是奇函数，C错误； D项，函数，， ，，故是奇函数，D正确. 故选：D. 练习3．（多选）下列四个函数中，不具有奇偶性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，函数，所以是定义在R上的偶函数； 对于B，函数，所以是非奇非偶的函数； 对于C，函数，所以是定义在R上的奇函数； 对于D，函数，所以是非奇非偶的函数． 故选：BD． 练习4．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)． 【答案】(1)为奇函数 (2)为偶函数 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， ， 又 ． 为奇函数． （2）的定义域为，关于原点对称， ， 为偶函数． 题型二 已知函数的奇偶性求函数值 例3．已知定义在R上的奇函数满足，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为为定义在R上的奇函数，则， 且，所以. 故选：A. 例4．设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因是奇函数， 故. 故选：A. 练习1．若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】设，则，即，即 所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 所以， 故选： A. 练习2．已知是定义在R上的奇函数，且函数为偶函数，当时，，则 ， . 【答案】 / / 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以， 又函数为偶函数，得， 所以， 所以，所以. 故答案为：； 练习3．已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，则 ． 【答案】 【详解】由题可得，则. 故答案为：． 练习4．已知函数为奇函数，且当时，，则 ． 【答案】 【详解】因为函数为奇函数，所以． 故答案为：. 题型三 局部奇偶函数求函数值 例5．已知函数，则等于（    ） A．5 B．0 C．10 D．14 【答案】C 【详解】令，，则， 又， 所以为奇函数，则，即， 所以. 故选：C 例6．已知函数，且，则（    ） A．4 B．5 C．-4 D．-3 【答案】B 【详解】因为，令定义域为， 且， 所以为奇函数，又， ，所以，则， 所以. 故选：B 练习1．设函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以函数的图象关于点对称， 因为函数为奇函数，即关于对称， 所以根据平移变换得 函数， 所以， 解得， 所以. 故选：C. 练习2．设，若，则 ． 【答案】3 【详解】，则； . 故答案为：3. 练习3．已知函数，其中，且，则 ． 【答案】 【详解】，得 构造函数，定义域为R． 因为． 所以函数是偶函数， 所以，所以，从而， 又，因此. 故答案为：． 练习4．已知函数的值域为，则 ． 【答案】2 【详解】令，的定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数，， ，，即. 故答案为：2. 题型四 已知函数的奇偶性求解析式 例7．奇函数在上的解析式是，则函数在上的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，由已知可得， 因为为奇函数，所以， 所以当时，． 故选：B． 例8．已知函数是定义在R上的奇函数，且，则 ． 【答案】/ 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，所以， 又，所以，解得， 经检验符合题意，所以，则. 故答案为：. 练习1．函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由是奇函数， 得①， 由是偶函数， 得② 联立①②得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是， 故选：B． 练习2．设是定义在上的奇函数，则 【答案】 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 练习3．设是定义在上的奇函数且当时，，求的表达式． 【答案】 【详解】解：∵是定义在上的奇函数，∴． 任取，则，． ∵为奇函数，∴， ∴，∴ 练习4．已知函数，若为偶函数，且在是增函数，求的解析式 【答案】 【详解】因为在上是增函数，所以，解得 又因为，所以， 当时，定义域为，则为非奇非偶函数，所以舍去， 当时，为偶函数，符合题意， 当时，定义域为，则为非奇非偶函数，所以舍去， 所以. 题型五 奇偶性与单调性结合比较大小 例9．若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 又在上单调递增，且， 所以，即，即. 故选：D 例10．若函数是区间上的偶函数，，，，则m，n，p的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由偶函数的区间对称性可知，解得或0， 当时，，满足，为偶函数， 当时，，此时，为奇函数，舍去， 则，，， 故 故选：B 练习1．已知函数，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的大小无法确定 【答案】A 【详解】因为，该函数的定义域为， ，即函数为偶函数，则， 当时，，所以，函数在上单调递增， 因为，则，所以，，即， A对，BCD都错. 故选：A. 练习2．已知函数，其中是偶函数，比较大小： ． 【答案】＜ 【详解】是偶函数， 对称轴为 即， ， ， 故答案为：＜． 练习3．奇函数的局部图象如图所示，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 【答案】A 【详解】因为奇函数的图象关于原点对称， 所以，， 由函数图象可知， 所以，即． 故选：A. 练习4．已知为偶函数且在上单调递增，比较，，大小关系 . 【答案】/ 【详解】因为为偶函数，所以 ,则函数的图象关于直线对称. 又因为且在上单调递增. 所以. 故答案为: 题型六 奇偶性与单调性结合解不等式 例11．已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为偶函数，所以函数的图象关于对称， 又在上单调递增，， 所以，解得． 故选：B． 例12．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由，可得：，或，或， 解得或， 所以满足的x的取值范围是， 故选：C. 练习1．已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，的图象关于直线对称， 令，则是偶函数，又当时，恒有， 故在上单调递减，所以在上单调递减， 则， 即得 解得或. 故选：C. 练习2．已知函数，若，则x的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，则，可得； 同理可得：当时，； 且时，； 综上所述：是偶函数． 因为开口向上，且对称轴为， 可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减， 则不等式等价于， 即，整理得，解得或， 所以x的取值范围为. 故答案为：. 练习3．已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】由偶函数的性质可知，， 或， 由奇函数的性质可知，，， 当，得， 当，得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 练习4．定义在上的偶函数满足：对任意的，有且，求不等式的解集. 【答案】 【详解】根据题意由可得函数在上单调递减， 再由偶函数性质可得在上单调递增，且， 因此可得当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上可得，不等式的解集为. 二、函数的周期性 1．周期函数 对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．函数周期性的常用结论 设函数，. ①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为； ③若，则函数的周期为 题型七 函数的周期性 例13．已知函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故函数周期为， 所以 . 故选：C． 例14．若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以的周期为，且为偶函数，即， 当时，，. 故答案为： 练习1．已知函数是定义域为的奇函数，.当时，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 【答案】A 【详解】由题意， 所以的周期是4， 所以. 故选：A. 练习2．已知偶函数满足，且在区间上是增函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以的周期为4，,， 令，则， 又为偶函数，所以， ，在区间上是增函数， ∴. 故选：A. 练习3．已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即， 故选：C 练习4．已知奇函数的定义域是，且，当时，. (1)求证：是周期为2的函数； (2)求在区间上的解析式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为是奇函数，且，所以 ， 所以是周期为2的函数. （2）∵当时，，， ∴当时，， ∴当时， 所以， 即在区间上的解析式为. 三、函数的对称性 1．函数自身的对称性 （1）函数的图像关于点对称的充要条件是： ，即； （2）函数的图像关于直线对称的充要条件是： ，即。 2．不同函数对称性 （1）函数与的图像关于直线成轴对称。 （2）互为反函数的两个函数关于直线对称。 题型八 函数的对称性 例15．已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知的图象关于中心对称， 将的图象向下平移1个单位，得的图象关于中心对称，再向左平移2个单位，得的图象关于中心对称，所以， 故选：D. 例16．已知是上的奇函数，满足．若，则（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由函数是上的奇函数，可得， 又由及， 可得，，则． 故选：C． 练习1．已知定义在R上的奇函数满足，且，则下列结论错误的是（    ）. A．4为的一个周期 B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】D 【详解】定义在R上的奇函数满足，即函数图象关于对称，B选项正确； 令，则有，可得， 所以函数的一个周期为4，A选项正确； 因为，又， 所以，C选项正确； ，D选项错误. 故选：D. 练习2．（多选）函数的图象关于直线对称，那么（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是偶函数 【答案】AC 【详解】若函数满足，则的图象关于对称， 对A，，则的图象关于对称，符合题意； 对B，，则的图象关于对称，不符合题意； 对C，函数的图象关于直线对称，的图象向左平移一个单位得到的图象，所以的对称轴为轴， 即函数为偶函数，符合题意； 对D，函数的图象关于直线对称，的图象向右平移一个单位得到的图象， 所以的对称轴为，不能判断函数为偶函数，不符合题意； 故选：AC. 练习3．若函数对于都有，则 . 【答案】 【详解】由对于都有，得函数图象的对称中心为， 显然，则，于是， 因此，所以. 故答案为： 练习4．已知定义域为R的函数在上单调递减，且是偶函数，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【详解】由于是偶函数，则是关于对称的函数， 又因为是定义域为R，且在上单调递减， 所以函数的上单调递增.则根据增减性的特点，分析得到距离对称轴越近，函数值越大.由于 所以. 故答案为： 题型九 奇偶性、对称性、周期性相结合 例17．已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为,所以的对称轴为, 在单调递减，则在单调递增， 又因为，由对称性可得, 所以, 故选：D. 例18．（多选）已知函数的定义域为，的图像关于直线对称，且对任意的都有，则下列正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．2是的一个周期 D． 【答案】AD 【详解】因为函数的定义域为，的图像关于直线对称，所以关于轴对称，即，所以为偶函数，故A正确； 因为，令，可得，则，因为为偶函数，所以，故B不正确； 由，令，可得：，,2是不是的一个周期，C错误； 因为，，所以， 所以，则，即是以4为周期的周期函数； 所以，故D正确； 故选：AD 练习1．若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（    ） A．2023 B． C．4048 D． 【答案】C 【详解】由是偶函数知，的图象关于直线对称，①, 又的图象关于中心对称，所以②, 则③, 由①②③可得，,故函数的周期为4， 则，，，则， 则． 故选：C 练习2．（多选）已知是定义在上的偶函数，为奇函数，当则下列说法中正确的是（    ） A．关于点对称 B． C． D．2是的一个周期 【答案】ABC 【详解】是偶函数，所以， 因为是奇函数，所以，即，故关于点对称，A正确； 因为，令，得，从而，所以，故，故B正确； 因为，所以，，且，所以周期，故D错误； 由 ，且，故， 在式子中，令，得，所以，故C正确. 故选：ABC. 练习3．（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A．是周期函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABC 【详解】由可得， 所以，所以的周期为4，故A正确； 由，令， 则，所以， 又，故B正确； 由，可知函数关于对称， 又的周期为4，则， 所以，即函数关于对称， 则的图象关于直线对称，故C正确； 由，且关于对称， 则，所以， 又，且， 则，又， 所以， ，故D错误. 故选：ABC. 练习4．（多选）已知函数，的定义域均为，函数为奇函数，为偶函数，为奇函数，，则下列说法正确的是（    ） A．函数的一个周期是 B．函数的一个周期是 C．若，则 D．若当时，，则当时， 【答案】BCD 【详解】对于选项A，因为为奇函数，所以， 令，得到， 即有，故可得， 又为偶函数，所以，即有， 所以，得到，所以， 即函数的一个周期是，所以选项A错误， 对于选项B，因为为奇函数，所以，又， 所以，即， 所以函数的一个周期是，所以选项B正确， 对于选项C，由选项A和B知，， 又，，所以，故选项C正确， 对于选项D，因为当时，， 所以当时，，所以， 所以选项D正确， 故选：BCD. 【点睛】 一、单选题 1．已知定义在上的偶函数满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】由，所以是函数的一个周期， 所以， 又是偶函数且，所以. 故选：C 2．已知函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】解：由于为偶函数，则恒成立， 则，则有， 可得， 经验证满足恒成立． 故选：B． 3．已知函数，则“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若函数是奇函数， 则恒成立，即， 而，得． 故“”是“函数是奇函数”的必要不充分条件． 故选：B． 4．若函数的图象关于点对称，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】关于对称, 则. 故选：D. 5．已知函数为偶函数，对任意的，满足，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对任意的，满足， 所以在是增函数， 函数为偶函数，所以， 又，所以， 所以 ， 所以. 故选：B 6．设函数的定义域为，且满足，，，，都有，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，即， 再令得：，所以，即函数是以为周期的函数，所以，， 由可得关于对称，又因为，单调递增，所以当，单调递减， 因为，所以，即. 故选：C 二、多选题 7．已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为的定义域为，又因为，所以是偶函数；故A是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故B是偶函数； 令，则，所以是偶函数，故C是偶函数； 令，则，所以是奇函数，故D是奇函数． 故选：ABC. 8．定义在上且满足，其中，在为增函数，则下列成立的是（    ） A．不等式解集为 B．不等式解集为 C．解集为 D．解集为 【答案】AD 【详解】由题意可知定义在上且满足，其中，在为增函数， 则函数为偶函数，在上为减函数， 函数的图象可由的图象向左平移1个单位得到， 作出和的大致图象如图， 则不等式可化为或， 由图象可知，故A正确，B错误； 由于为偶函数，故可化为， 即，解得，故C错误，D正确， 故选：AD. 三、填空题 9．定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则 . 【答案】3 【详解】函数的定义域为，且图象关于点对称，所以，所以， 又，当时，，所以. 故答案为：3. 10．已知，函数是奇函数，则 ；若的值域为，则 . 【答案】 / 【详解】由函数是奇函数， 因为是奇函数，可得为奇函数， 又因为的定义域为，所以，即，解得， 经检验，符合题意. 又由， 所以，可得 可得其值域为， 因为的值域为，可得，解得. 故答案为：；. 十三、解答题 11．判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)非奇非偶函数，理由见解析 (3)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【详解】（1）由得定义域为，关于原点对称， ∴，此时， ∴函数为奇函数． （2）由，得定义域为，关于原点不对称， ∴为非奇非偶函数． （3）由，得，即该函数的图象由点，构成， 这两个点既关于原点对称，也关于轴对称， ∴既是奇函数又是偶函数． （4）当时，，，∴． 当时，，，∴． 当时，，，∴． 综上可知，对于定义域内的每一个都有，∴为偶函数． 12．已知函数是定义在区间上的函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)用定义证明函数在区间上是增函数； (3)解不等式. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数. （2）任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上是增函数. （3）因为，且函数在区间上是增函数， 则，解得， 所以不等式的解集为. 13．已知对任意，有，若，求x的取值范围． 【答案】或或． 【详解】对任意，有， 所以是函数图象的对称轴， 为二次函数，开口向上， 又， 所以①， 即，解得或； ②， 即，解得， 综上，x的取值范围是或或． 14．已知函数是定义在上的偶函数． (1)求函数的解析式； (2)对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数， ，可得恒成立， 即， 因为在上不恒成立， ， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，令． 不等式恒成立，等价于恒成立， 恒成立，则， 令，任取， 则 ， 因为，所以， 所以为增函数， 所以当时. 所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$