山西省太原市尖草坪区第一中学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

数 学 考生注意: 1,本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分.考试时间120分钟。 2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时,济将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑:非选择题济用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作 答无效。 山.本卷命题范围:人教八版选择性必修第一册第一章一第二章第节。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知A(1.3.2).B(-1.4.1),C(5wc).若AB∥AC,则2y-= A.-2 B.2 C.- D.4 2.已知直线1:3mr+(1-2m)-2023=0的倾斜角为要.则m= A.1 B.-1 c 3.如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过 八第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为2x十3y十2=0和2x十3y十4=0.另一组对边 所在的直线方程分别为6x-4y+c1=0和6.x-4y+c2=0.则|c1一(= A.4 B.4③ 13 C.2 D.2v13 13 5.若点P(2.3)在圆C:.2+y2+2.x一2y+u-0外,则a的取值范围是 A.(-11.+os) B.(-11.2) C.(-8,2) D.(-8.+o) 6.已知点1(1.4).B(3.-1).若直线1:m.x+y+2m一1=0与线段AB相交.则m的取值范 周是 A.(-o.-1门U[号+) a[-,号] c.(-心,号]U[1.+o) [-] 7.如图.在直三棱柱ABC-A,B,C,中,AB⊥BC.AB=BC,AA1=八(C=A 2√2,点E为棱A1B1的中点,点F是棱B(上的一点.且BF=3F .则 直线AE与C,F所成角的余弦值为 A号 出器 C8③ D.1633 99 99 8.在正三棱惟P-A3C中.PA=AB-4.点D.E分别是棱P(.AB的中点,侧D P元- A.-2 B.-4 C.-8 1D.-10 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 9.若a.b.c}是空间的一个基心.则下列各组中能构成空间的一个基底的是 A.a+b.a-b.c B.a-b.b+c.c+a (.3a-4b.2h3c.3a-6c D.a+b.a+b+c.2c 10.若直线3.x+4y一12=0分别与.r轴.v轴交于A.B两点.点P是圆.x2+y+6x+2y+8=0 的~点,则 PAB的面积可能为 A.8 B.11 C.14 D.17 11.已知A(-2.1).B(1.1).H点P在线1:r十y十3=0上.则 A.存在点P.使得PA=2 B.存在点P.使得PA⊥PB C.存在点P.使得2|PA-|PB D.|PA|1|PB|的最小值为√29 12.在棱K为2的正方体ABD-A,B,CD,中.点P满足AP-入AC+4A1D,.其中1∈(0.1). ∈(0.1).则 A.平面PAC⊥平而A,B,CD 3.当A十=1时.三棱排A,PB(:的体积为定值 C当n-时仔作点P.使得BPLC D.当入-三时存在点P.使得bC,⊥平面PCD 三、填空题:本题共 小题,每小题5分,共20分。 13.已知直线11:4.x+ay+1=0.12:(2a+6).x+2y+a+1=0.当4∥1:时.a的值为 14.在四楼柱ABD-ABCD.四边形A3(D是止方形.AA,一5.AB=2.∠A:1B= ∠A1AD=60 .则BD,的长为 15.已知直线1:kx一y-3k-20.点P是圆O:x2+v=1上的一点,则点P到直线l的距离的 最大值为 16.在棱长为4的正方体ABD-A,B,(D巾.点E.F分别为棱DA.B乃,的中点.1.N分别 为线段ID小, A,B,:的动点(不包括端点).且EN LFM.则线段MN的长度的最小值为 2 四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分) (1)已知直线(过点P(一2.3).且在两坐标轴上的截距相等,求直线I的方程: (2)已知 ABC的个顶点分别是A(2.2).B(3.一1).C(1.一5),求 AB的外接圆的标 准方程. 18.(本小题满分12分) 在空间直角坐标系中.已知点A(-2.1.2).3(-1.2,2).C(-3.1.4).设a=AB.b-AC (1)若a+b与a一3b互相垂直,求A的值: (2)求点(到直线AB的距离 19.(本小题满分12分) 如图.在棱长为3的正方体ABCD-A,BCD,中.点E是棱DD上的一点,且DE=2DE (1)若点F满足BF=2FB,求证:CF∥平面A,EC: (2)底面AB(D内是杏存在一点P.使得P)⊥平面AC:E?若存在,求出线段DP的长 度:若不有在,请说明理出。 D 3 20.(本小题满分12分) 已知点P(1.3). 从条件①、条件②、条件③选择一个作为已知条件补充在横线 处.并作答 (1)求直线1的方程: (2)求直线1:2.x+y5-0火直线11的对称直线的方程. 条件①:点P关于直线l,的对称点P,的坐标为(-1.1): 条件@:点A1的坐标为(6,一2).直线l,过点(一24)且与直线P1平行: 条件③:点V的坐标为(-3.-1),直线11过点(-2.4)且与直线PN垂直. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 21.(本小题满分1?分) 图,在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是矩形.PD.L.平面ABCD.PD-2/3.DC-4.点 E.F分别为AD.IP(的巾点.HIB⊥EF. (1)求1D的长: (2)求直线PB与平面BEF所成角的正弦值 22.(本小题满分12分) 如,在四棱柱ABCD-A,BCD,中,四边形ABCD是平行四边形,AB=1,BC=4. ∠ABC=60 .CC⊥(CD.E为AD的中点.HCE⊥EC, (1)求证:(CE⊥平ABD: (2②)若平而BDC,与平面ADD,A,的夹角的余弦值为平.求三棱锥B,BDC:的体积 D 4 1 花=(-21.D.aC-4一3-2).肉为/C所以子一=号解得-1=4所以 2y-=一2.故选A. 2C因为线1的倾斜角为受所以斜卡长=an经=-1.所以-1.解得m=行故选C 3.C由B>0且5C<0.川得A.B同号.B.C异号.所以A.C也是#号.令r=0.得=一言>0:令y=0.得 =一无>0.所以直线Ar+以十C=0不经过第三象限,故选C 4A线2x十8v+2=0与直线2x+3v+4=0之间的电离山-装2.直线6r一4+-0与 √2+3 直线6r一y+a-0之间的距离d=会会=零1-.义h正方形可知=d.即2零=零 6+ 13 26 |c-|.解得|c一c|=4.故选A 4+9+4-6+u>0. 5.B由于点P(2.3)在圆C:r1y+2.r-2y+a=0外,所以( 解得一11<a<2.即a的取 4+4-4a>0. 值范周是(一11,2).故选B. 6.B因为直线l:mr十y+2m-1=0.即m(x十2)+y一1=0.所以直线1何过定点P(一2.1).故k= 号云=1,加=3二=一号直线1的斜率为-m要使直线1与线段AB有公共点则-号≤-m ≤1,解得-1≤m≤号,即m的取值范围是[一1,号]故选B 7.D由AB⊥B.AB=B(.AC=22.得AB-BC=2.以B为坐标原点,BC. BA.BB,所在直线分别为x轴,y轴.:轴.建立空间直角坐标系.如图所示. 所以F(号0.0).C(2.022).A(0.2.0).E(0.1.22).所以F- (分.0.22)A花=(0.-1.22)所以cos(F.Ai= 22X22 √分+8 18 -16.印直线AE与CF所成角的余弦值为16S.故选D 99 8.C在正三棱fP-A,中.PA=AB=4,所以PA-PB=P(=4,∠APB-/APC-∠BPC=60 .又AD= 市-P=2元-A.陀=之i+i)=是所+是成.所以访 =(2成-i): (2Pi+P)=武.i+P心,pi-合m-号成.Pi=士x4x1x+ 4 4 -号 X4-分X4X4 号=-8.故选C 9.AB因为a一b.a一b.c是不共而的向量.能构成空间的 个基底.故正确:a十b.b+c,c十是不共面的向 5 量.能构成空间的一个基底,故B正确:因为3a-6c=3a-4b+2(2b-3c).所以3a-4b.2b-3c.3a-6c是 面向量不能构成空间的一个基底,故C销误:因为a+b=a+b十c一之(2c).所以a+b:abc2c是共面 向量,不能构成空间的一个基底,故D错误.故选AB 10.1:易得八(4.0),B(0.3).所以|AB引=5.圆的标准方程为(.x+3)+(v+1)2=2.同心为(一3.一1) 例心到线3x十4-12=0的距离为d=一3X3-12=5.所以点P到直线3x+4-12=0的距离 √314F d的取监他惆为5-E.5+2].所以5w=1AB1e[52,52]故选 11.A(1)设P(a.-a-3),若|P|=2.则√(u+2)+(-u-3-1)产-2.即a+6u+8=0,解得u=-2 或a=一4.故存在点P.使得|PA|一2.故A正确: 设P(a,一a一3).当a-一2时.直线PA的斜*不存在.又km=号0.此时PA与PB不乘直: 当a=1时,直线PB的斜率不存在.义太=一号≠0此时PA与PB不垂食: 当a7-2Ru21时.n=号nm=2,若Pn.LP.则knm==-1.即2 9u+14=0.1=9一4X2X11=一31<0.方程尤解,故不存在点P.使得PA⊥PB.故B错误: i设P(a.-u-3).若2|P{=|PBl.则2√/(u+2)+(a31) (a-1)+(-u-3-1),即 2a2+1a+21=0.4=142一4X2X21=28>0.所以方程有解.侧在点P.使得2{PA|=|B|.故C 正确: 品 「a=一4 设A( 2.1)关于出线1的对称点为小'(.b).则 解得 所以 -2u+1+地+3=0 1b-1. 21 A'(4.-1).所以|PA|+|PB|=|P1'1+1Pl≥|A'B|=√(-4-T)+(-1=1)=√2丽.当1 仅当A'.P.B三点共线时取净号,故D正确.故选A(D. 12.BD以点A为坐标原点.1B.AD.A小,所在的直线分别为.r轴.y轴.:轴.建立空间直角坐标系.则 1(0.0.0).B(2.0.0).((2.2.0).D(0.2,0)1:(0.0.2).B(2.0.2).D(0.2.2).C(2,2.2).设平面 ABCD的一个法向武为m=(x,1).八B=(2.0.0).AD=(0.2.-2).则 m B=2.x1=0、 m AD=2w-2:r0 令4=1.解得n=0.=1.所以平面AB,(D的一个法向量m=(0.1.1).又4= (2,2.0Ad-(0.2,2).因为币= A+AD,=A2.2.0)+(0.2.2)=(2.2a十.2.故P(21.2a+.2. 设平面AP的一个法向级为n=(9.则。…市=2+2以+m中2:=0 n C=22:+2-0. 令=1.解得 =一1.=1.所以平面CP的-个法向量n=(1.一1.1),又m n=一1+】=0.所以mLn.所以平血 PA(C⊥平面A:B,CD.故止确:当A+4=1时.点P(2x.2.2).设平而A,B(的一个法向量= 1时-(-20.2.02-2.财w-2-2=0 u B1=-2n+2:=0. 令为=1.解得w-1=1, 所以平面AB的一个法向为u=(l.一1.1).HB亦=(2以-2.2.2 )-(一2 .2.2 ).所以点P到平面 AG的跑离为1二醉兰-是-2.义A4C的南积为定值,放棱徘小,PG的体积为定价 放B正确:当r-子时.此时P(2x2(a+子)号).所以成-(2x-22+号.).GP (2-22x-号-2)所以8球.P=(2以-2)+(2x+号)(2a-号)-三=8(a-是),8>0.所 以不存在点P.使得BP上PC,故C错误:当A=子,此时P(号2(u一子)2),所以D币 (号.2-24).i心=(2.0.0).=(0.2.2).岗为.=0.要使1平面PCD.则D. -(号,24一合2)(02.2)=-1+一0.解得=日,符合题意.故存在点P,使得上平面 P(D.故D正确.故选ABD, 13.一因为l1∥1,所以(2u+6)a一2X4=0,解得a=一4或a=1,当a=1时.:4.x+y+1=0.::8.r+2y +2=0,此时4与12重合,不符合题意:当a-一4时.h:4.x一4y+1=0.:-2x+2y一3n0.此时11∥1. 符合题意.综上a的值为-4. 14.√3由题意知BD,=AD,-范=,+A心正.所以B:=(,+AD-AB):一4:+A亦+A成 +2A,A市-2A芯,A范-2,A恋=5++2+2X2X5x之-2入2X5 号=3.所以1B丽1= √33.即BD,的长为√3 15.√1311因为直线1:k.x-y一3k-2=0.即k(r一3)一v…2-0.所以线1过定点A(3.一2),所以点P 到直线1的距离的成大值为|O1|r-3+(-2)下+1-√13+1. 16,45以D为坐标以点,DA.D心C,DD,所在的直线分别为r轴y轴 D :轴.建立空间直角坐标系.如图所示.所以E(2,0.0).F(4.1.2),设 (.,0.4).N(4.).其中0<r<4.0<v<1.则EV=(2y.4).F -(.x-4.-4.2).又E⊥.所以E F4=(2y,4) (x-4,一4.2)=2x-4y一0.所以r=2y.又0≤x<4.0<y<4.所以0< <2.所以N=√(r-4)+y4(-4)F=√(2-)+y= V5C一)广+要.所以MN-号.比时y=号即线段MN的长度 的最小值为5, 17.解:(1)显然直线1的斜穷仔作.设直线1的斜宋为k.所以直线1的方程为y一3一k(.x+2). 令=0解待=2k+3,令=0解得=一是-2.又九线1在两坐标轴上的截距相等. 所以2k+3=一是-2.解得6=一1或k=一是。 所以直线1的方程为r1y一1=0或3.r+2v=0. 5分 (2)设 13的外接圆的方程为x+y1Dx+上y十F-0. 22+2+2D+2E+F-0. 所以3+(-1)2+3L0-E+F-0.解得D-4.E=2.F=-20. 1-(-5)+10-5E+F=0. 所以 ABC的外接圆的方程为r2+y”十4.x一2y一20-0. 所以 A3C的外接侧的标准方程为(x十2)+(y十1)=25.… 10分 18.解:(1)h题意知a-心-(-1.22)-(-21.2)-(1.1.0). b=0=(-3.11)-(-21.2)=(-1.0.2).… 2分 所以加+b-1(1.1.0) ( 1.0.2)=(A-1. .2). a-3b-(1.1.0)-3(-1.0.2)-(4.1.-6). 义a十b与a一3b互.相垂直. 所以(0+b) (0-3b)=( -1.A.2) (4.1.-6)=4( -1)十1-12-0.… 5分 解得1- 6分 5 (2)h(1)知4月-(1.1.0).A0-(1.0.2). 所以os(a店A衣=T AB.AC a 打南- 10 …8分 所以点C到直线AB的距离d=√花-(os求.衣)=32 12分 2 19.(1)证明:以D为坐标原点.DA.D.DD,所在的直线分别为x轴y轴. :轴建立空间直角坐标系.如图所示.所以4,(3.0.3).(C(0.3,3). D E0.0.1).((0.3.0).5,(3.3.3).B(33.0),所以A-(-3.3.0) 1 E-(3.0.2). 设平血AEC,的一个法向量n=(ry), n…A,(=-3x+3y=0. 所以 n…E=3.x+2=0. 令x=2.解得v=2.g=一3. 所以平血A,(,的一个法向量n=(2,2.一3). …3分 若亦=2F成.则萨=号B城=号(0.03)=0.02. 所以CF=(i号B丽-(3.0.0)+(0.0.2)=(3.0.2). 所以n…C中=2X3-3X2=0,… 5分 又(CFT平而AC.所以(F∥平面A,EC.… 6分 (2)解:假设底面ABCD内存在一点P.使得PD⊥平面AC1E.设P(a,b.0)(0≤u≤3.0≤b≤3). 又D(0.0.3).所以DP-(4.b.-3).又平面A的-…个法向址n=(2.2.-3).所以DP∥n 所以号-合=寻 …分 解得a=2,b=2. 1分 所以底面1BD内存在一点P.使得P)⊥平而ACE.此时DP=√2+222. 12分 8 20.解:(1)选择条件①:因为点P关于貞线1,的对称点P,的坐标为-1.1), 所以1,是线段P,的垂直平分线, 义6m,三号=1.所以直线的斜率为-1. 又线段PP,的中点坐标为(0.2).所以直线的方程为y2=(x0),即x1y2一0.…5分 达扑条件@:肉为=3-1直线,'与直线1平行.所以直线4的斜率为1, 义直线过点( 2.d).所以直线1的方程为y一4-一(x十2).即x+y-2一0.…5分 达择条件⊙:因为0=二《二}-1:R线与线PN垂食,所以食线的斜率为-1. 义直线4过点(一2,4),所以直线的方程为v一4=一(x2).即x|y一2一0.…5分 (2)巾 中y一2=0解得3.故4.4的交点坐标为3.-1D.…7分 2.r+y-5=0.” 内为A(0,5)在直线:2x+y一5=0上.设A(0.5)关于11对称的点为A:(m), n-5-1. …9分 受+"生-2=0. 2 n=-3, 解得 …0分 n=2, 所以直线?关于直线4对称的直线经过点(3.1),(3,2), 代入两点式方程得写即r+2y一1=0. 所以直线g:2x十y一5一0关于直线1,的对称直线的方程为x十2y一1=0. 12分 21.解:(1)因为PDL平面ABD.AD,IXC平而ABD,所以D⊥AD.P)|IC 又底面小B(D是斯形.所以ADL.1… …1分 以D为坐标原点,DA.D'.DP所在的直线分别为x轴.y轴.:轴建立 空间直角坐标系.如图所示.设AD=a(>0).所以E(?.0.0): B(a.1.0).C(0.l.0).P(0.0.2/3).D(0,0.0).所以F(0.2.3).所 以Ep-(-号.23).8=(-u.-4.23).…3分 又P1BF.所以E,-(-号2)(-a,-425)=号-2 =0。+… …5分 解得a2.即AD=2. …6分 (2)由(1)知F=(-1.25).E范=(14.0) n E萨-x+2+3:=0. 设平而BEF的一个法向试n=(x,y,:),所以 n,EB=.r十4y=0. 令y 1.解得x一.=一25.所以平面BE的一个法向城n一(一1.1.一23).…9分 亦-(-2.-1,).设线PB与平面BFF所成角的大小为0, 9 所以i6= n.Bi 18-4-121 |nIBP|√16+1+12X√4F16+12 29 甲立线PB与平面B跳F所成角的正弦值为爱。 12分 2.(1)i证明:由题知.在ADE中.1DE=2AD-2,D-1∠CDE=60 h余牧定理得(CE=√DE+D(-2DE Dcos/EDC=3. 所以(径十()-DE.即(D⊥C.… 1分 又((i(D.C(门EC=C.CC.EC 平面E(:,所以CD平面ECC.…2分 义C上C平面F(G,所以CGE」(D.…3分 义CEE(C.(∩(D-C.C.CDC平而ABCD.所以(CE⊥平面AB(D.…4分 (2)解:取B的中点F,连接EF.则EF⊥.又EFC面AB(I).(:上I平而ABCD. 所以EF⊥C:E.以E为坐标原点.EF,E(C.E所作的直线分别为x轴, v轴:轴建立空间直角坐标系,如图所示.设上C=“(“>0).所以 ((0,0a).D(-13.0).B(2.-3.0).C(03.0).A(1.-√3.0).所B 以BD=(-323,0).C=(-23a).设平面B1X,的-个法向t为 n=(M).所以 n =-31+23n=0. 令出=3.解得 n,,B=-2x1-3y+ae1=0. -21=所以平面BDG的-个法向量am=(2w5.).…5分 又心=(-2.23.0).D==(0.3a).设平面ADDA的-个法向址为n:=(x). …市=-2+25如-0令=月解得=3=是 所以 n:D-5+a:=0. 所以平面ADDA的一个法向量m=(3尽,三) 6分 所以omm-授时 + 12 8分 √4+3+XV9+3+ 解得u=1或u=号 9分 因为CC∥BB,义CC定平面BDB:.BB,C平南BDB,所以(C∥平南BDB.… 10分 当a=1时.c,=V%gm,=Vem,=Vr=号sr BC=寸 号 4X1Xn120X1=得: 当a-9时M,==-m-号sm BC-号 号XXIX动120x9- 21 综上,三棱维B,-BDC,的体积为号或会 12分 10