精品解析：云南省德宏傣族景颇族自治州陇川县联考2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题

陇川县2024年春季学期普通高中高一年级期中联考 数学学科试卷 （全卷4个大题，共19个小题；共4页；满分150分；考试用时120分） 一.单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出复数即可得解. 【详解】由复数在复平面内所对应点的坐标为，得， 所以. 故选：B 2. 设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】由不共线的两个非零向量才能作为基底，结合共线定理可对各选项一一判断. 【详解】对于A，设，则无解，可以作为基底； 对于B，设，则无解，可以作为基底； 对于C，设，则无解，可以作为基底； 对于D，，所以两向量是共线向量，不能作为基底. 故选：D 3. 若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可. 【详解】若，则为纯虚数； 若为纯虚数，，则有，解得. 所以，当时，“”是复数“”为纯虚数的充要条件. 故选：C 4. 已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合题设求得，再利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为是与向量方向相同的单位向量， 所以， 因为向量在向量上的投影向量为，所以， 所以，所以， 所以， 设的夹角为θ，则， 又，所以. 故选：B. 5. 如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底法，即可求解. 【详解】解：,, , 故选：C 6. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先借助正弦定理求出，再借助余弦定理求出b即可. 【详解】由正弦定理得，得.由余弦定理，得 ，即. 故选：A. 7. 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东方向，距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处，且已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给条件求出，再借助余弦定理即可作答. 【详解】因，则，由题意得， 即， 在中，，， 由余弦定理得： 即，解得， 设船速为x，则，即， 所以货船的速度大小为海里小时. 故选：A 8. 已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理对已知条件进行边角转化，求得，结合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面积的最大值即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 即，， 又，，故；由，解得； 由余弦定理，结合，可得， 即，解得，当且仅当时取得等号； 故的面积，当且仅当时取得等号. 即的面积的最大值为. 故选：A. 二.多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为 B. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C. 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】AB 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义可判断A，根据棱柱，棱台和圆锥的定义即可判断BCD． 【详解】 对于A，直观图的面积为，故A正确； 对于B，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，正确； 对于C，两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，因为其侧棱延长线不一定交于一点，故错误； 对于D，以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故错误． 故选：AB 10. 已知点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，的夹角为钝角，则且 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的坐标，再逐项计算判断各个选项即得. 【详解】由点，，，得， 对于A，，A正确； 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，由，的夹角为钝角，得且与不共线， 即且，D正确. 故选：ACD 11. 如图所示，设在中，角、、所对的边分别为、、，，且．若点是外一点，、，下列说法中，错误的命题是（ ） A. 四边形周长的最小值为 B. 四边形周长的最大值为 C. 四边形面积的最小值为 D. 四边形面积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正弦定理对已知化简变形可求出，从而可得为正三角形，再由、，可求出的周长的取值范围，从而可求出四边形周长的取值范围，则可判断AB，利用面积公式和余弦定理可表示出四边形面积，从而可求出其范围，进而可判断CD 【详解】在中，，由正弦定理得：， ∴，∵， ∴，∴， 又∵，∴， ∴，∴为正三角形， ∵、，∴ ∵的周长的取值范围为， ∴四边形周长的取值范围为， 所以AB错误， 四边形面积 ， ∵， ∴四边形面积的取值范围为， 所以C错误，D正确， 故选：ABC． 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 复数满足，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法及乘法计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 13. 已知，为单位向量，且，若，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两个向量夹角的余弦公式求得结果. 【详解】根据题意知，为单位向量，且，若. 所以，，， ， 则，所以. 故答案为： 14. 已知分别为三个内角的对边，.若 ，则的最大值______________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理得，利用正弦定理得，再由辅助角公式可得答案. 【详解】由余弦定理得， 所以，， 因为，所以，， 由正弦定理得， 所以， 则 ，其中， 因为，当即时， 的最大值为. 故答案为：. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由向量平行的坐标表示求出未知量，进而求得，再由坐标形式的向量模长公式即可求解. （2）先由题意得，再由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 由得，所以，故， 所以. 【小问2详解】 由已知 又，所以， 解得. 16. 已知复数和它的共轭复数满足． （1）求z； （2）若z是关于x的方程的一个根，求复数的模． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）设，根据复数代数形式的运算法则及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可； （2）将代入已知方程，利用复数代数形式的乘法运算及复数为的充要条件得到方程，即可求出、，再代入，利用复数除法运算法则化简，从而求出其模； 【小问1详解】 解：设，则， 所以， 所以，即，所以； 【小问2详解】 解：将代入已知方程可得， 即，整理可得， 所以，解得， 所以，又， 故复数的模为1． 17. 已知向量，满足：，，. （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算即可求解. (2)利用向量的模的求法，即可求解. (3)利用数量积为0，即可求解. 【详解】（1）由题意得， 即，∴， ∵，∴. （2）. （3）∵，∴， 即.∴. 18. 在中，角的对边分别为，若，且． （1）求角B的值； （2）若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理边角转化得出正弦值进而得出角； （2）先化简求角，再应用面积公式得出，最后应用余弦定理得出中线. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 所以或， 又因为，则，故. 【小问2详解】 由（1）知，又，所以， 则，所以 又，所以， 在中， 由余弦定理得， 所以. 19. 已知、、分别为内角的对边，已知且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由三角恒等变换化简求解； （2）由面积公式得，再根据余弦定理求的值； （3）根据，，将周长化为三角函数求最值． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得 ， 所以， ，则，所以，即， ，则，故，因此，． 【小问2详解】 由三角形的面积公式可得， ，由余弦定理可得： ， 即 因此． 【小问3详解】 由正弦定理可得， 故， 所以， 所以 ， ，所以，则，所以， 所以， 因此，的周长的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陇川县2024年春季学期普通高中高一年级期中联考 数学学科试卷 （全卷4个大题，共19个小题；共4页；满分150分；考试用时120分） 一.单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数在复平面内所对应点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 2. 设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 与 C. 与 D. 与 3. 若，则“”是复数“”为纯虚数的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是边长为4的正方形，若，且为的中点，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东方向，距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处，且已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 8. 已知的内角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为 B. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C. 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 10. 已知点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，的夹角为钝角，则且 11. 如图所示，设在中，角、、所对的边分别为、、，，且．若点是外一点，、，下列说法中，错误的命题是（ ） A. 四边形周长的最小值为 B. 四边形周长的最大值为 C. 四边形面积的最小值为 D. 四边形面积的最大值为 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 复数满足，则____________. 13. 已知，为单位向量，且，若，则_____________. 14. 已知分别为三个内角的对边，.若 ，则的最大值______________. 四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知向量，，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 16. 已知复数和它的共轭复数满足． （1）求z； （2）若z是关于x的方程的一个根，求复数的模． 17. 已知向量，满足：，，. （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，求实数的值. 18. 在中，角的对边分别为，若，且． （1）求角B的值； （2）若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长． 19. 已知、、分别为内角的对边，已知且． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的值； （3）求周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $