2.3.1 一元二次不等式及其解法（第2课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第2课时　一元二次不等式及其解法(2) 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 要点一　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系   Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 ____________ {x|x≠－} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 ____________ ∅ ________ {x|x<x1或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ 状元随笔　一元二次不等式的解法： (1)图象法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集． 对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x －p)(x －q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x －p)(x －q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”． 要点二　分式不等式的解法 (1)≥0⇔___________； (2)>0⇔________． f(x)·g(x)>0 基础自测 1.不等式<0的解集是(　　) A．{x|x>0} B．{x|x<2} C．{x|x>2或x<0} D．{x|0<x<2} 答案：D 解析：不等式<0等价于x(x－2)<0，0<x<2， 则不等式<0的解集是{x|0<x<2}． 2．不等式>1的解集为(　　) A．{x|x<1} B．{x|0<x<1} C．{x|x>1} D．{x|x>0} 答案：B 解析：依题意>1⇒－1>0⇒>0⇔x(1－x)>0⇔x(x－1)<0⇔0<x<1，所以原不等式的解集为{x|0<x<1}． 3．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集的条件是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：要使ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，则需满足 4．若不等式x2－ax＋1＞0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________． (－2，2) 解析：因为不等式x2－ax＋1>0对任意实数x恒成立， 所以Δ＝a2－4<0，解得－2<a<2，即实数a的取值范围是(－2，2)． 题型探究 课堂解透 题型1　解分式不等式 例1　解下列不等式： (1)≥0；(2)>1. 解析：(1)原不等式可化为≤0， ∴ ∴，即－3<x≤1. 故原不等式的解集为{x|－3<x≤1}． (2)原不等式可化为－1>0. ∴>0，∴>0，则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}． 方法归纳 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 跟踪训练1　(1)不等式≥0的解集为(　　) A．{x|－6≤x≤1} B．{x|x≥1或x≤－6} C．{x|－6≤x＜1} D．{x|x＞1或x≤－6} (2)不等式≤2的解集为___________． C {x|x<2或x≥5} 解析： (1)原不等式变为：≤0⇔(x＋6)(x－1)≤0且x－1≠0.解得－6≤x<1，故原不等式的解集为{x|－6≤x<1}．故选C. (2)移项得－2≤0，即≥0， 此不等式等价于(x－5)(x－2)≥0且x－2≠0， 解得x<2或x≥5. 故原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}． 题型2　不等式恒成问题 角度1　在R上恒成立问题 例2　一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　) A．{k|－3＜k≤0} B．{k|－3≤k＜0} C．{k|－3≤k≤0} D．{k|－3＜k＜0} 答案：D 解析：∵2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，∴k≠0， 又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立， 则必有 解得－3<k<0. 角度2　在给定范围内的恒成立问题 例3　设函数y＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，y＜0恒成立，求m的取值范围； (2)对于x∈{x|1≤x≤3}，y＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 解析：(1)若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则⇒－4<m<0. ∴m的取值范围为{m|－4<m≤0}． (2)y<－m＋5恒成立， 即m(x2－x＋1)－6<0恒成立， ∵x2－x＋1＝＋>0， 又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<. ∵函数y＝＝在1≤x≤3时的最小值为. ∴只需m<即可． ∴m的取值范围为. 方法归纳 一元二次不等式恒成立问题的常见类型及解法 (1)在R上恒成立问题． ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔  ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ (2)在给定区间上的恒成立问题． 方法一：①a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. ②a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 方法二：分离参数，转化为函数的最值问题． 跟踪训练2　(1)设a为常数，∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则a的取值范围是(　　) A．{x|0＜a＜4} B．{x|0≤a＜4} C．{x|a＞0} D．{x|a＜4} (2)若对于任意x∈[m，m＋1]，都有x2＋mx－1＜0成立，则实数m的 取值范围是________________． B 解析：(1)①当a＝0时，1>0恒成立，即a＝0时满足题意； ②当a≠0时，则有，解得0<a<4， 综上得a的取值范围是{x|0≤a<4}．故选B. (2)作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈{x|m≤x≤m＋1}，都有x2＋mx－1<0，   则 解得－<m<0. 题型3　简单的高次不等式的解法 例4　(1)不等式≥0的解集为(　　) A．(1，2] C．[－3，1) (2)不等式≤0的解集为(　　) A．{x|－3<x≤1或x≥2} B．{x|x<－3或1≤x≤2} C．{x|x＝4或－3<x≤1或x≥2} D．{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2} B　 D 解析：(1)由≥0，   解得x≥－6且x≠1， 所以不等式的解集为[－6，1) (2)∵≤0， 即，即， 当x＝4时不等式成立，又∵(x－4)2≥0恒成立， 不等式， 利用穿针引线画出y＝(x＋3)(x－1)(x－2) 的简图如图所示： 解得此不等式的解集为{x|x<－3或1≤x≤2}， 故原不等式的解集为：{x|x＝4或x<－3或1≤x≤2} . 方法归纳 简单高次不等式a(x－b1)(x－b2)…(x－bn)>0的解法：穿线法． 注意：系数化正，右上往左下，奇穿偶不穿，单独考虑孤立点． 跟踪训练3　(1)不等式x>的解集是(　　) A．(1，＋∞) B．(－∞，－1) C．(－1，0) D．(－∞，－1) (2)不等式＜0的解集为__________________． C 解析：(1)因为x>，所以x－＝>0， 所以x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)>0. 画出示意图如图．   所以解集为(－1，0)故选C. (2)∵(x－1)2≥0， 所以不等式<0，等价于，即，解得：－<x<1或1<x<. 所以不等式的解集为：. 易错辨析　解分式不等式时忽略“分母不等于0”致误 例5　不等式≥0的解集为(　　) A．{x|x≥－1} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|x≥－1且x≠1} D．{x|x≥1或x≤－1} 解析：∵(x－1)2≥0， ∴原不等式等价于， 解得x≥－1且x≠1.故选C. 答案：C 易错警示 易错原因 纠错心得 忽视了(x－1)2≠0，只认为(x－1)2≥0，原不等式等价于x＋1≥0，解得x≥－1，错选A. 解分式不等式时要先移项再通分，不要去分母，使不等式右边化为0.且记“只要解分式不等式，分母都不为零”． 课堂十分钟 1．不等式＞0的解集为(　　) A．{x|x<－2或x>1} B．{x|x<－1或x>2} C．{x|－2<x<1} D．{x|－1<x<2} 答案：B 解析：因为>0等价于(x－2)(x＋1)>0，解得x>2或x<－1， 即不等式>0的解集为{x|x<－1或x>2}． 2．已知集合A＝，集合B＝{x|x>0}，则A＝(　　) A．{x|x≥－2} B．{x|x>－2} C．{x|x≥0} D．{x|x>0} 答案：B 解析：≤0⇔⇒－2<x≤0， ∵A＝{x|－2<x≤0}，B＝{x|x>0}，∴A＝{x|x>－2}． 3．不等式≤1的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：不等式≤1可化为≤0， 即 解得：x≤或x>2， 故不等式的解集为. 4．不等式2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立，则k的取值范围为(　　) A．(－8，0) B．(0，8) C．(－∞，－8) 答案：A 解析：∵2x2－kx－k>0对于一切实数恒成立， ∴Δ＝(－k)2－4×2×(－k)＝k2＋8k<0， 得－8<k<0， 即k∈(－8，0)． 5．若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集为{x|－3＜x＜1}． (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0； (2)ax2＋bx＋3＞0的解集为R，求b的取值范围．   解析：若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集为{x|－3<x<1}， 则(1－a)x2－4x＋6＝0的根为－3，1， ∴＝－3×1，解得a＝3， (1)代入a＝3，不等式2x2＋(2－a)x－a>0为2x2－x－3>0， 解得x<－1或x>， 即不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集为； (2)代入a＝3，不等式ax2＋bx＋3>0为3x2＋bx＋3>0， ∵3x2＋bx＋3>0的解集为R， ∴Δ＝b2－4×3×3<0， 解得－6<b<6. $$