9.2 正弦定理与余弦定理的应用 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

9．2　正弦定理与余弦定理的应用 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 课程标准 能用正弦定理、余弦定理解决简单的实际问题． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　实际测量中的有关名词、术语 名称 定义 图示 基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 铅垂平面 与地面垂直的平面 坡角 坡面与水平面的夹角 α为坡角 坡比 坡面的垂直高度与水平宽度之比 坡比：i＝ 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平 线上方时，视线与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平 线下方时，视线与水平线的夹角 知识点二　方位角 从正北方向按________转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图所示)． 方位角的取值范围：__________． 顺时针 0°～360° 知识点三　方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于________的水平角，如南偏西60°，指以________方向为始边，顺时针方向________旋转60°. 知识点四　解三角形实际问题的流程 90° 正南 向西 基 础 自 测 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 答案：B 解析：由图知α＝β. 2.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　) A．a km B．a km C．a km D．2a km 答案：B 解析：在△ABC中，因为AC＝BC＝a， ∠ACB＝180°－20°－40°＝120°， 由余弦定理可得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos 120°＝3a2，所以AB＝a，故选B. 3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m、 ________m． 20 解析：甲楼的高为：20tan 60°＝20×＝20(m)； 乙楼的高为：20－20tan 30°＝20－20×＝(m)． 4．如图，在救灾现场，搜救人员从A处出发沿正北方向行进x米到达B处，探测到一个生命迹象，然后从B处沿南偏东75°行进30米到达C处，探测到另一个生命迹象，如果C处恰好在A处的北偏东60°方向上，那么x＝(　　) A．10米 B．10米 C．10米 D．10米 答案：D 解析：依题意得C＝180°－A－B＝45°， 由正弦定理得＝，所以＝，x＝10.故选D. 课堂探究·素养提升 题型1　测量不便到达的两点之间的距离问题 例1　要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离． 将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形． 【解析】　如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°， ∴AC＝CD＝ km. 在△BCD中，∠BCD＝45°， ∠BDC＝75°，∠CBD＝60°. ∴BC＝＝. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝()2＋－2××cos 75° ＝3＋2＋＝5， ∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为 km. 方法归纳 测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决． 跟踪训练1　在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，求A，C两点之间的距离为________千米． 解析：如图所示，∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°， ∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，   ∴由正弦定理＝，得＝，解得AC＝，即A，C两点之间的距离为千米． 题型2　测量高度问题 例2　(1)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值． 【解析】　由AB＝，BD＝， AD＝及AB＋BD＝AD， 得＝， 解得H＝＝＝124. 因此，算出的电视塔的高度H是124 m. (2)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD＝α＝35°，∠BDC＝β＝100°，CD＝400 m．在点C测得塔顶A的仰角为50.5°. ①求B与D两点间的距离(结果精确到1 m)； ②求塔高AB(结果精确到1 m)． 参考数据：取sin 35°＝0.811，sin 80°＝1.393，tan 50.5°＝1.2. ①在△BCD中，∠CBD＝180°－α－β＝45°， 由正弦定理得＝， 则BD＝＝＝400sin 35°＝400×0.811＝324.4≈324 m. ②由正弦定理得＝， 则BC＝＝＝＝400sin 80°＝400×1.393＝557.2 m． 故塔高AB＝BC tan 50.5°＝557.2×1.2≈668.64≈669 m． 状元随笔　①求出∠CBD＝45 °，在△BCD中利用正弦定理进行求解． ②先在△BCD中利用正弦定理求出BC的长度，进而利用正切值求出塔高AB. 方法归纳 解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图． (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形． (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用． 跟踪训练2　(1)如图所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100 m，点C位于BD上，则山高AB等于(　　) A．100 m B．50 m C．50 m D．50(＋1) m 答案：D 解析：设山高为h，则由题意知 CB＝h，DB＝h， 所以h－h＝100，即h＝50(＋1)． (2)如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，求山的高度BC. 解析：由题意知∠AMD＝45°，则AM＝MD＝400， 又由∠CAB＝60°，所以∠MAC＝180°－60°－45°＝75°，∠ACM＝180°－75°－60°＝45°， 在△MAC中，由正弦定理得＝，即＝， 解得AC＝400，则BC＝AC sin 60°＝600，即山的高度为600 m. 题型3　求航向的角度 例3　某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间． 【解析】　 如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h. 此时AB＝14，BC＝6. 在△ABC中，根据正弦定理得＝， 所以sin ∠CAB＝＝， 即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°. 所以舰艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近渔轮． 状元随笔　本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形． 方法归纳 (1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． (2)在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角．但角在(0，]上时，用正、余弦定理皆可． 跟踪训练3　甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？ 解析：设甲船沿直线AC与乙船同时到达C点，则A，B，C三点构成△ABC，如图．设乙船速度为v海里/时，则甲船速度为v海里/时，用时为t h. 由题意得BC＝vt，AC＝vt，∠ABC＝120°. ∴3v2t2＝a2＋v2t2＋avt， ∴2v2t2－avt－a2＝0，解得vt＝－(舍去)或vt＝a， ∴BC＝a海里． 在△ABC中，AB＝BC＝a海里，∴∠BAC＝∠ACB＝30°. 故甲船应沿北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上 乙船，此时乙船行驶了a海里． 题型4　求解速度问题 【思考探究】　1.某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50 °，距离是4 km，从B到C，方位角是80 °，距离是8 km，从C到D，方位角是150 °，距离是6 km，试画出示意图． [提示]　如图所示： 2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？ [提示]　如探究1图，在△ABC中，∠ABC ＝50°＋(180°－80°) ＝150°，由余弦定理得AC ＝ ＝，则此人的最小速度为v ＝ ＝8(km/h)． 3．在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？ [提示]　投递员到达C点的时间为t1 ＝ ＝(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2 ＝≈0. 275 小时 ＝16.5分钟；由于30>16.5＋10，所以此人在C点能与投递员相遇． 例4　如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？ 【解析】　根据已知图形构造三角形，利用余弦定理建立速度与时间的函数求解． 作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos ∠MOI＝. 设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时， 由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×， 即v2＝＋2 500＝25＋900≥900， ∴当t＝时，v取得最小值为30， ∴其行驶距离为vt＝＝(公里)． 故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里． 方法归纳 解决实际问题应注意的问题 (1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题． 跟踪训练4　一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，则此船的航行速度为(　　) A．8()海里/时 B．8()海里/时 C．16()海里/时 D．16()海里/时 答案：D 解析：如图，由题意得，在△SAB中，∠BAS＝30°， ∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°. 由正弦定理得＝， 即＝，得AB＝8()海里， 因此该船的航行速度为＝16()(海里/时)． 题型5　求三角形周长、面积的最值或范围 例5　(1)已知a＝(sin x，sin x)，b＝(sin x，－cos x)，f(x)＝a·b. ①求f(x)的单调递增区间； ②△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c.若f(A)＝，a＝4，求△ABC周长的取值范围． 【解析】　①由已知得f(x)＝sin2x－sinx cos x＝－(cos 2x＋sin 2x)＝－sin (2x＋)， ∴由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋， 解得＋kπ≤x≤＋kπ， ∴f(x)在[kπ＋，kπ＋]，k∈Z上单调递增． ②由f(A)＝－sin (2A＋)＝，得2A＋＝2kπ＋，k∈Z，即A＝kπ＋，0<A<π，则A＝， 而a＝4，由余弦定理知：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝16，有b2＋c2＋bc＝16， 所以(b＋c)2＝16＋bc≤16＋，所以0<b＋c≤，当且仅当b＝c时等号成立，而在△ABC中b＋c>4， ∵周长l＝a＋b＋c＝4＋b＋c，∴8<l≤4＋. 所以△ABC周长的取值范围为(8，4＋]. (2)已知f(x)＝sin 2x＋cos2x－. ①求f(x)的最小正周期和单调减区间； ②在△ABC中，f(A)＝－，D为BC中点，AD＝，求△ABC面积的最大值． 【解析】　①由f(x)＝sin 2x＋cos 2x－1＝sin (2x＋)－1，则T＝＝π， 令＋2kπ≤2x＋＋2kπ且k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ且k∈Z， 所以f(x)单调减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z. 综上，f(x)最小正周期为π，单调减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z. ②由题设，f(A)＝sin (2A＋)－1＝－，即sin (2A＋)＝， 又0<A<π，则<2A＋<，故2A＋＝，可得A＝， 而＝2，故()2＝＋2·＝4＝12， 令b＝||，c＝||，则b2＋2bc cos A＋c2＝b2＋bc＋c2＝12≥3bc， 所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立，则△ABC面积S＝bc sin A≤， 综上，△ABC面积的最大值为. 状元随笔　①利用倍角余弦公式、辅助角公式可得f(x)＝sin(2x＋)－1，根据正弦型函数的性质求最小正周期、单调减区间． ②由题设有sin (2A＋)＝，结合三角形内角的范围可得A＝，再由＝2并应用向量数量积的运算律、基本不等式可得b2＋bc＋c2＝12≥3bc，注意等号成立条件，最后应用三角形面积公式求面积即可． 跟踪训练5　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin 2B＋b sin A＝0. ①求角B； ②若c＝2，A为△ABC的最小角，求△ABC周长的取值范围． ①利用正弦定理、两角和的正弦公式化简已知条件，求得cos B，进而求得B. ②结合正弦定理、三角恒等变换、三角函数的值域，求得a＋b的取值范围，从而求得△ABC周长的取值范围． 解析：①由正弦定理可得sin A sin 2B＋sin B sin A＝0， 又因为sin A>0，得sin 2B＋sin B＝0，则2sin B cos B＋sin B＝0. 因为sin B>0，得cos B＝－， 因为B∈(0，π)，所以B＝. ②由①知A＋C＝，又A≤C，所以≤C<. 由正弦定理＝＝，得＝＝， 则a＝，b＝， 则a＋b＝＝＝＝－1＝－1＝－1＝－1. 由<，得2－≤tan <，可得2<a＋b≤2＋2. 故△ABC周长的取值范围为(4，2＋4]. (2)已知在△ABC中，∠A＝120°，∠A的角平分线与BC相交于点D. ①若AC＝2AB＝2，求CD的长； ②若AD＝1，求△ABC面积的最小值． 解析：①因为AC＝2AB＝2，∠A＝120°， 利用余弦定理可得：BC2＝AC2＋AB2－2AB×AC×cos ∠A＝7，故BC＝， 在△ABD中，＝， 在△ACD中，＝， 两式相除可得＝＝，又BD＋CD＝，所以CD＝. ②根据题意得△ABC的面积等于△ABD的面积与△ACD的面积之和， 又AB＝c，AC＝b，所以×bc＝×b×1＋×c×1， 整理得：bc＝b＋c，又bc＝b＋c≥2，当且仅当b＝c＝2时取等号， 故≥2，则bc≥4，所以S△ABC＝×bc≥×4＝， 故△ABC面积的最小值为. 教材反思 1．利用正弦定理、余弦定理可以解决一个可以到达的点与另一个不可以到达的点之间的距离问题(一般利用正弦定理，解一个三角形即可)，还可以解决两个不可到达的点之间的距离问题．解决此类问题，先利用测量工具测出所构造的三角形的有关的边和角，再通过解三角形求相应距离． 2．利用正弦定理、余弦定理可以解决底(顶)部不能到达的物体的高度问题或者是航海航天中的角度问题．解决此类问题的策略是先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解一个直角三角形和一个斜三角形或两个直角三角形使问题得解． $$