1.2.3含有量词的命题第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

第1课时　含有量词的命题 新知初探•课前预习 题型探究•课堂解透 新知初探•课前预习 最新课程标准 1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2．能正确使用存在量词对全称命题进行否定． 3．能正确使用全称量词对特称命题进行否定． 学科核心素养 1. 理解全称命题与特称命题的概念，并能用数学符号表示．(数学抽象) 2．能判断全称命题与特称命题的真假．(逻辑推理) 3．能对含有一个量词的全称命题或特称命题进行否定．(逻辑推理) 4．能利用命题或它的否定求参数．(逻辑推理、数学运算) 教材要点 要点一　全称量词和全称命题 全称量词 __________、__________、__________、__________ 符号 ∀ 全称命题 含有____________的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立 ”，可用符号简记为“________________ ” 所有的 任意一个 一切 任给 全称量词 ∀x∈M，p(x) 要点二　存在量词和特称命题 存在量词 __________、__________、__________、__________ 符号表示 ∃ 特称命题 含有____________的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立 ”，可用符号简记为“________________ ” 存在某个 至少有一个 有些 有的 存在量词 ∃x∈M，p(x) 状元随笔　全称命题与特称命题的区别 (1)全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”． (2)特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”． 基础自测   1．思考辨析(正确的画“√ ”，错误的画“× ”) (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题．(　　) (2)特称命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题．(　　) (3)在全称命题和特称命题中，量词都可省略．(　　) (4)全称命题“自然数都是正整数 ”是真命题．(　　) √ √ × × 2．下列全称命题为真命题的是(　　) A．所有的质数是奇数 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数x，x2也是无理数 D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案：B 解析：A中，2是质数，但2不是奇数，A不正确；B中，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，B正确；C中，x＝是无理数，x2＝2是有理数，C不正确；D中，个位数是0的整数能被5整除，D不正确．故选B. 3．下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R，|x|≥0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0 C．∃x∈R，x＋2 019＜1 D．∃x∈R，2x＞2 答案：B 解析：当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B项为假命题．故选B. 4．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________． ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数． ①②③ ④ 解析：①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称命题；④是特称命题． 题型探究•课堂解透 全称命题及其真假判断 例1　判断下列命题哪些是全称命题，并判断其真假． (1)对任意x∈R，x2＞0； (2)有些无理数的平方也是无理数； (3)对顶角相等； (4)对任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0. 解析：(1)(3)(4)是全称命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(4)是真命题． 方法归纳 1．判断全称命题的关键有两点：一是是否具有命题所要求的量词或形式；二是根据命题的含义判断指的是不是全体． 2．要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”为真，需要对集合M每个元素x，证明p(x)成立． 3．要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”为假，只需在M中找到一个x0，使p(x0)不成立，即“举反例”． 跟踪训练1　用量词符号“∀ ”表示下列命题，并判断其真假． (1)实数都能写成小数形式； (2)平行四边形的对角线互相平分．   解析： (1)∀x∈R，x能写成小数形式，因为无理数不能写成小数形式，所以该命题是假命题． (2)∀x∈{x|x是平形四边形}，x的对角线互相平分，由平行四边形的性质可知此命题是真命题． 题型二　特称命题及其真假判断 例2　判断下列命题哪些是特称命题，并判断其真假． (1)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0； (2)凸多边形的外角和等于360°； (3)有一个实数x，使＝0； (4)至少有一个集合A，满足A {1，2，3}． 解析：(1)(3)(4)是特称命题，(1)是真命题，(3)是假命题，(4)是真命题． 方法归纳 1．命题中含有存在量词，则该命题是特称命题． 2．有些命题虽然没有写出存在量词，但其具备 “有些”“有一个”等含义，这样的命题都是特称命题． 3．要判断特称命题“∃x∈M，p(x)”为真，只需在M中找到一个x0，使p(x0)成立，即“找特例”． 4．要判断特称命题“∃x∈M，p(x)”为假，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都不成立． 跟踪训练2　以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使＞2 答案：B 解析：A中，锐角三角形中的内角都是锐角，A为假命题；B中，是特称命题，当x＝0时，x2＝0成立，B为真命题；C中，因为＋(－)＝0，所以C为假命题；D中，对于任何一个负数x，都有<0，所以D为假命题．故选B. 题型3　根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围 例3　(1)已知集合A＝{x|1≤x≤2}，若命题“∀x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方 ”是真命题，则实数m的取值范围是________． (2)若命题“∃x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立 ”是真命题，求实数a的取值范围． 答案：(1){m|m>－1}　(2)见解析 解析：(1)当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m>0，即m>－1，所以实数m的取值范围是{m|m>－1}． (2)由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.综上知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}． 变式探究　若命题“∃x∈R，使得方程“x2＋2x＋2＝m ”，求实数m的取值范围． 解析：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1. 方法归纳 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决． 跟踪训练3　(1)已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0 ”是真命题，则实数m的取值范围是________． (2)若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m ”是真命题，则实数m的取值范围是________． m≥0 m≤5 解析： (1)当x∈R时，x2≥0，若“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0. (2)当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题． 课堂十分钟 1．(多选)下列四个命题中是全称命题的有(　　) A．y＝⇔xy＝1 B．矩形都不是梯形 C．∃x，y∈R，x2＋y2≤1 D．等腰三角形的底边的高线、中线重合 答案：ABD 解析：ABD是全称命题，C是特称命题． 2．下列四个命题中为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2－2x＋2＞0恒成立 B．x∈Q，x2＝2 C．∃x∈R，x2＋1＝0 D．∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2 答案：A 解析： A中x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，故A为真命题；B中因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故B为假命题；C中因为x2＋1>0(x∈R)恒成立，故C为假命题；D中原不等式可化为x2－2x＋1>0，即(x－1)2>0，当x＝1时(x－1)2＝0，故D为假命题． 3．命题“存在实数x，使得2x大于3x”用符号语言可表示为_____________. ∃x∈R，2x>3x 解析：命题“存在实数x，使得2x大于3x”用符号语言可表示为：∃x∈R，2x>3x. 4．“任意一个不大于0的数的立方不大于0 ”用“∃ ”或“∀ ”符号表示为________________． ∀x≤0，x3≤0 解析：命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0. 5. 命题：3mx2＋mx＋1＞0恒成立是真命题，求实数m的取值范围． 解析：“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论． 当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意； 当m>0，且Δ＝m2－12m<0， 即0<m<12时，3mx2＋mx＋1>0恒成立， 所以0<m<12满足题意． 综上所述，实数m的取值范围是0≤m<12.  $$