9.1.1 正弦定理 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

9．1.1　正弦定理 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 课程标准 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理． 2．能用正弦定理解决简单的实际问题． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　正弦定理 知识点二　解三角形 (1)一般地，我们把三角形的________及其________分别叫做三角形的元素． (2)已知三角形的若干元素求________一般称为解三角形． 所对角的正弦 ＝＝ 三个角 对边 其他元素 状元随笔　(1)正弦定理常见的变形式： ①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； ②＝＝＝＝2R； ③a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； ④sin A＝，sin B＝，sin C＝. (2)利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角． (3)正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化． 知识点三　三角形的面积公式 若记△ABC的面积为S，则S＝________＝________＝________． ab sin C ac sin B bc sin A 基 础 自 测 1．在△ABC中，已知a＝3，b＝5，sin A＝.则sin B＝(　　) A． B． C． D．1 答案：B 解析：由正弦定理＝可得，sin B＝＝＝，故选B. 2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，若∠B＝30°，b＝2，则的值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案：C 解析：由正弦定理可得＝＝＝4.故选C. 3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝30°，B＝45°，b＝2，那么a等于(　　) A． B． C． D．3 答案：A 解析：根据正弦定理得到边角对应关系，然后计算a的值．由正弦定理可知：＝，所以＝，解得：a＝，故选A. 4．在△ABC中，AB＝4，B＝，点D在边BC上，∠ADC＝，CD＝2，则AD＝________；△ACD的面积为________． 解析：因为∠ADC＝，所以∠ADB＝，在△ABD中，由正弦定理得＝， AD＝＝＝4. 在△ACD中，S△ACD＝·AD·DC·sin ∠CDA＝×4×2×＝2. 4 2 课堂探究·素养提升 题型1　已知两角及一边解三角形 例1　(1)在△ABC中，已知c＝10，∠A＝45°，∠C＝30°，求a，b； (2)在△ABC中，已知a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°，求∠A，b，c. 【解析】　(1)方法一　∵∠A＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°. 由＝得a＝＝＝10. ∵sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝， ∴b＝＝20×＝5＋5. 方法二　设△ABC外接圆的直径为2R， 则2R＝＝＝20. 易知∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°， ∴a＝2R sin A＝20×sin 45°＝10， b＝2R sin B＝20×sin 105° ＝20× ＝5＋5. (2)∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由正弦定理＝，得b＝＝＝4. 由＝，得c＝＝＝ ＝4(＋1)． 方法归纳 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． 跟踪训练1　在△ABC中，a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求边c. 解析：由三角形内角和定理知∠A＋∠B＋∠C＝180°， 所以∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理＝， 得c＝a·＝5·＝5· ＝5·＝)． 题型2　已知两边及一边的对角解三角形 例2　(1)在△ABC中，分别根据下列条件解三角形： ①a＝1，b＝，∠A＝30°； ②a＝，b＝1，∠B＝120°. 【解析】　①根据正弦定理，sin B＝＝＝. ∵b>a，∴∠B>∠A＝30°，∴∠B＝60°或120°. 当∠B＝60°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋60°)＝90°， ∴c＝＝＝2； 当∠B＝120°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝∠A，∴c＝a＝1. ②根据正弦定理，sin A＝＝＝>1. 因为sin A≤1.所以A不存在，即无解． (2)满足条件a＝4，b＝3，A＝45°的三角形的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在 【答案】　B 【解析】　在△ABC中，因为a＝4，b＝3，A＝45°， 由正弦定理＝ ，可得sin B＝＝＝， 因为4<3，即a<b，则0°<B<135°有两解，所以三角形的个数是2个． 方法归纳 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法： (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． 跟踪训练2　(1)已知△ABC，根据下列条件，解三角形： ①a＝2，c＝，∠C＝； ②a＝2，c＝，∠A＝. 解析：(1)①∵＝，∴sin A＝＝. ∵c>a，∴∠C>∠A.∴∠A＝. ∴∠B＝，b＝＝＝＋1. ②∵＝，∴sin C＝＝. 又∵a<c，∴∠C＝或. 当∠C＝时，∠B＝，b＝＝＋1. 当∠C＝时，∠B＝，b＝＝－1. (2)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝30°，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　) A．x>2 B．0<x<2 C．2<x<3 D．2<x<4 答案：D 解析：如图所示： 因为AC＝b＝2，若三角形有两个解， 则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点， 当∠A＝90°时，圆与BA相切，不合题意； 当∠A＝30°时，圆与BA交于B点，不合题意； 所以30°<∠A<150°，且∠A≠90°， 所以<sin A<1.由正弦定理得： sin A＝＝x，则<x<1， 解得2<x<4，故选D. 题型3　利用正弦定理判断三角形的形状 【思考探究】　1.已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理． [提示]　如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD ·sin ∠BDC，所以a＝2R sin A， 即＝2R，同理＝2R，＝2R， 所以＝＝＝2R. 2．由＝＝可以得到a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？ [提示]　(1) ＝ ， ＝ ， ＝. (2) ＝ ＝ ＝. (3)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B． 例3　在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 【解析】　方法一　在△ABC中，根据正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴＝＋， 即a2＝b2＋c2， ∴∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°， 由sinA＝2sin B cos C， 得sin 90°＝2sin B cos (90°－B)，∴sin2B＝. ∵∠B是锐角，∴sinB＝， ∴∠B＝45°，∠C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 方法二　在△ABC中，根据正弦定理，得 sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)． ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2， ∴△ABC是直角三角形且∠A＝90°. ∵∠A＝180°－(∠B＋∠C)， sinA＝2sin B cos C， ∴sin (B＋C)＝2sin B cos C. ∴sin B cos C－cos B sin C＝0， 即sin (B－C)＝0.∴∠B－∠C＝0，即∠B＝∠C. ∴△ABC是等腰直角三角形． 状元随笔　①∠A＝π－(∠B＋∠C)； ②边角转化，sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝. 方法归纳 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径： (1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用∠A＋∠B＋∠C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 跟踪训练3　(1)已知方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，∠A、∠B为两内角，试判断这个三角形的形状． 解析：设方程的两根为x1、x2， 由根与系数的关系得 ∴b cos A＝a cos B. 由正弦定理得2R sin B cos A＝2R sin A cos B(R为△ABC外接圆的半径)， ∴sin A cos B－cos A sin B＝0，sin (A－B)＝0. ∵∠A、∠B为△ABC的内角， ∴0<∠A<π，0<∠B<π，－π<∠A－∠B<π， ∴∠A－∠B＝0，即∠A＝∠B. 故△ABC为等腰三角形． (2)设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 答案：B 解析：因为b cos C＋c cos B＝a sin A， 所以由正弦定理可得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A， sin(B＋C)＝sin2A⇒sinA＝sin2A， 所以sinA＝1，A＝， 所以△ABC是直角三角形． 题型4　三角形的面积等综合问题(数学运算) 例4　(1)在△ABC中，∠A＝60°，AB∶AC＝8∶5，若三角形面积为10，则AB＝________； 8 【解析】　由已知AB∶AC＝8∶5，则可设AB＝8t，AC＝5t(t>0)，记△ABC面积为S，则S＝×AB×AC×sin A＝×8t×5t×＝10t2＝10，可得t＝1，所以AB＝8. (2)在△ABC中，a＝4，b＝1，cos C＝，则△ABC的面积为(　　) A．　　 B．2 C．　　 D．2 【答案】　C 【解析】　因为cos C＝，且0<C<π，所以C＝，又a＝4，b＝1，所以△ABC的面积为ab sin C＝×4×1×＝. (3)在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2b sin A，求cos A＋sin C的取值范围． 【解析】　在锐角△ABC中，根据正弦定理，a＝2R sin A，b＝2R sin B，其中R为外接圆半径． 因为a＝2b sin A，所以2R sin A＝4R sin B sin A，所以sin B＝. 因为△ABC为锐角三角形，所以B＝. 令y＝cos A＋sin C＝cos A＋sin [π－(B＋A)]＝cos A＋sin (＋A) ＝cos A＋sin cos A＋cos sin A ＝cos A＋sin A ＝cos A＋sin A) ＝sin (A＋)． 由锐角△ABC知，－B<A<，所以<A<. 所以<A＋<，所以<sin (A＋)<， 所以<sin (A＋)<，即<y<. 所以cos A＋sin C的取值范围是()． 状元随笔　利用正弦定理，把cos A＋sin C转化为一个角的函数，利用三角函数的性质求解． 方法归纳 (1)三角形面积问题的求解方法 对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)利用正弦定理求三角函数式的最值或范围的关键是根据已知条件，灵活运用正弦定理及三角基本关系式，对边角关系进行相互转化，借助三角恒等变换解决问题． 跟踪训练4　(1)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积是(　　) A． B． C．或 D．或 答案：C 解析：＝，所以sin C＝＝，C＝或π. ①当C＝时，A＝π－(B＋C)＝，所以S△ABC＝AB·AC·sin A＝； ②当C＝π时，A＝π－(B＋C)＝，所以S△ABC＝AB·AC·sin A＝. (2)在△ABC中，已知b＝5，A＝60°，S△ABC＝5，则c＝(　　) A．4　　　 B．16 C．21　　　 D． 答案：A 解析：因为b＝5，A＝60°，S△ABC＝5，所以S△ABC＝bc sin A，所以×5×sin 60°c＝5，解得c＝4. (3)如图所示，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β. ①求证：sin α＋cos 2β＝0. ②若AC＝DC，求β的值． 解析：①证明：在Rt△ABC中，因为AB＝AD，所以∠ADB＝∠ABC＝β.因为α＝－∠BAD＝－(π－2β)＝2β－， 所以sin α＝sin (2β－)，即sin α＝－sin (－2β)． 所以sin α＝－cos 2β，所以sin α＋cos 2β＝0. ②在△ADC中，根据正弦定理，＝. 又AC＝DC，∠ADC＝π－β， 所以＝，所以sin β＝sin α. 由①知：sin α＝－cos 2β，所以sin β＝－cos 2β. 所以2sin2β－sinβ－＝0，解得sin β＝或－. 因为0<β<，所以sin β＝，所以β＝. 教材反思 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正弦定理的推导． 2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形： (1)＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝＝； (4)在△ABC中，sin A>sin B⇔A>B⇔a>b. 3．要掌握正弦定理的三个应用： (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角． (3)判断三角形的形状． 4．本节课的易错点有两处： (1)已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现无解或两解的情况． (2)在判断三角形的形状时易混淆“等腰或直角三角形”与“等腰直角三角形”． $$