8.2.2两角和与差的正弦第一课时课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

第1课时　两角和与差的正弦 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式，了解它们的内在联系． 2．能运用上述公式进行简单的恒等变换． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　两角和与差的正弦公式 (1)Sα＋β：sin (α＋β)＝__________________． (2)Sα－β：sin (α－β)＝__________________． 知识点二　辅助角公式 y＝a sin x＋b cos x＝____________sin (x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝____________，sin θ＝____________. sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 状元随笔　根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？ [提示]　对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”． 基 础 自 测 1．cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为(　　) A． B． C． D．以上都不对 答案：A 解析：原式＝sin (13°＋17°)＝sin 30°＝. 2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin (α＋)＝(　　) A．－　 B． C．－　　 D． 答案：A 解析：∵cos α＝－，α为第三象限角，∴sin α＝－，由两角和的正弦公式得sin (α＋)＝sin αcos ＋cos α·sin ＝(－)×＋(－)×＝－. 3．函数y＝sin x－cos x的最小正周期是(　　) A．　　　 B．π C．2π　　　 D．4π 答案：C 解析：y＝sin x－cos x＝sin x－cos x)＝sin (x－)，∴函数的最小正周期为T＝2π. 4．已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos (π＋β)＝－，则sin (α＋β)＝________． 0 解析：∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝. 又β为第四象限角，且cos (π＋β)＝－cos β＝－， ∴cos β＝，sin β＝－. ∴sin (α＋β)＝×(－)＝0. 课堂探究·素养提升 题型1　利用公式化简求值 例1　(1)＝(　　) A．－ B．－ C． D． 【答案】　C 【解析】　 ＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. (2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值； 【解析】　原式＝sin (180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67° ＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin (23°＋67°)＝sin 90°＝1. (3)求sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)的值． 【解析】　sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°) ＝sin (θ＋15°＋60°)＋cos (θ＋15°＋30°)－cos (θ＋15°) ＝sin (θ＋15°)cos 60°＋cos (θ＋15°)sin 60°＋cos (θ＋15°)·cos 30°－sin (θ＋15°)sin 30°－cos (θ＋15°) ＝sin (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)－sin (θ＋15°)－cos (θ＋15°)＝0. 状元随笔　(1)化简求值应注意公式的逆用． (2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值． 方法归纳 (1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正负相消的项，消去，求值； ③化为分子、分母形式，进行约分再求值． (2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换． 跟踪训练1　化简下列各式： (1)sin (x＋)＋2sin (x－)－cos (－x)； (2)－2cos (α＋β)． 解析：(1)原式＝sin x cos ＋cos x sin ＋2sin x cos －2cos x sin cos cos x－sin sin x ＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x ＝(＋1－)sin x＋()cos x＝0. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝. 题型2　给值(式)求值 例2　(1)设α∈(，π)，β∈(，2π)，若cos α＝－，sin β＝－，求sin (α＋β)的值． 应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值． 【解析】　因为α∈(，π)，cos α＝－， 所以sin α＝， 因为β∈(，2π)，sin β＝－， 所以cos β＝. 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝＋(－)×(－)＝. (2)已知sin α＝，cos (α＋β)＝－且α，β均为锐角． ①求sin (2α＋β)；②求β. 【解析】　①因为α，β∈(0，)，sin α＝，所以cos α＝＝. 又因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin (α＋β)＝＝， 所以sin(2α＋β)＝sin (α＋α＋β)＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β) ＝×(－)＋＝－. ②sin β＝sin (α＋β－α)＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α ＝··＝＝， 又因为β∈(0，)，所以β＝. 跟踪训练2　已知0<β<α<，点P(1，4)为角α的终边上一点，且sin αsin (－β)＋cos αcos (＋β)＝，则角β＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为|OP|＝7，所以sin α＝，cos α＝. 由已知sin αsin (－β)＋cos αcos (＋β)＝， 根据诱导公式化简得sin αcos β－cos αsin β＝， 所以sin (α－β)＝， 因为0<β<α<，所以0<α－β<， 所以cos (α－β)＝＝， 所以sinβ＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β) ＝＝， 因为0<β<，所以角β＝. 方法归纳 (1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式． 提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值． 题型3　辅助角公式的应用 【思考探究】　(1)函数y＝sin x＋cos x(x∈R)的最大值为2对吗？为什么？ [提示]　不对．因为sin x＋cos x ＝sin x ＋cos x) ＝(sin x·cos ＋cos x·sin) ＝sin (x ＋)， 所以函数的最大值为. (2)函数y＝3sin x ＋4cos x的最大值等于多少？ [提示]　因为y ＝3sin x＋4cos x ＝5(sin x ＋cos x)， 令cos φ＝，sin φ＝， 则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ) ＝5sin (x＋φ)， 所以函数y的最大值为5. (3)如何推导a sin x ＋b cos x＝sin (x ＋φ)(tan φ＝)公式？ [提示]　a sin x ＋b cos x ＝sin x ＋cos x)， 令cos φ ＝，sin φ ＝，则 a sin x ＋b cos x ＝(sin x cos φ ＋cos x sin φ) ＝sin (x ＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ ＝确定，或由sin φ ＝和cos φ ＝共同确定)． 例3　(1)函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的单调递增区间是(　　) A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) C．[kπ－，kπ＋](k∈Z) D．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z) 【答案】　A 【解析】　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，(k∈Z)， 即函数的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)． (2)设函数f(x)＝sin x＋sin (x＋)． ①求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合； ②不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到． 【解析】　①f(x)＝sin x＋sin x cos ＋cos x sin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x ＝(sin x cos ＋cos x sin )＝sin (x＋)， 当sin (x＋)＝－1时，f(x)min＝－， 此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)． 所以f(x)的最小值为－，x的集合为{x|x＝＋2kπ，k∈Z}． ②将y＝sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图象； 然后将y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)＝sin (x＋)的图象． 状元随笔　辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并． 跟踪训练3　(1)已知a＝(，－1)，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝a·b，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间； 解析：f(x)＝sin x－cos x ＝2(sin x·－cos x·) ＝2(sin x cos －cos x sin )＝2sin (x－)， 所以T＝＝2π，值域为[－2，2]. 由－＋2kπ≤x－＋2kπ， 得单调递增区间[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z. 状元随笔　解答此类问题的关键是巧妙构建公式Cα－β、Cα＋β、Sα－β、Sα＋β的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值． (2)已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)图象的一个对称中心是(　　) A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(，0) 答案：C 解析：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)， 将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位， 得到函数y＝g(x)的图象， 即g(x)＝sin [2(x－)＋]＝sin (2x－)， 由2x－＝kπ，得x＝，k∈Z， 当k＝1时，x＝＝， 即函数g(x)的一个对称中心为(，0)． 方法归纳 (1)把所给函数展开，合并化简，然后利用辅助角公式化成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求解． (2)函数图象可通过y＝sin x→y＝sin (x＋)→y＝sin (x＋)的顺序得到． 教材反思 (1)两角和与差的正弦公式的结构特点 ①公式中的α，β均为任意角． ②两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例． ③两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”． (2)两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系 (3)使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式． $$