9.1.2余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

9．1.2　余弦定理 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 课程标准 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理． 2．能用余弦定理解决简单的实际问题． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　余弦定理 (1)三角形任何一边的________等于其他两边的________减去这两边与它们________的余弦的积的________，即a2＝______________，b2＝______________，c2＝______________． (2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题． ①已知三边，求________． ②已知________和它们的________，求第三边和其他两个角． 平方 平方和 夹角 两倍 b2＋c2－2bc cos A a2＋c2－2ac cos B a2＋b2－2ab cos C 三角 两边 夹角 状元随笔　利用余弦定理只能解决以上两类问题吗？ [提示]　是． 知识点二　余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形： cos A＝________________； cos B＝________________； cos C＝________________． (2)利用余弦定理的变形判定角： 在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔∠C为________；c2>a2＋b2⇔∠C为________；c2<a2＋b2⇔∠C为________. 直角 钝角 锐角 基 础 自 测 1．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：根据正弦定理，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)． 则有cos C＝＝. 2．在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则b为(　　) A．5 B．8 C．5或－8 D．－5或8 答案：B 解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C， 即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0. 因为b>0，所以b＝8. 3．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则∠B＝________． 60° 解析：cos B＝＝＝，∠B＝60°. 4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则∠A＝________． 120° 解析：∵a2＝b2＋bc＋c2， ∴b2＋c2－a2＝－bc， ∴cos A＝＝＝－， 又∵0°＜∠A＜180°， ∴∠A＝120°. 课堂探究·素养提升 题型1　已知两边及一角解三角形 例1　已知△ABC，根据下列条件解三角形： a＝，b＝，∠B＝45°. 【解析】　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B. ∴2＝3＋c2－2·c. 即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝. 当c＝时，由余弦定理，得 cos A＝＝＝. ∵0°<∠A<180°，∴∠A＝60°，∴∠C＝75°. 当c＝时，由余弦定理，得 cos A＝＝＝－. ∵0°<∠A<180°，∴∠A＝120°，∠C＝15°. 故c＝，∠A＝60°，∠C＝75°或c＝，∠A＝120°，∠C＝15°. 方法归纳 已知两边及一角解三角形有以下两种情况： (1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角． 跟踪训练1　在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则边c＝________． 2 解析：根据余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝2. 题型2　已知三边或三边关系解三角形 例2　(1)已知△ABC的三边长为a＝2，b＝2，c＝，求△ABC的各角度数； (2)在△ABC中，a＋c＝6，b＝2，cos B＝，求a，c的值． 【解析】　(1)由余弦定理得： cos A＝＝＝， ∴∠A＝60°. cos B＝＝＝， ∴∠B＝45°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°. (2)由余弦定理，得cos B＝， 有＝，得a2＋c2＝ac＋4， 由a＋c＝6，得(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36， 所以ac＋4＝36－2ac，解得ac＝9， 所以，解得a＝3，c＝3. 所以a＝3，c＝3. 方法归纳 (1)已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形． 跟踪训练2　(1)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则∠A＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：B 解析：∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc， ∴b2＋c2－a2＝bc， ∴cos A＝＝，∴∠A＝60°. (2)在钝角△ABC中，∠B>90°，a＝2x－5，b＝x＋1，c＝4，则x的取值范围是________． (，4) 解析：∵∠B>90°， ∴， 解得<x<4， 故答案为(，4)． 题型3　利用余弦定理判断三角形的形状(逻辑推理) 【思考探究】　1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之，说法正确吗？为什么？ [提示]　设△ABC的外接圆半径为R. 由正弦定理的变形，将a＝2R sinA，b＝2R sin B，c＝2R sin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之，将sinA＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确． 2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则∠C＝成立吗？反之，若∠C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？ [提示]　因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cosC＝＝0，即cos C＝0，所以∠C＝，反之，若∠C＝，则cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2. 例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2<c2，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】　D 【解析】　因为a2＋b2<c2，由余弦定理可得cos C＝<0，又由C∈(0，π)，所以C∈(，π)，所以△ABC是钝角三角形．故选D. (2)在△ABC中，若(a－c·cos B)sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状． 【解析】　方法一　∵(a－c·cos B)sin B＝(b－c·cos A)·sin A， ∴由正、余弦定理可得： ·b＝·a， 整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2. ∴a2＋b2＝c2或a＝b. 故△ABC为直角三角形或等腰三角形． 方法二　根据正弦定理，原等式可化为： (sin A－sin C cos B)sin B＝(sin B－sin C cos A)sin A， 即sin C cos B sin B＝sin C cos A sin A. ∵sin C≠0，∴sin B cos B＝sin A cos A， ∴sin 2B＝sin 2A. ∴2∠B＝2∠A或2∠B＋2∠A＝π， 即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝. 故△ABC是等腰三角形或直角三角形． 方法归纳 1．用转化思想解决利用三角形的边角关系判断三角形形状的两条思考路径 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化的思想解决这类问题，一般有两条思考路线： (1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出角的大小或角的正、余弦值符号． (2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式． 2．用余弦定理判断三角形形状的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2. (2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2. (3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. 跟踪训练3　(1)在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，试判断△ABC的形状为__________； 等边三角形 解析：∵2∠B＝∠A＋∠C， 又∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝60°. 又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos 60°＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－ac＝ac，从而(a－c)2＝0， ∴a＝c，可知△ABC为等边三角形． (2)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB cos C，试判断△ABC的形状． 解析：方法一(化角为边)　将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bc cosB cos C. 由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2()2－c2()2＝2bc×，所以b2＋c2＝＝＝a2. 所以A＝90°.所以△ABC是直角三角形． 方法二(化边为角)　由正弦定理，已知条件可化为sin2C sin2B＋sin2C sin2B＝2sinB sin C cos B cos C. 又sin B sin C≠0， 所以sin B sin C＝cos B cos C，即cos (B＋C)＝0. 又因为0°<B＋C<180°，所以B＋C＝90°，所以A＝90°. 所以△ABC是直角三角形． 题型4　正、余弦定理的综合应用 例4　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0. ①求B的大小； ②若b＝3，△ABC的周长为3＋2，求△ABC的面积． ①先利用正弦定理把条件式中的边转化为角，进行三角恒等变换求角． ②利用余弦定理并结合已知周长求出ac的值． 【解析】　(1)①由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0， (sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0， sin (A＋B)＋2sin C cos B＝0， 又sin (A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0， 所以cos B＝－，因为0<B<π，所以B＝π. ②由余弦定理得9＝a2＋c2－2ac cos B. 所以a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9. 因为a＋b＋c＝3＋2，b＝3，所以a＋c＝2， 所以ac＝3，所以S△ABC＝ac sin B＝×3×＝. (2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝. ①求C的大小； ②如果a＋b＝6，·＝4，求c的值． ①利用正弦定理后弦化切求解． ②根据平面向量的数量积运算求得ab，结合题目条件和余弦定理求c的值． 【解析】　①因为＝＝， 所以sin C＝cos C．所以tan C＝. 又因为C∈(0，π)，所以C＝. ②因为·＝||·||cos C＝ab， 又因为·＝4，所以ab＝8.又因为a＋b＝6， 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab＝12， 所以c＝2. 方法归纳 1．一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用． 2．正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等． 跟踪训练4　(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＋b sin A＝c.若a＝2，△ABC的面积为3(－1)，则b＋c＝(　　) A．5 B．2 C．4 D．16 答案：C 解析：因为在△ABC中a cos B＋b sin A＝c，由正弦定理得sin A cos B＋sin B sin A＝sin C，又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以sin B sin A＝cos A sin B，又sin B≠0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝1，又A∈(0，π)，所以A＝.因为S△ABC＝bc sin A＝bc＝3(－1)， 所以bc＝6(2－)，因为a＝2，所以由余弦定理可得a2＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A， 所以(b＋c)2＝4＋(2＋)bc＝4＋(2＋)×6(2－)＝16，可得b＋c＝4. (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2＝bc， >0，a＝，则b＋c的取值范围是________(用区间表示). () 解析：由b2＋c2－a2＝bc得，cos A＝＝，因为0<A<π，则A＝，由·>0知，B为钝角，又因为＝1，则b＝sin B，c＝sin C，b＋c＝sin B＋sin C＝sin B＋sin (－B)＝sin B＋cos B＝sin (B＋)， 因为<B<，所以<B＋<， 所以<sin (B＋)<，b＋c∈()． 教材反思 1．本节课的重点是余弦定理及其推论，并能用它们解三角形，难点是在解三角形时，对两个定理的选择． 2．本节课要掌握的解题方法： (1)已知三角形的两边与一角，解三角形． (2)已知三边解三角形． (3)利用余弦定理判断三角形的形状． 3．本节课的易错点有两处： (1)正弦定理和余弦定理的选择： 已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来．比较两种方法，采用余弦定理较简单． (2)利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理的表达形式是边长的平方，通常转化为一元二次方程的形式求解根的问题． $$