8.2.3倍角公式课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8．2.3　倍角公式 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 1.能从两角差的余弦公式推导出倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2．能运用上述公式进行简单的恒等变换． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　倍角公式 S2α：sin 2α＝____________． C2α：cos 2α＝____________＝____________＝____________. T2α：tan 2α＝____________． 2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α 状元随笔　你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？ [提示]　倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的倍角，8α是4α的倍角，是的倍角等等． 知识点二　倍角公式的变换 (1)因式分解变换 cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α). (2)配方变换 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcos α＝(sin α±cos α)2. (3)升幂缩角变换 1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. (4)降幂扩角变换 cos2α＝ (1＋cos2α)，sin2α＝ (1－cos2α)，sin αcos α＝sin 2α. 基 础 自 测 1．sin 15°sin 75°的值为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 答案：B 解析：原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝. 2．计算1－2sin222.5°的结果为(　　) A．　　　B． C．　　　D． 答案：B 解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝. 3．(cos－sin )(cos ＋sin )的值为(　　) A．－　　B．－ C．　　　D． 答案：D 解析：原式＝cos2－sin2＝cos＝. 4．若tan 2α＝2，则tan 4α＝________． － 解析：tan 4α＝＝＝－. 课堂探究·素养提升 题型1　利用倍角公式化简求值 例1　化简求值． (1)cos4－sin4； (2)sin·cos ·cos ； (3)1－2sin2750°； (4). 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得． 【解析】　(1)cos4－sin4 ＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2) ＝cosα. (2)原式＝(2sin cos )cos ＝sin cos ＝(2sin cos ) ＝sin ＝. (3)原式＝cos (2×750°)＝cos 1 500° ＝cos (4×360°＋60°) ＝cos 60°＝. (4)＝·＝·tan45°＝. 方法归纳 倍角公式的灵活运用 (1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sinαcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α， cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有： 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，cos2α＝，sin2α＝. 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)sin cos ； (2)2sin2＋1； (3)cos20°cos 40°cos 80°； (4). 解析：(1)原式＝＝＝. (2)原式＝－(1－2sin2)＋2＝2－cos＝. (3)原式＝ ＝ ＝＝＝. (4)原式＝＝＝2. 题型2　利用倍角公式解决条件求值问题 例2　(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 【答案】　D 【解析】　因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3， 所以tan 2α＝＝＝－. (2)已知sin (＋α)＝，则cos (－2α)的值等于(　　) A． B． C．－ D．－ 【答案】　C 【解析】　因为cos (－α)＝sin [－(－α)]＝sin (＋α)＝， 所以cos (－2α)＝2cos2(－α)－1＝2×()2－1＝－. (3)已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈(，π). ①求sin 2α的值；②求cos (2α＋β)的值． 【解析】　①因为α是第三象限角，cosα＝－， 所以sin α＝－＝－， 所以sin2α＝2sin αcos α＝2×(－)×(－)＝. ②因为β∈(，π)，sin β＝， 所以cos β＝－＝－， cos2α＝2cos2α－1＝2×－1＝， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×(－)－＝－. 状元随笔　(1)可先求tan α，再求tan 2α； (2)可利用π－2α＝2(－α)求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos (2α＋β)． 方法归纳 直接应用倍角公式求值的三种类型 (1)sin α(或cos α)cos α(或sin α)sin 2α(或cos 2α)． (2)sin α(或cos α)cos 2α＝1－2sin2α(或2cos2α－1)． (3)sinα(或cos α) 跟踪训练2　(1)已知α∈(，π)，sin α＝，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________． － － 解析：因为α∈(，π)，sin α＝，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××(－)＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝，tan2α＝＝－. (2)已知sin (＋α)sin (－α)＝，且α∈(，π)，求tan 4α的值． 解析：因为sin (－α)＝sin [－(＋α)]＝cos (＋α)， 则已知条件可化为sin (＋α)cos (＋α)＝，即sin [2(＋α)]＝， 所以sin (＋2α)＝， 所以cos 2α＝.因为α∈(，π)，所以2α∈(π，2π)， 从而sin 2α＝－＝－， 所以tan2α＝＝－2，故tan 4α＝＝－＝. 题型3　利用倍角公式证明 例3　求证：＝sin 2α. 可先化简左边，切化弦，再利用倍角公式化简出右边． 【证明】　法一：左边＝＝ ＝＝ ＝sin cos cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边． ∴原式成立． 法二：左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．∴原式成立． 方法归纳 证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 跟踪训练3　求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos2A cos 2B. 证明：左边＝ ＝ ＝(cos 2A cos 2B－sin 2A sin 2B＋cos 2A cos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2A cos 2B＝右边，∴等式成立． 题型4　倍角公式的灵活运用 【思考探究】　(1)在化简＋时，如何灵活使用倍角公式？ [提示]　在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成的倍角，可能会有另一种思路， 原式＝＝＝＝. (2)如何求函数f(x)＝2cos2x－1－2sinx cos x(x∈R)的最小正周期？ [提示]　求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)＝(2cos2x－1)－(2sinx cos x)＝cos 2x－sin 2x＝2sin (－2x)，知其最小正周期为π. 例4　(1)化简：，其中θ∈(0，π)； (2)求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sinx cos x，x∈[]的最小值，并求其单调递减区间． 【解析】　(1)原式＝ － ＝ ＝|sin ＋cos |－|sin －cos |. ①当θ∈(0，]时，∈(0，]，cos ≥sin ， 此时原式＝sin ＋cos －cos ＋sin ＝2sin . ②当θ∈(，π)时，∈()，cos <sin ， 此时原式＝sin ＋cos －sin ＋cos ＝2cos . (2)f(x)＝5··－2sin 2x ＝3＋2cos 2x－2sin 2x ＝3＋4(cos 2x－sin 2x) ＝3＋4(sin cos 2x－cos sin 2x) ＝3＋4sin (－2x)＝3－4sin (2x－)， ∵≤x≤，∴≤2x－，∴sin (2x－)∈[]， 所以当2x－＝，即x＝时， f(x)取最小值为3－2. 因为y＝sin (2x－)在[]上单调递增， 所以f(x)在[]上单调递减． 状元随笔 →→ 方法归纳 本题考查倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质．解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝A sin ωx＋φ的形式，再利用函数图象解决问题． 跟踪训练4　设函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2sin2x－. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当x∈()时，求函数f(x)的值域． 解析：(1)f(x)＝1＋sin 2x＋2 ＝1＋sin 2x－cos 2x＝2sin (2x－)＋1， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 则函数单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z. (2)由<x<，得<2x－<， 则－<sin (2x－)≤1， 则1－<f(x)≤3，即值域为(1－，3]. 教材反思 (1)对于“倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)． (2)倍角的余弦公式的运用 在倍角公式中，倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式： ①1＋cos2α＝2cos2α；②cos2α＝；③1－cos 2α＝2sin2α；④sin2α＝. $$