8.2.4 三角恒等变换的应用课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8．2.4　三角恒等变换的应用 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 1.了解由倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．(一般) 2．掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．(重点、难点) 3．能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．(难点) 4．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．(重点) 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　半角公式 sin ＝___________，cos ＝____________， tan ＝_______________________． ± ± ±＝＝ 状元随笔　如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？ [提示]　(1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号． (2)若给出角α的具体范围(即某一区间)时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号． 知识点二　积化和差公式 cos αcos β＝_____________________； sin αsin β＝______________________； sin αcos β＝____________________； cos αsin β＝____________________． [cos (α＋β)＋cos (α－β)] － [cos (α＋β)－cos (α－β)] [sin (α＋β)＋sin (α－β)] [sin (α＋β)－sin (α－β)] 知识点三　和差化积公式 设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝________，β＝________．这样，上面的四个式子可以写成 sin x＋sin y＝________________； sin x－sin y＝________________； cos x＋cos y＝________________； cos x－cos y＝________________． 2sincos 2cossin 2coscos －2sinsin 状元随笔　和差化积公式的适用条件是什么？ [提示]　只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式． 基 础 自 测 1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：C 解析：由题意知∈(0，)，∴cos >0， cos ＝ ＝. 2．下列各式与tan α相等的是(　　) A. B． C． D． 答案：D 解析： ＝＝＝|tanα|； ＝＝tan； ＝＝， ＝＝tan α. 3．(多选)已知f(x)＝2sin2x＋2sinx cos x，下列为f(x)的单调减区间的是(　　) A．[] B．[] C．[] D．[－] 答案：BC 解析：因为f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x ＝1＋sin (2x－)， 由＋2kπ≤2x－＋2kπ(k∈Z)， 得f(x)的单调减区间为＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间[]. 当k＝1时，得f(x)的一个单调减区间[]. 4．计算sin 105°cos 75°的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 解析：sin 105°cos 75°＝(sin 180°＋sin 30°)＝. 5．设α∈(π，2π)，则 等于________． sin 解析： ＝ ＝ ＝. ∵α∈(π，2π)，∴∈(，π)，∴sin >0，故原式＝sin . 课堂探究·素养提升 题型1　化简问题 例1　已知π<α<，求的值． 解答本题可先用倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化简． 【解析】　原式＝+ ∵π<α<，∴<<，∴cos <0，sin >0. ∴原式＝ ＝－＝－cos . 方法归纳 要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cos α＝2cos2，1－cosα＝2sin2，1±sinα＝(sin ±cos )2等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路． 跟踪训练1　已知<θ<2π，试化简：. 解析：∵<θ<2π，∴<<π， 所以原式＝ ＝ ＝－(sin ＋cos )－(sin －cos ) ＝－2sin . 题型2　求值问题 例2　(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°. (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. (3)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin (α＋β)的值． (4)已知sin α＝－且π<α<π，求sin ，cos ，tan 的值． 【解析】　(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°) ＝sin 50°＋cos 40° ＝sin 50°＋sin 50°＝. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝cos 10°cos 50°cos 70° ＝(cos 60°＋cos 40°)·cos 70°] ＝cos 70°＋cos 40°cos 70° ＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°) ＝cos 70°＋cos 110°＋＝. (3)∵cos α－cos β＝， ∴－2sin sin ＝.　① 又∵sin α－sin β＝－， ∴2cos sin ＝－.　② ∵sin ≠0， ∴由①②，得－tan ＝－，即tan ＝. ∴sin (α＋β)＝ ＝＝＝. (4)因为sinα＝－，π<α<， 所以cos α＝－.又<<， 所以sin ＝ ＝ ＝， cos ＝－ ＝－ ＝－， tan ＝＝－4. 状元随笔　(1)利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角． (3)利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解． 方法归纳 (1)已知θ的某三角函数值，求的相应三角函数值时，常借助于半角公式sin2＝，cos2＝，tan ＝＝来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意分析的范围． (2)积化和差公式的功能与关键 ①功能：a.把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式). b.将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质． ②关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数． (3)和差化积公式应用时的注意事项 ①在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次． ②根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： a．运用公式之后，能否出现特殊角； b．运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项． ③为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如－cos α＝cos －cos α. 跟踪训练2　(1)已知sin －cos ＝－，450°<α<540°，求sin α及tan 的值． 解析：(sin －cos )2＝1－sin α＝， ∴sin α＝，∴sin cos ＝＝， ∴＝＝， 解得tan＝2或tan ＝. ∵450°<α<540°， ∴225°<<270°， ∴tan >1，∴tan ＝2. 综上可知sin α＝，tan ＝2. (2)已知cos (2α－)＝－，0<α<，则cos (α－)＝(　　) A．－　　B．　　C．　　D．－ 解析：因为cos (2α－)＝2cos2(α－)－1＝－， 所以cos(α－)＝±， 又因为0<α<，所以cos (α－)＝. 答案：B 题型3　三角恒等式的证明 例3　(1)求证：1＋2cos2θ－cos2θ＝2； (2)求证：＝. 【证明】　(1)左边＝1＋2×－cos 2θ＝2＝右边． 所以原等式成立． (2)左边＝ ＝＝＝＝＝＝右边． 所以原等式成立． 状元随笔　(1)可由左向右证：先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证． (2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化． 方法归纳 三角恒等式证明的五种常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”． (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 跟踪训练3　已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin (2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求证：α＋β＝. 证明：∵3sin β＝sin (2α＋β)， 即3sin (α＋β－α)＝sin (α＋β＋α)， ∴3sin (α＋β)cos α－3cos (α＋β)sin α ＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α， ∴2sin (α＋β)cos α＝4cos (α＋β)sin α， ∴tan (α＋β)＝2tan α. 又∵4tan ＝1－tan2， ∴tanα＝＝， ∴tan(α＋β)＝2tan α＝1， ∵α＋β∈(0，)，∴α＋β＝. 题型4　三角恒等变换与三角函数图象性质的综合应用 【思考探究】　(1)如何求函数y＝sin(2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)的最小正周期？ [提示]　y＝sin(2x－)＋1－cos (2x－) ＝sin (2x－)＋1＝sin (2x－)＋1， 所以函数的最小正周期T＝π. (2)研究形如f(x)＝a sin2ωx＋b sinωx cos ωx＋c cos2ωx的性质时应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答？ [提示]　研究形如f(x)＝a sin2ωx＋b sinωx cos ωx＋c cos2ωx的性质时，先化成f(x)＝sin(ωx＋φ)＋c的形式再解答． 例4　已知函数f(x)＝sin (2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合． 【解析】　(1)因为f(x)＝sin (2x－)＋2sin2(x－) ＝sin[2(x－)]＋1－cos [2(x－)] ＝2{sin [2(x－)]－cos [2(x－)]}＋1 ＝2sin [2(x－)－]＋1＝2sin (2x－)＋1，所以T＝＝π. (2)当f(x)取得最大值时，sin (2x－)＝1， 有2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)， 所以所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}． 状元随笔　利用三角公式化简函数式，写为f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋b的形式，再讨论函数的性质． 方法归纳 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式，借助辅助角公式化为y＝A sin (＋φ)＋k(或y＝A cos )＋φ(＋k)的形式，将ωx＋φ看作一个整体研究函数的性质． 跟踪训练4　已知函数f(x)＝－sin (2x＋)＋6sin x cos x－2cos2x＋1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值． 解析：(1)f(x)＝－sin 2x－cos 2x＋3sin 2x－cos 2x ＝2sin 2x－2cos 2x＝2sin (2x－)． 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由(1)知f(x)＝2sin (2x－)， 由于x∈[0，]，所以2x－∈[－]， 则sin (2x－)∈[－，1]. 所以f(x)在[0，]上的最大值为2，最小值为－2. 教材反思 常用的三角恒等变换思想方法 (1)常值代换 用某些三角函数值或三角函数式来代替三角函数式中的某些常数，使之代换后能运用相关公式，化简得以顺利进行．我们把这种代换称为常值代换． (2)切化弦 当待化简式中既含有正弦、余弦，又含有正切，利用同角的基本三角函数关系式tanα＝，将正切化为正弦和余弦，这就是“切化弦”的思想方法，切化弦的好处在于减少了三角函数名称． (3)降幂与升幂 由C2α变形后得到公式：sin2α＝(1－cos2α)，cos2α＝(1＋cos2α)，运用它就是降幂．反过来，直接运用倍角公式或变形公式1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，就是升幂． (4)角的变换 角的变换沟通了已知角与未知角之间的联系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(α＋β)－(β－α)]，α＋β＝(2α＋β)－α等． $$