专题2.2函数的单调性与最值（九大题型）-备战2025年新高考数学一轮复习题型突破精炼（新高考专用）

专题2.2函数的单调性与最值 题型一 求简单函数的单调区间 题型六 利用函数单调性求最值 题型二 复合函数的单调区间 题型七 根据函数最值求参数 题型三 利用单调性比较大小 题型八 函数不等式恒成立问题 题型四 利用单调性解不等式 题型九 函数不等式有解问题 题型五 利用函数的单调性求参数 知识点1函数的单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 3．函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （4）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 题型一 求简单函数的单调区间 例1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 例2．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 练习1．下列说法中，正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的单调区间是 D．不是增函数就是减函数 练习2．下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 练习3．函数的单调区间为 练习4．画出下列函数的图象，并写出它的单调区间． (1)； (2)． 题型二 复合函数的单调区间 例3． 的单调增区间为 例4．已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 练习1．已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 练习2．的单调递减区间为 练习3．函数的单调递增区间是 . 练习4．函数的严格递减区间为 ． 题型三 利用单调性比较大小 例5．函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 例6．已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 练习1．已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 练习2．函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 练习3．已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 练习4．已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 利用单调性解不等式 例7．若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例8．定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习1．已知函数，若存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 练习3．已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 练习4．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型五 利用函数的单调性求参数 例9．若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例10．（多选）若函数在R上单调递增，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D． 练习1．已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 练习2．（多选）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 练习3．（多选）已知函数在上单调递减，则不可能等于（    ） A． B．1 C． D．2 练习4．已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ． 知识点2函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 题型六 利用函数单调性求最值 例11．函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例12．（多选）若函数在定义域A上的值域为，则区间A可能为（    ） A． B． C． D． 练习1．已知函数（x＞0）. (1)求证：在上单调递增； (2)求函数的最大值和最小值. 练习2．函数在区间上的最小值是 ． 练习3．函数的定义域是，则其值域为 练习4．函数在上的最大值为 ． 题型七 根据函数最值求参数 例13．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例14．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 练习1．已知函数．若存在实数，，使在上的值域为，请写出一个符合条件的的值 ． 练习2．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习3．（多选）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 练习4．已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 题型八 函数不等式恒成立问题 例15．若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例16．定义在上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 练习1．若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为 ；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 练习2．已知函数和，若在上恒成立，则 ， ． 练习3．已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 练习4．二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 题型九 函数不等式有解问题 例17．若关于的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例18．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习1．已知. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 练习2．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 . 练习3．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围为 . 练习4．已知函数. (1)解不等式； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 一、单选题 1．函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 2．下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 5．设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的偶函数，定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 8．已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（    ） A． B． C．0 D．8 9．函数的值域为 ． 10．已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为 ． 11．已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 12．设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 13．设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值； (2)若，求x的取值范围. 14．已知函数在时有最大值. (1)求实数的值； (2)设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值. 15．已知函数， (1)解关于的不等式； (2)当时，若对于不等式恒成立，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2函数的单调性与最值 题型一 求简单函数的单调区间 题型六 利用函数单调性求最值 题型二 复合函数的单调区间 题型七 根据函数最值求参数 题型三 利用单调性比较大小 题型八 函数不等式恒成立问题 题型四 利用单调性解不等式 题型九 函数不等式有解问题 题型五 利用函数的单调性求参数 知识点1函数的单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然. 3．函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （4）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 题型一 求简单函数的单调区间 例1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A：因为在上单调递减，故A错误； 对于选项B：因为在上单调递减，故B错误； 对于选项C：因为在上单调递增，故C正确； 对于选项D：因为在内单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：C. 例2．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 练习1．下列说法中，正确的是（    ） A．函数在上是增函数 B．函数在定义域上是增函数 C．函数的单调区间是 D．不是增函数就是减函数 【答案】D 【详解】在上单调递减，在上单调递增，故错误； 在和上是增函数，故错误； 的单调区间为和，故错误； 时，是增函数， 时，是减函数，故正确. 故选：. 练习2．下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误； 对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误； 对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确. 故选：D. 练习3．函数的单调区间为 【答案】增区间为和，无单调递减区间， 【详解】，所以的单调递增区间为和 故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间， 练习4．画出下列函数的图象，并写出它的单调区间． (1)； (2)． 【答案】(1)作图见解析，单调递增区间为，单调递减区间为． (2)作图见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为和． 【详解】（1）先画出的图象，再将轴下方的图象沿轴翻折即可得到的图象， 函数的图象如图所示，   的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）先画出的图象，再将轴下方的图象沿轴翻折即可得到的图象， 函数图象如图所示，     的单调递增区间为和，单调递减区间为和． 题型二 复合函数的单调区间 例3． 的单调增区间为 【答案】 【详解】由，得或，则函数的定义域为， 令，则， 因为，为对称轴，开口向上的抛物线，在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域内为减函数， 所以在上递增，在上递减，所以的单调增区间为. 故答案为：. 例4．已知函数在定义域上单调递增，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域满足，即． 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以函数的单调递增区间为． 故选：D． 练习1．已知函数在区间上单调递减，则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为开口向下，对称轴为， 可知内层函数在区间上单调递增， 当，；当，； 可知， 又因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减. 对于选项A：因为函数在区间上单调递减，故A正确； 对于选项B：因为，则在区间上单调递增，故B错误； 对于选项C：因为，则在区间上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为在区间上单调递增，故D错误. 故选：A. 练习2．的单调递减区间为 【答案】/ 【详解】复合函数可以分为：外部函数与内部函数, 因为外部函数在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求的减区间，等价于求内部函数的增区间， 易知的增区间为，故的减区间为，由于端点不影响函数的单调性，所以的减区间也可以为， 故答案为：. 练习3．函数的单调递增区间是 . 【答案】（区间开闭都符合） 【详解】， 由，解得， 令，当时单调递增，当时单调递减， 又在时单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 练习4．函数的严格递减区间为 ． 【答案】 【详解】由题意指数函数在定义域内严格单调递减， 若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可， 而二次函数对称轴为，且开口向上， 故它的严格单调递增区间为，即函数的严格递减区间为. 故答案为：. 题型三 利用单调性比较大小 例5．函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，， 又因为在R上严格增，所以，， 所以. 故选：A． 例6．已知函数，若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 为上为增函数，在上为减函数， 根据复合函数单调性得在上是减函数， 若， 则． 故选：C． 练习1．已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 即； 故选：D 练习2．函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误； 故选：C． 练习3．已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为 【答案】（或） 【详解】因为函数对于任意的，都有， 所以在区间上是减函数， 所以，所以. 故答案为：(或). 练习4．已知函数的定义域为，对任意的，都有，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，可得， 构造函数，则是上的减函数. 故，即，由此得， 故选：C. 题型四 利用单调性解不等式 例7．若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数是定义域为，且对，且，有， 即， 为单调递增函数， ， 整理得到：， 为单调递增函数， 解得：， 故选：C． 例8．定义在上的函数满足：，且成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有，设函数， 则函数在上单调递减，且. 当时，不等式等价于，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 练习1．已知函数，若存在，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以， 由于在上单调递减， 所以存在，使成立， 所以，， 解得，所以的取值范围是 故选：A 【点睛】考虑到分段函数可以转化为，由此可判断出可以转化为，从而可以使用函数的单调性来化简题目所给不等式.恒成立问题或存在性问题，往往是转化为最值来列不等式，从而求得正确答案. 练习2．已知是定义在区间上的增函数，且，如果满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】令，则，则， 由可得：， 因为是定义在区间上的增函数， 所以，解得：. 则的取值范围为:. 故答案为：. 练习3．已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用函数单调性的定义判断得在上单调递减，从而分类讨论即可得解. 练习4．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据定义域为且可知， 又，所以对，恒成立； 即可知函数在上单调递减； 又，可得， 不等式可化为，解得， 可得不等式的解集为. 故选：B 题型五 利用函数的单调性求参数 例9．若函数在区间上为单调增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】开口向上，对称轴为， 要想在区间上为单调增函数，则. 故选：B 例10．（多选）若函数在R上单调递增，则实数a的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为函数在R上单调递增， 所以，解得. 故选：BC. 练习1．已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以在上严格增函数 所以，． 故答案为： 练习2．（多选）已知函数在区间上单调，则实数m的值可以是（    ） A．2 B．7 C．14 D．20 【答案】AD 【详解】的对称轴为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或． 故选：AD 练习3．（多选）已知函数在上单调递减，则不可能等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】AD 【详解】的对称轴为， 故，解得. 故不可能等于和2. 故选：AD 练习4．已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为对于任意，，， 所以，即， 构造函数，则， 所以函数在上的增函数， 当时，函数是上的增函数，符合题意； 当时，函数图象的对称轴为直线， 当时，要使得函数是上的增函数，只需要符合题意； 当时，要使得函数是上的减函数，只需要. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：由，构造新函数是解题的关键 知识点2函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 题型六 利用函数单调性求最值 例11．函数的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】设，，则， 则函数等价于，， ∵在上是增函数，． ∴函数的最小值是3． 故选：A． 例12．（多选）若函数在定义域A上的值域为，则区间A可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为函数的图象是开口向上的抛物线，以直线为对称轴， 所以函数在区间上单调递减，上单调递增. 当时，函数的最小值为，最大值为，得函数的值域为； 当时，函数的最小值为，最大值为，得函数的值域为； 当时，函数的最小值为， 因为， 所以最大值为，所以函数的值域为； 当时，最小值为， 因为， 所以最大值为，得函数的值域为， 根据以上的讨论可得区间A不可能为. 故选：ABC 练习1．已知函数（x＞0）. (1)求证：在上单调递增； (2)求函数的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为，无最小值. 【详解】（1）证明  设，是区间上的任意两个实数，且，则 . 由， 得，， 所以， 即， 所以在上单调递增. （2）当时，由（1）知， 因为，， 所以， 即， 所以在上单调递减. 所以结合（1）可知， ，无最小值. 练习2．函数在区间上的最小值是 ． 【答案】0 【详解】是单调递增的， 所以. 故答案为：0. 练习3．函数的定义域是，则其值域为 【答案】 【详解】由题意知函数均在上单调递增， 故在定义域上为增函数， 所以，， 即的值域为， 故答案为： 练习4．函数在上的最大值为 ． 【答案】4 【详解】由题意可知， 作出函数的图象，如图所示    由图可知，在上单调递增，在上单调递减; 所以当时，取的最大值为. 故答案为： 题型七 根据函数最值求参数 例13．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 例14．若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【答案】A 【详解】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. 练习1．已知函数．若存在实数，，使在上的值域为，请写出一个符合条件的的值 ． 【答案】（内的任意一个值均可） 【详解】函数的定义域为，显然在上单调递增， 依题意，，，因此方程，即在有两个不等实根， 令，于是方程有两个不等的非负实根， 则，解得， 所以符合条件的的值可以为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题. 练习2．已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，在上单调递减且的值域为， 则，， 解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为此时的最小值，， 因为的值域为， 所以，即， 解得，所以， 综上，a的取值范围为． 故选：B． 练习3．（多选）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ） A．4 B．12 C． D． 【答案】AD 【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 当，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 当，即时，在上单调递减，所以， ， 所以，解得，不符合题意，故舍去； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或，两个解均舍去； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD 练习4．已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 【答案】(1) (2)在上单调递减；证明见解析 (3)1 【详解】（1）由题意知函数的图像经过点， 故，解得， 故； （2）函数在上单调递减； 证明：设，且， 则 ， 因为，故， 即，故函数在上单调递减. （3）由（2）知在是减函数， 因此，解得或， 又，所以 题型八 函数不等式恒成立问题 例15．若关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为关于的不等式对任意均成立， 当时，恒成立， 当时，恒成立， 令，， 因为与在上单调递增， 则在上单调递增，所以当时取得最大值， 即， 所以，则， 综上可得实数的取值范围为. 故选：D 例16．定义在上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的可以是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意可知，如图所示 当时，， 即； 当时，， 故； 当时，， 故； 令， 解得或， 所以或， 所以的最大值为. 即. 故选：ABC.    练习1．若不等式在时不等式恒成立，则实数的取值范围为 ；若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】①因为不等式，所以在区间上恒成立， 因为，当时取等号， 故. ②不等式对一切恒成立，， 由对勾函数的性质可知函数 在区间上单调递增， 且当时，，所以， 故实数的取值范围是． 故答案为：①；②. 练习2．已知函数和，若在上恒成立，则 ， ． 【答案】 -1 0 【详解】当时，． 当时，． 当时，时， ， 故满足题意. 故答案为：-1，0. 练习3．已知函数，对于，恒成立，求的最大值是 . 【答案】 【详解】恒成立， ， ，， ， 令，则， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 练习4．二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意设， 由得； 由得， 即恒成立，故，则， 故； （2）因为当时，的图象恒在图象的上方， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 令，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 题型九 函数不等式有解问题 例17．若关于的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】关于的不等式在区间上有解， 在上有解， 即在上能成立， 所以， 设函数，， 因为函数在区间上单调递减，在区间上是单调递增， 又，，， 所以当时，函数取最大值，最大值为， 即的取值范围是. 故选：D. 例18．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，所以，， 在上单调递减，所以， 当时，，即，取成立. 当时，，即，得，所以 当时，，即，得，所以， 综上： 的取值范围是. 故选：A 练习1．已知. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）函数，由，得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）当时，， 又，当且仅当时取等号，依题意，， 所以实数的取值范围是. 练习2．若关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以由得， 因为关于x的不等式在区间上有解，所以， 当时，，当时，， 当且仅当时，等号成立， 综上的最大值为1， 故，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 练习3．已知函数，，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为对任意的，总存在与使得成立， 所以， ，对称轴为， 因为，所以当时，， 当时，函数在上单调递增，所以， 所以，解得； 当时，函数在上为常数函数，满足； 当时，函数在上单调递减，所以， 所以，解得； 综上，，即实数a的取值范围为. 故答案为： 练习4．已知函数. (1)解不等式； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1），所以，令， 若，解得， 当时，，不等式的解集为， 当或时，，此时方程有两根，，且， 此时不等式的解集为， 综上：当时，不等式的解集为； 当或时， （2）记函数，的值域为集合A， ，的值域为集合B； 则对任意的，总存在，使得成立； 因为的图象开口向上，对称轴为，所以当， ，得； 当时，的值域为，显然不满足题意； 当时，的值域为，因为， 所以，解得； 当时，的值域为，因为， 所以，解得； 综上：实数a的取值范围为. 一、单选题 1．函数的单调增区间是（   ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 2．下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 3．若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数在上是减函数，，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 4．若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，函数在上单调递减，在上的值域为， 因为函数在R上的值域为，则函数在上的值域包含， 显然，否则当时，，不符合题意， 于是函数在上单调递减，其值域为，因此，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D 5．设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当，，明显函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是. 故选：D. 6．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令， 则恒成立，所以函数在上单调递减. 当时，在上单调递减，符合题意； 当时，要使在上单调递减， 则解得. 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：D. 十一、多选题 7．已知定义在上的偶函数，定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为定义在上的偶函数，定义在上的奇函数，且，在上单调递增， 所以，，在单调递减，在上单调递增， 对于A，因为的正负无法确定，若，则，故A错误； 对于B，由，在上单调递增，则，故B正确； 对于C，由，在上单调递增，则，故C正确； 对于D，由，在上单调递增，则，故D正确； 故选：BCD． 8．已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】BD 【详解】当时，由得到在上恒成立，则不存在， 当时，由可设，， 又的大致图象如下， 那么由题意可知：，再由是整数得到或 因此或-2． 故选：BD 十二、填空题 9．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】当时，单调递增，此时， 当时，单调递减，此时， 综上所述， 故答案为：. 10．已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：因为对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立， 所以函数在上单调递减， 又因为当时，， 作出的图象，如图所示： 由此可得函数在和上单调递减， 又因为当时，，且函数在上单调递减， 所以，解得． 故答案为：． 十三、解答题 11．已知函数在区间上是严格减函数，求实数的取值范围． 【答案】． 【详解】因为在区间上是严格减函数，所以为函数严格减区间的子集． ①当时，在区间上是严格减函数，∴满足题意； ②当时，的减区间为，则有，解得； ③当时，的减区间为，则有，解得． 综上，实数的取值范围为． 12．设函数．    (1)将函数写成分段函数的形式并画出其图象； (2)写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1)，图象见解析 (2)单调递增区间为，单调递减区间为，值域为 【详解】（1）因为， 所以， 所以的图象如下所示：    （2）由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 13．设函数的定义域为，且满足条件，对于任意，有，且当时，有. (1)求的值； (2)若，求x的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）因为对于任意，有， 所以令，得， 所以； （2）设，则. 又因为当时，， 所以，即， 所以在定义域内为增函数. ，即时，原不等式可化为. 又因为在定义域上为增函数， 所以，解得或. 又因为，所以. 所以的取值范围为. 14．已知函数在时有最大值. (1)求实数的值； (2)设，若当时，的最小值为，最大值为，求，的值. 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）因为在时有最大值， 则，解得，所以； （2）由（1）可得， 则，又，所以，则， 所以当时单调递减， 所以，且， 所以，是关于的方程的两个解， 即， 解方程得，，， 又，所以，. 15．已知函数， (1)解关于的不等式； (2)当时，若对于不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）函数，不等式， 当时，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，若，则； 若，则或；若，则或， 所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. （2）当时，函数，不等式， 依题意，，不等式，当时，成立，， 当时，恒成立，而函数在上单调递减， 因此，则； 当时，恒成立，而函数在上单调递减， 因此，则， 所以实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$