8.2.1 两角和与差的余弦课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8．2.1　两角和与差的余弦 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义． 2．能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系． 3．能运用上述公式进行简单的恒等变换． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点　两角和与差的余弦公式 Cα＋β：cos (α＋β)＝___________________． Cα－β：cos (α－β)＝___________________． cos αcos β－sin αsin β cos αcos β＋sin αsin β 状元随笔　用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？ [提示]　依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α ＝，cos α ＝，所以x ＝cos α，y ＝sin α，即点P坐标为(cos α，sin α)． 基 础 自 测 1．cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． 答案：A 解析：原式＝cos (22°＋38°)＝cos 60°＝. 2．化简cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β为(　　) A．sin (2α＋β) B．cos (2α－β) C．cos α D．cos β 答案：C 解析：原式＝cos [(α＋β)－β]＝cos α. 3．下列式子中，正确的个数为(　　) ①cos (α－β)＝cos α－cos β；②cos (＋α)＝sin α； ③cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：A 解析：解析：由cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos (＋α)＝－sin α，故②错误，故选A项． 4．cos (－40°)cos 20°－sin (－40°)sin (－20°)＝________． 解析：原式＝cos (－40°)·cos (－20°)－sin (－40°)·sin (－20°)＝cos [－40°＋(－20°)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝. 课堂探究·素养提升 题型1　利用两角和与差的余弦公式化简求值 例1　(1)cos 345°的值等于(　　) A. B． C． D．－ 利用诱导公式，两角差的余弦公式求解． 【答案】　C 【解析】　cos 345°＝cos (360°－15°) ＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝. (2)化简下列各式： ①cos (θ＋21°)cos (θ－24°)＋sin (θ＋21°)sin (θ－24°)； ②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. 【解析】　①原式＝cos [θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝，所以原式＝； ②原式＝－sin (180°－13°)sin (180°＋43°)＋sin (180°＋77°)·sin (360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos (13°－43°)＝cos (－30°)＝. (3)cos α＋sin α＝(　　) A．cos (－α) B．cos (－α) C．cos (＋α) D．cos (＋α) 【答案】　A 【解析】　由题意可得cos α＋sin α＝cos cos α＋sin sin α＝cos (－α)． 方法归纳 (1)在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体． (2)在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： ①把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． ②在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． 跟踪训练1　求下列各式的值： (1)cos ； (2)sin 460°sin (－160°)＋cos 560°cos (－280°)； (3)cos (α＋20°)cos (40°－α)－sin (α＋20°)sin (40°－α)． 解析：(1)cos ＝cos (π＋)＝－cos ＝－cos ()＝－cos () ＝－(cos cos ＋sin sin ) ＝－()＝－. (2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－. (3)cos (α＋20°)cos (40°－α)－sin (α＋20°)·sin (40°－α) ＝cos [(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝. 题型2　给值(式)求值 例2　(1)已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos (α－)＝________． 【解析】　因为cos α＝，α∈(，2π)， 所以sin α＝－， 所以cos (α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝＋(－)×＝. (2)α，β为锐角，cos (α＋β)＝，cos (2α＋β)＝，求cos α的值． 【解析】　因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π. 又因为cos (α＋β)＝，所以0<α＋β<，所以0<2α＋β<π. 又因为cos (2α＋β)＝，所以0<2α＋β<， 所以sin (α＋β)＝，sin (2α＋β)＝， 所以cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)] ＝cos (2α＋β)·cos (α＋β)＋sin (2α＋β)·sin (α＋β) ＝＝. 状元随笔　(1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos (α－)； (2)可考虑拆角即α ＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α. 方法归纳 给值求值的解题步骤： (1)找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异． (2)拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等． (3)求解．结合公式Cα±β求解便可． 跟踪训练2　已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，求cos β的值． 解析：∵α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)． 又∵cos α＝，cos (α＋β)＝－， ∴sin α＝＝，sin(α＋β)＝＝. 又∵β＝(α＋β)－α， ∴cosβ＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝(－)× ＝. 题型3　已知三角函数值求角 例3　已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． 本题可先求出cos (α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值． 【解析】　∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝， ∴sin α＝，sin β＝，∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝＝. 又sin α<sin β， ∴0<α<β<， ∴－<α－β<0. 故α－β＝－. 方法归纳 (1)这类问题的求解，关键环节有两点： ①求出所求角的某种三角函数值；②确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解． (2)确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定． 跟踪训练3　在△ABC中，已知cos A＝，cos B＝，则cos C的值为(　　) A．　 　B．　 　C．或　 　D．－ 答案：A 解析：在△ABC中，cos A＝，cos B＝， 所以sin A＝＝，sinB＝＝， 又由cosC＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B) ＝－(cos A cos B－sin A sin B) ＝－()＝. 题型4　利用角的变换求三角函数值 【思考探究】　(1)若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ [提示]　cos α ＝cos [(α＋β)－β] ＝cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β. (2)利用α－(α－β) ＝β可得cos β等于什么？ [提示]　cos β ＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)． (3)若cos α－cos β ＝a，sin α－sin β ＝b，则cos (α－β)等于什么？ [提示]　cos (α－β) ＝. 例4　(1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin (α＋β)＝，则cos β等于(　　) A． B． C．或 D．或 考虑如何用已知角α，α＋β的差来表示所求角β，进而利用两角差的余弦公式解决． 【答案】　A 【解析】　依题意得sin α＝＝， cos(α＋β)＝±＝±. 又α，β均为锐角， 所以0<α<α＋β<π，cosα>cos (α＋β)． 因为>>－，所以cos (α＋β)＝－. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－＝. (2)若0<α<，－<β<0，cos (＋α)＝，cos ()＝，则cos (α＋)的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 利用角的交换求解，α＋＝(＋α)－()． 【答案】　C 【解析】　∵0<α<，－<β<0， ∴<α＋<<<， 又∵cos (＋α)＝，cos ()＝， ∴sin (＋α)＝，sin ()＝， ∴cos (α＋)＝cos [(＋α)－()] ＝cos (＋α)cos ()＋sin (＋α)sin () ＝＝.故选C项． 方法归纳 巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角．主要针对已知某些角的三角函数值，求（或证明）另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察．常见的“变角”有：①单角变为和（差）角，如α＝（α－β）＋β，β＝等；②倍角化为和（差）角，如2α（α+β）+（α－β）＝等． 跟踪训练4　(1)设cos (α－)＝－，sin (－β)＝，其中α∈(，π)，β∈(0，)，求cos 的值． (2)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，－sin β)，α，β均为锐角，且|a－b|＝. ①求cos (α＋β)的值； ②若sin α＝，求cos β的值． 解析：(1)∵α∈(，π)，β∈(0，)， ∴α－∈(，π)，－β∈(－)， ∴sin (α－)＝＝＝，cos(－β)＝＝＝， ∴cos ＝cos [(α－)－(－β)] ＝cos (α－)cos (－β)＋sin (α－)sin (－β) ＝－＝. (2)①由题意得|a|＝1，|b|＝1， 所以|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝2－2(cos αcos β－sin αsin β) ＝2－2cos (α＋β)＝，解得cos (α＋β)＝. ②因为α，β∈(0，)，所以α＋β∈(0，π)， 由sin α＝，cos (α＋β)＝可得cos α＝，sin (α＋β)＝， 所以cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝＝. 状元随笔　(1)根据向量的坐标运算求出模长，然后逆用两角和的余弦公式求解． (2)将所求角用已知角表示出来，然后利用两角差的余弦公式求解． 教材反思 对公式C(α－β)和C(α＋β)的三点说明 (1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”． (2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ()中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β. (3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面： ①公式本身的变用，如cos (α－β)－cos α cos β＝sin αsin β. ②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos [(α＋β)－β]等． $$