3.1.2表示函数的方法课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

3．1.2　表示函数的方法 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 最新课程标准 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2．理解函数图象的作用． 学科核心素养 1.会用解析法、列表法、图象法表示函数．(数学建模) 2．会求函数的解析式．(逻辑推理、数学运算) 3．能作出函数的图象．(直观想象) 教材要点 要点　函数的表示法 表示法 定义 解析法 用________来表示函数的方法 列表法 用________来表示两个变量之间的对应关系的方法 图象法 用________来表示两个变量之间的对应关系的方法 解析式 表格 图象 状元随笔　1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系． 2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y. 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)列表法表示y＝f(x)，y对应的那一行数字可能出现相同的情况．(　　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示出来．(　　) (3)任何一个函数都可以用解析法表示出来．(　　) (4)函数的图象一定是连续不断的曲线．(　　) √ × × × 2．函数f(x)＝3x－1，x∈[1，5]的图象是(　　) A．直线 B．射线 C．线段 D．离散的点 答案：C 解析：∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1，5]，则此时的图象为线段．故选C. 3．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y(单位：cm)表示成x的函数为(　　) A．y＝50x(x＞0) B．y＝100x(x＞0) C．y＝(x＞0) D．y＝(x＞0) 答案：C 解析：由题意知，×y＝100，得2xy＝100，∴y＝(x>0)，故选C. 4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出． x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则f(g(1))的值为______．当g(f(x))＝2时，x＝________． 1 1 解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3， ∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1. 题型探究 课堂解透 题型1　函数的表示法 例1　某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求收款y(元)与台数x(台)之间的函数关系，分别用列表法、解析法和图象法表示出来． 解析：(1)列表法： x(台) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法：如图所示． (3)解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}． 方法归纳 理解函数的表示法应关注三点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念． (2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义． (3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1，2，3，4}，试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)． 解析：用图象法表示函数y＝f(x)，如图所示： 用列表法表示如下： x 1 2 3 4 y －2 －3 －4 －5 题型2　函数图象的画法 例2　作出下列函数的图象 (1)y＝，x∈[2，＋∞)； 解析：(1)列表 x 2 3 4 5 … y 1 … 当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分． (2)y＝x2＋2x，x∈[－2，2)． 解析：(2)列表 x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在 －2≤x<2之间的部分． 方法归纳 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象． (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈． 注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等． 跟踪训练2　作出下列函数的图象． (1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2) (2)y＝2x2－4x－3，(x∈[0，3))． 解析：(1)因为x∈Z，且|x|≤2，所以x∈{－2，－1，0，1，2}， 所以该函数图象为直线y＝1－x上的孤立点(如图①)． (2)因为y＝2(x－1)2－5，所以当x＝0时，y＝－3； 当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5. 因为x∈[0，3)，故图象是一段抛物线(如图②)． 题型3　求函数的解析式 角度1　已知函数类型求函数解析式 例3　求函数的解析式： (1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，求f(x)； 解析：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1. 所以 解得或 所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. (2)已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根的平方和为10，图象过点(0，3)，求f(x)． 解析：(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝f(4)及 得4a＋b＝0.① 又图象过点(0，3)，所以c＝3.② 设f(x)＝0的两实根分别为x1，x2， 则x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×＝10. 即b2－2ac＝10a2③ 由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3. 所以f(x)＝x2－4x＋3. 角度2　已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式 例4　(1)若f＝，则当x≠0，且x≠1时，函数的解析式f(x)＝______________； (2)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝____________． (x≠0且x≠1) x2－1(x≥1) 解析：(1)设t＝(t≠0，且t≠1)，则x＝， ∴f(t)＝＝， ∴f(x)＝(x≠0，且x≠1)． (2)令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2≥1， ∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 角度3　已知式中含f(x)，f或f(x)，f(－x)形式的式子，求f(x)的解析式 例5　已知f(x)＋2f＝x(x≠0)，则f(x)＝____________． (x≠0) 解析：用替换式子中的x， 可得f＋2f(x)＝.   解得f(x)＝(x≠0)． 方法归纳 1．待定系数法求解析式 根据已知的函数类型，设出函数的解析式，再根据条件求系数，常见的函数设法： 正比例函数 y＝kx，k≠0 反比例函数 y＝，k≠0 一元一次函数 y＝kx＋b，k≠0 一元二次函数 一般式：y＝ax2＋bx＋c，a≠0 顶点式：y＝a(x－h)2＋k，a≠0 两点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，a≠0 2.换元法求函数的解析式 已知复合函数f(g(x))的解析式，令t＝g(x)， 当x比较容易解出时，可以解出x换元代入； 当x不容易解出时，可以考虑先构造， 如f＝x2＋＝－2，令t＝x＋，换元代入． 换元法还要注意换元t的范围． 3．解方程组法求函数的解析式 方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(－x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(－x)，f(x)的方程，联立解出f(x). 跟踪训练3　(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，则f(x)＝__________． (2)已知函数y＝f(x)是一次函数，且[f(x)]2－3f(x)＝4x2－10x＋4，则f(x)＝_____________． (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝ ________． x2－5x＋6 －2x＋4或2x－1 x－1 解析：(1)设x＋1＝t，则x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. (2)设f(x)＝kx＋b(k≠0) 则[f(x)]2－3f(x)＝(kx＋b)2－3(kx＋b) ＝k2x2＋(2kb－3k)x＋b2－3b ＝4x2－10x＋4， 所以解得或 ∴f(x)＝－2x＋4或f(x)＝2x－1. (3)用－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x， 由 消去f(－x)得f(x)＝x－1. 易错辨析　换元时忽略函数的定义域致误 例6　已知函数f(＋2)＝x＋4＋5，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x2＋1　B．f(x)＝x2＋1(x≥2) C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2(x≥2) 解析：∵f(＋2)＝x＋4＋5 令＋2＝t≥2，则＝t－2， ∴f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＋5＝t2＋1(t≥2) ∴f(x)＝x2＋1(x≥2)，故选B. 答案：B 易错警示 易错原因 纠错心得 换元时，令＋2＝t，忽略了t的范围，错选A. 已知函数y＝f(g(x))的解析式，求函数y＝f(x)的解析式时，若函数y＝g(x)的值域不是全体实数，则所求得的函数y＝f(x)的解析式必须带有定义域(即函数y＝g(x)的值域)． 课堂十分钟 1．已知函数f(x)由下表给出，则f(11)＝(　　) x 0≤x＜5 5≤x＜10 10≤x＜15 15≤x≤20 f(x) 2 3 4 5 A.2 B．3 C．4 D．5 答案：C 解析：由图表可知f(11)＝4.故选C. 2．y与x成反比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为(　　) A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ 答案：C 解析：设y＝(k≠0)，当x＝2时，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.故选C. 3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是(　　) A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7 C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10 答案：A 解析：方法一：设t＝x－1，则x＝t＋1. ∵f(x－1)＝x2＋4x－5 ∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t， ∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x； 方法二：∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)， ∴f(x)＝x2＋6x，∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x. 故选A. 4．已知函数f(2x－1)＝3x－5，若f(x0)＝4，则x0＝________． 5 解析：令t＝2x－1，则x＝，f(t)＝－5＝t－.所以f(x)＝x－. 因为f(x0)＝4，所以x0－＝4，解得x0＝5. 5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)． (1)画出f(x)图象的简图； (2)根据图象写出f(x)的值域． 解析：(1)f(x)图象的简图如图所示． (2)由f(x)的图象可知，f(x)所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，则f(x)的值域是[－1，3]. $$