8.1.1向量数量积的概念、8.1.2 向量数量积的运算律课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

8．1.1　向量数量积的概念 8．1.2　向量数量积的运算律 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 1.理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．会用平面向量的数量积判断两个向量的垂直关系． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　向量的夹角 定义 已知两个非零向量a和b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则________＝θ叫做向量a与b的夹角． 范围 ____________ 特例 θ＝______ a与b同向 θ＝180° a与b反向 θ＝90° a与b垂直，记作_________，规定________可与任一向量垂直 ∠AOB 0°≤θ≤180° 0° a⊥b 零向量 知识点二　向量的数量积 向量数量积的定义：_____________叫做向量a和b的数量积，记作_______． 知识点三　向量的投影与向量数量积的几何意义 1．投影向量的概念：已知向量a和直线l，如图．作＝a，过点O，A分别作直线l的垂线，垂足分别为O1，A1，则_________叫做向量a在直线l上的投影向量(简称投影)． |a||b|cos 〈a，b〉 a·b 向量O1A1 2．投影的数量：向量a的方向与直线l的正向所成的角为θ，________称作a在________上的数量或在__________上的数量． 3．a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积．其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． 知识点四　数量积的性质 1．若e是单位向量，则e·a＝a·e＝______________． 2．若a⊥b，则a·b ＝0；反之，若a·b ＝0，则a⊥b，通常记作a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)． |a|cos θ 直线l 直线l的方向 |a|cos 〈a·e〉 状元随笔　向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ [提示]　向量的数量积·是一个实数，不考虑方向；数乘向量λ是一个向量，既有大小，又有方向，这是二者的区别． 状元随笔　· ＝0与ab ＝0的区别是什么？ [提示]　(1)意义和表达方式不同． ·表示两个向量的数量积，中间的“·”不能省略，也不能写成“×”． (2)推出的结果不同．由·＝0可推出以下四种可能 ①＝，＝，②＝， ≠，③≠，＝，④≠0， ≠，而ab＝0可推出a与b中至少有一个为0. (3)||＝. (4)cos θ＝(||·|| ≠0)． (5)对任意两个向量，，有|·|≤||||.当且仅当∥ 时等号成立． 知识点五　向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 状元随笔　“若·＝·，则＝”成立吗？请说明原因． [提示]　不成立．如⊥，⊥时，·＝·，但与不一定相等． 基 础 自 测 1.已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为(　　) A． B． C. D． 答案：D 解析：向量a在b方向上的投影为|a|cos θ＝3×cos ＝.故选D. 2．在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B．钝角三角形 C.直角三角形 D．无法确定 答案：C 解析：在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形． 3.如图，在△ABC中，的夹角与的夹角的关系为________. 互补 解析：根据向量夹角定义可知向量夹角为∠BAC，而向量夹角为π－∠BAC，故二者互补． 4．已知等边△ABC的边长为4，则·＝________． 8 课堂探究·素养提升 题型1　与向量数量积有关的概念 例1　(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号) ①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0； ②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角； ③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形； ④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2. 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答． 【解析】　由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cos θ(θ为向量a，b的夹角)． ①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错； ②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错； ③由·＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确； ④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确． ③④ (2)已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝－12，则a在b方向上的投影的数量为________，b在a方向上的投影的数量为________． － －4 【解析】　设a与b的夹角为θ，则有a·b＝|a|·|b|cos θ＝－12， 所以向量a在向量b方向上的投影的数量为|a|·cos θ＝＝＝－；向量b在向量a方向上的投影的数量为|b|·cos θ＝＝＝－4. 方法归纳 (1)在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写． (2)求平面向量数量积的方法： ①若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ. ②若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b. 跟踪训练1　(1)给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长． 其中正确的是________．(填序号) ①②⑥ 解析：由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b，所以④不正确；对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤不正确；⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影，而不是投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确． (2)在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥AB，AD＝，则·＝(　　) A．－1 B．1 C． D．2 解析：因为四边形ABCD为直角梯形，故在方向上的投影的数量为，由数量积的几何意义可知·＝()2＝2. 答案：D (3)已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，满足＝)，且||＝1，则向量在向量方向上的投影的数量为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：由＝可知O为BC中点，所以△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，由||＝1，||＝2，所以∠ABC＝60°，向量与的夹角为60°，因此向量在向量上的投影的数量为||cos 60°＝1×＝. 答案：A 题型2　数量积的基本运算 例2　已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为135°时，分别求a与b的数量积． 【解析】　设向量a与b的夹角为θ， (1)a∥b时，有两种情况： ①若a和b同向，则θ＝0°， a·b＝|a||b|cos 0°＝20； ②若a与b反向，则θ＝180°， a·b＝|a||b|cos 180°＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°， ∴a·b＝0. (3)当a与b夹角为135°时， a·b＝|a||b|cos 135°＝－10. 状元随笔　(1)当∥时，与夹角可能为0 °或180 °. (2)当⊥时，与夹角为90 °. (3)若与夹角及模已知时可利用·＝||·||cos θ(θ为，夹角)求值． 方法归纳 (1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)非零向量a与b共线的条件是a·b＝±|a||b|. 跟踪训练2　已知正三角形ABC的边长为1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 解析：(1)与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60° ＝1×1×＝. (2)与的夹角为120°， ∴·＝||||cos 120° ＝1×1×(－)＝－. (3)与的夹角为60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝. 题型3　与向量模有关的问题 例3　设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|等于(　　) A． B． C． D． 【解析】　由于|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝3，所以|a＋2b|＝，故选B. 【答案】　B 方法归纳 (1)此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系． (2)利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 跟踪训练3　已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，a与b的夹角为120°，求向量b的模． 解析：因为a2＝4，所以|a|2＝4，即|a|＝2， 将x＝1代入原方程可得1＋2×1＋a·b＝0，所以a·b＝－3，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2|b|cos 120°＝－3，所以|b|＝3. 题型4　平面向量数量积的性质 例4　(1)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？ 【解析】　由已知得a·b＝3×2×cos 60°＝3. 由c⊥d，知c·d＝0， 即c·d＝(3a＋5b)·(m a－3b) ＝3m a2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0， ∴m＝，即m＝时，c与d垂直． 状元随笔　(1)设与都是非零向量，若⊥，则·等于多少？反之成立吗？ [提示]　⊥⇔·＝0. (2)当与同向时，·等于什么？当与反向时，·等于什么？特别地，·等于什么？ [提示]　当与同向时，·＝||||；当与反向时，·＝－||||；·＝2＝或||＝. (3)|·|与||||的大小关系如何？为什么？对于向量，，如何求它们的夹角θ？ [提示]　|·|≤||||，设与的夹角为θ，则 ·＝||||cos θ. 两边取绝对值得： |·|＝|||||cos θ|≤||||. 当且仅当|cos θ| ＝1， 即cos θ ＝±1，θ ＝0或π时，取“ ＝”， 所以|·|≤||||，cos θ ＝. (2)已知a，b是两个非零向量． ①若|a|＝3，|b|＝4，|a·b|＝6，求a与b的夹角； ②若|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角． 【解析】　①因为a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉， 所以|a·b|＝||a||b|cos 〈a，b〉|＝|a||b||cos 〈a，b〉|＝6. 又因为|a|＝3，|b|＝4， 所以|cos 〈a，b〉|＝＝＝，所以cos 〈a，b〉＝±. 因为〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为或. ②如图，在平面内取一点O，作＝a，＝b，以为邻边作▱OACB， 因为|a|＝|b|，即||＝||，所以四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB， 这时＝a＋b，＝a－b，因为|a|＝|b|＝|a－b|，即||＝||＝||， 所以∠AOB＝，所以∠AOC＝，即a与a＋b的夹角为. 状元随笔　(1)由条件计算 ·，当⊥时，· ＝0列方程求解m. (2)①利用向量数量积的公式求解；②利用向量的几何意义求解． 方法归纳 (1)已知非零向量a，b，若a⊥b，则a·b＝0，反之也成立． (2)设a与b夹角为θ，利用公式cos θ＝可求夹角θ，求解时注意向量夹角θ的取值范围θ∈[0，π]. 跟踪训练4　若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________． － 解析：设a与b夹角为θ，因为|a|＝3|b|， 所以|a|2＝9|b|2， 又|a|＝|a＋2b|，所以|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ＝|a|2＋4|b|2＋4|a|·|b|·cos θ＝13|b|2＋12|b|2cos θ， 即9|b|2＝13|b|2＋12|b|2cos θ，故有cos θ＝－. 教材反思 (1)对投影的三点诠释 ①a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的投影的乘积．其中a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的． ②b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成. ③投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零． (2)向量的数量积与实数乘积运算性质的比较 实数a，b，c 向量a，b，c a≠0，a·b＝0⇒b＝0 a≠0，a·b＝0⇒/ b＝0 a·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c a·b＝b·c(b≠0)⇒/ a＝c |a·b|＝|a|·|b| |a·b|≤|a|·|b| 满足乘法结合律 不满足乘法结合律 $$