8.1.2向量数量积的运算律-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第三册)

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1向量的数量积 8.1.2向量数量积的运算律 知识梳理 一．向量数量积的运算律 1．交换律：a·b＝b·a. 2．(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb). 3．对加法满足分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c， 推广结论：(a＋b)(a－b) ＝；(a＋b)2＝ 常见考点 考点一 数量积的运算律 典例1．下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的定义及运算律一一判断即可； 【详解】 解：对于A：，故A错误； 对于B：由可以得到，但是由得不到，当时，故B错误； 对于C：若则或，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选：D 变式1-1．下列命题正确的是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由向量的数量积运算，逐一判断即可得出结果. 【详解】 A.当时，可得，故A不正确； B. 是与方向相同的向量，是与方向相同的向量，故B不正确； C. 向量数量积的分配律，故C正确； D. ，当与的夹角、与的夹角不同时不成立，故D不正确. 故选：C 变式1-2．下面给出的关系式中正确的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 向量数乘仍是向量，故①错误；由向量数量积的运算律，有②③正确；应用数量积的运算可证明、不成立，故④⑤错误 【详解】 ①错误，正确的是，向量数乘结果还是向量. ②③正确，根据向量数量积运算可判断得出. ④错误，，故 ⑤错误， 综上，正确的个数为2 故选：B 【点睛】 本题考查了向量的运算性质、数量积的运算律，判断正误 变式1-3．若是任意平面向量，，给出下列等式： ①；②；③；④；⑤． 其中正确的等式个数是（ ）．A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量运算律逐一验证，即可确定选择. 【详解】 向量加法满足结合律，所以，A对； 向量加法满足分配律，所以，B对； 向量乘法不满足分配律，即不一定成立，C错； 向量数乘满足结合律、分配律以及交换律，所以，，即④⑤正确； 故选：C 【点睛】 本题考查向量运算律，考查基本分析判断能力，属基础题. 考点二 利用定义求数量积 典例2．设平面向量，的夹角为，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解 【详解】 由题意， 则 故选：A 变式2-1．已知向量为单位向量，，且向量与向量的夹角为，则的值为（ ） A．-2 B．- C． D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用平面向量数量积的定义及运算律即可得出答案. 【详解】 解：因为向量为单位向量，， 且向量与向量的夹角为，得， 则. 故选：C. 变式2-2．已知向量和的夹角为120°，且，则等于（ ） A．12 B． C．4 D．13 【答案】D 【解析】 【分析】 利用数量积的运算律和定义可求的值. 【详解】 , 故选：D. 变式2-3．已知向量、满足，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D．、 【答案】C 【解析】 【分析】 直接对化简，然后利用数量积的定义和运算律求解即可 【详解】 因为， 与的夹角为， 所以 ， 故选：C 考点三 已知数量积求模 典例3．已知非零向量满足，且，则向量的模长为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【解析】 【分析】 将两边平方并化简，进而结合即可求得答案. 【详解】 设的夹角为，因为，所以， 所以． 故选：B. 变式3-1．已知向量，，，则（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可. 【详解】 解：由题意得： ，即 ，解得 故选：C 变式3-2．已知向量，的夹角为60°，，，则（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据数量积公式可得，再根据，即可求出结果． 【详解】 ∵向量，的夹角为60°，且，，∴， ∴. 故选：D． 变式3-3．平面向量与的夹角为60°，，则|等于（ ） A． B．2 C．4 D．12 【答案】B 【解析】 【分析】 先由已知条件求出，再由可求得答案 【详解】 因为， 所以， 因为向量与的夹角为60°， 所以， 所以， 故选：B 考点四 已知模求数量积或夹角 典例4．已知向量，的夹角为，，，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 将，两边平方再解方程组即可. 【详解】 由，得， 由，得， 从而有，即． 故选：