4.1.2无理数指数幂课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

4．1.2　无理数指数幂 新知初探 课前预习 题型探究 课堂解透 新知初探 课前预习 最新课程标准 1. 认识无理数指数幂ax(a＞0，且a≠1，x∈R)的意义． 2．掌握实数指数幂的运算性质． 学科核心素养 1. 了解无理数指数幂的意义．(数学抽象) 2．能利用实数指数幂的运算性质进行指数运算．(数学运算) 教材要点 要点一　有理数指数幂的基本不等式 (1)基本形式：对任意的正有理数r和正数a，若a＞1，则ar＞1；若a<1，则ar<1. (2)推论：对任意的正数a＞1和两有理数r>s，有＝ar－s>1，即ar＞as. 对任意的正数a<1和两有理数r>s，有＝ar－s<1，即ar< as. 要点二　无理数指数幂的概念 给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂au都有了定义，其中a叫作底数，u叫作指数． 状元随笔　(1)无理数指数幂通常用近似逼近的方法转化为有理数指数幂，即用无理数指数幂的不足近似值(逢数都舍)和过剩近似值(逢数进位)不断地逼近无理数指数幂的准确值．具体方法是：先取无理数指数的两种近似值(不足近似值和过剩近似值)，然后计算无理数指数幂的不足近似值和过剩近似值，这两个值可以无限逼近一个实数aα(a ＞0，α是无理数). (2)0的正无理数指数幂为0，0的负无理数指数幂没有意义． 要点三　幂运算基本不等式 对任意的正数u和正数a，若a＞1，则au＞1；若a<1，则au<1. 对任意的负数u和正数a，若a＞1，则au<1；若a<1，则au＞1. 要点四　实数指数幂的运算性质 对于任意正数a，b和实数r，s，指数幂均满足下面的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R). 　 状元随笔 实数指数幂的运算性质除了上述三个外，还有如下两个常用性质： (1)ar÷as ＝ar－s(a＞0，r，s∈R)； (2)＝ (a＞0，b＞0，r∈R). 基础自测 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)是一个确定的实数．(　　) (2)指数幂aα的指数α只能取无理数．(　　) (3)＝8.(　　) (4)2∈R.(　　) √ √ √ × 2．＝(　　) A．　　　　B．8　　　　C．　　　　D．16 答案：D 解析：＝＝24＝16. 3．化简：＝________．(a＞0) 解析： ＝＝. 4．计算：＝________． 125 解析：＝＝＝53＝125. 题型探究 课堂解透 题型1　无理数指数幂的运算 例1　(1)(·； (2) (a＞0). 解析： (1)原式＝(·＝＝36·22＝2 916. (2)原式＝＝. 方法归纳 关于无理数指数幂的运算 (1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算； (2)若式子中含有根式，则先化为指数式再进行运算，一般指数中的根式可以保留． 跟踪训练1　计算：(1)； (2) (m＞0) 解析： (1)原式＝＝＝π3. (2)原式＝＝＝m2π. 题型2　条件因式的化简与求值 角度1　“已知值”的化简求值 例2　已知x＝，y＝，求－的值． 角度2　“整体代换”化简求值 例3　已知＋＝3，求下列各式的值． (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3) 解析：(1)将＋＝3两边平方， 得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7. (2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47. (3)由于＝－， 所以有)＝ ＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8. 方法归纳 解条件求值问题的原则 (1)对于含条件的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件的联系，然后求值． (2)也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值． 跟踪训练2　(1)已知am＝4，an＝3，则 的值为(　　) A． B．6 C． D．2 (2)已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，则＝________． A － 题型3　实数指数幂比较大小 例4　已知a>1，h>0，对任意的实数u， 求证： (1)au＋2h－au＋h>au＋h－au； (2)(1＋h)100>1＋100h. 证明：(1)因为au＋2h，au＋h，au都是正数，且＝＝ah>1，故au＋2h－au＋h，au＋h－au也是正数． 即得au＋2h－au＋h>au＋h－au. (2)由于对正数A和B有(1＋A)(1＋B)>1＋A＋B， 故(1＋h)2>1＋2h，(1＋h)3>(1＋2h)(1＋h)>1＋3h， 从而(1＋h)10＝[(1＋h)2(1＋h)3]2>[(1＋2h)(1＋3h)]2>(1＋5h)2>1＋10h，两端10次方得(1＋h)100>(1＋10h)10>1＋100h. 方法归纳 进行实数指数幂的大小比较时，要善于应用幂运算基本不等式，同时注意数的正负性，对于正数a，b，<1⇔0<a<b；对于负数a，b，<1⇔0>a>b. 跟踪训练3　已知0<a<1，h>0，对任意的实数u，求证： au＋h－au＋2h<au－au＋h. 证明：由au，au＋h，au＋2h都是正数，且＝＝ah<1，得au＋h－au＋2h>0，au－au＋h>0， 所以au＋h－au＋2h<au－au＋h. 课堂十分钟 1．计算的结果是(　　) A．π　　　　B．　　　　C．－π　　　　D． 答案：D 解析：＝＝π－1＝. 2. ·等于(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：A 解析：·＝· ＝－·＝－＝－ . 3．若2x＝7，2y＝6，则4x－y等于(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：4x－y＝22x－2y＝＝. 4．化简·＝________． 解析：()2 020·()2 021＝[()()]2 020·()＝ 12 020·()＝. 5．已知＋＝4，求的值． 解析：∵＋＝4，∴x＋2＋x－1＝16. ∴x＋x－1＝14，∴x2＋2＋x－2＝196， ∴x2＋x－2＝194， ∴原式＝＝－3. 解析：－ ＝－＝. ∵x＝，y＝， ∴原式＝＝＝－24＝－8. 解析：(1)＝＝＝. (2)∵x＋y＝12，xy＝9， ∴2＝＝＝＝. ∵x<y，∴原式＝－＝－. 又因为＝＝＝ah>1， 所以＝＝＝ah<1， $$