4.1.2无理数指数幂 课件——2022－2023学年高一上学期湘教版（2019）必修第一册

4.1实数指数幂和幂函数 4.1.2无理数指数幂 新课导入 我们在昨天学习过了有理数指数幂： [1]若一个实数x的n次方等于a，即，则称x是a的n次方根。 (1)当n是奇数的时，数a的n次方根记作. (2)当n是偶数时，整数a的n次方根有2个，它们互为相反数。其中正的n次方根叫作算数根，记作。 新课导入 [2] [3] 当n为奇数时 当n时偶数时 [4] 当 我们知道对任意的正整数n和正数a来说，若a>1,则；若a<1,则,那么对于有理数来说是否也有类似的关系呢？让我们一起看看。 新知讲授 如果a>1,那么有。 【反证法】假设 所以有 和题目矛盾，所以a>1,那么有 进一步可得： 新知讲授 综合起来可以得到有理数指数幂的基本不等式： （1）对任意的正有理数r和正数a：若a>1则;若a<1则; （2）对任意的负有理数r和正数a：若a>1则;若a<1则 推论 任意的正数a和两个有理数r>s，有 任意的正数a和两个有理数r>s，有 新知讲授 对于a>0,当x是有理数时，都有意义，那当x成无理数时，正数的无理数指数幂又该如何定义呢？ 比如：如何定义的呢？我们可得到下表： 新知讲授 先计算出： 和 所以我们知道了： 用a的有理数次幂来逼近无理数次幂 所以说给定任意正数a，对任意的实数u，a的u次幂都有了定义。 中，a叫作底数，u叫作指数。 新知讲授 可以证明，有理数指数幂的运算法则，对实数指数幂任然成立： 即对于任意实数m,n任然有下列运算法则:(a>0,b>0,m,n是实数) [1] [2] [3] 新知讲授 类似的，我们还有更一般的幂运算基本不等式： 对任意的正实数u和正实数a，若a>1则;若a<1则; 对任意的负实数u和正实数a，若a>1则;若a<1则; 巩固练习 例一、化简下列各式 (1)(2) 解：(1) (2) 巩固练习 例二、已知a>1,h>0,对任意的实数u,求证： 解:因为a>1,h>0 所以 且 、 均是正数 所以 所以 是正数 所以 所以 巩固练习 例三、若正数x满足则， 解：由题可: 所以有： 即： 又因为： 所以有： 即： 拔高练习 试着比较三个数的大小。 解：由于 所以 谢谢大家 按时完成作业 $