7.2.3 同角三角函数的基本关系式课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7．2.3　同角三角函数的基本关系式 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 【课程标准】 理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 新知初探·自主学习 知识点　同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝________． 商数关系：＝________(α≠kπ＋，k∈Z)． (2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的__________等于1，________等于角α的正切． 1 tan α 平方和 商 状元随笔　“同角”一词的含义： [提示]　一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等． 基础 自 测 1.已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　) A．－　　 B．－ C．　　 D． 答案：A 解析：利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－. 2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　) A．－　　 B．－ C．　　 D． 解析：∵cos2α＝1－sin2α＝1－＝， ∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝＝－. 答案：B 3．(多选)如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　) A．tanα＝－ B．cos α＝－ C．sinα＝ D．tanα＝ 解析：由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cosα＜0，sin α＞0，故BC正确． 答案：BC 课堂探究·素养提升 题型1　应用同角三角函数关系求值 例1　(1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)若cos α＝，求tan α的值； (3)若tan α＝－，求sin α的值． 对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果． 【解析】　(1)∵sin α＝－， α是第三象限角， ∴cos α＝－＝－， tanα＝＝－×(－)＝. (2)∵cos α＝>0， ∴α是第一、四象限角． 当α是第一象限角时， sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝； 当α是第四象限角时， sin α＝－＝－＝－， ∴tan α＝－. (3)∵tan α＝－<0， ∴α是第二、四象限角． 由 可得sin2α＝()2. 当α是第二象限角时，sinα＝； 当α是第四象限角时，sin α＝－. 方法归纳 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法： (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系； (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果． 跟踪训练1　(1)若sin α＝－，且α为第三象限角，则tan α的值等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：因为α为第三象限角， 所以cos α＝－＝－. 所以tanα＝＝. 答案：C (2)已知tan α＝，且α∈(π，)，则sin α＝______，cos α＝______. 解析：因为tan α＝，所以 解得　或 因为α∈(π，)， 所以 － － 题型2　应用同角三角函数关系化简求值 例2　(1)已知sin α＋cos α＝－，0<α<π. ①求sin αcos α的值； ②求sin α－cos α的值． (2)已知tan α＝2，求下列各式的值． ①； ②； ③2sin2α－sin αcos α＋cos2α. 【解析】　(1)①由sin α＋cos α＝－得(sin α＋cos α)2＝， sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，sinαcos α＝－. ②因为0<α<π，sin αcos α<0， 所以sin α>0，cos α<0⇒sin α－cos α>0. sin α－cos α＝ ＝＝. (2)因为tan α＝2， 所以①＝＝－. ②＝＝＝. ③2sin2α－sinαcos α＋cos2α ＝ ＝ ＝＝. 状元随笔　根据商数关系把齐次式的分子分母同时除以cos α的n次方，进行弦化切运算；若题目中没有分母，一般把分母化为1，再利用1＝sin2α＋cos2α转化． 方法归纳 1．已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，是分析解决问题的突破口． 2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值． (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值． 跟踪训练2　(1)若sin α＋3cos α＝0，则的值为________； 解析：因为sin α＋3cos α＝0， 所以tan α＝－3，因此原式＝＝＝－. － (2)已知sin αcos α＝－，且0<α<π，求tan α的值． 解析：法一：∵sin αcos α＝－，sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝1＋2×(－)＝， ∴(sin α＋cos α)2＝，∴sin α＋cos α＝±. 同理(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝. ∵sin αcos α＝－<0，0<α<π， ∴<α<π， ∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝. 由，得或， ∴tan α＝－或tan α＝－. 法二：∵sin αcos α＝－， ∴＝－， ∴＝－， ∴12tan2α＋25tanα＋12＝0， ∴(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0， ∴tan α＝－或tan α＝－. 题型3　应用同角三角函数关系化简 例3　若sin α·tan α<0，化简. 【解析】　∵sin α·tan α<0，∴cos α<0. 原式＝ ＋ ＝＝ ＝＝－. 方法归纳 解答此类题目常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 跟踪训练3　化简： . 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝1. 题型4　三角恒等式的证明 【思考探究】　1.证明三角恒等式常用方法 [提示]　(1)从右证到左． (2)从左证到右． (3)证明左右归一． (4)变更命题法．如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等． 2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？ [提示]　sin2α＋cos2α＝1，tan＝1. 例4　求证：＝. 【证明】　左边＝ ＝＝ ＝＝＝＝右边． 所以原等式成立． 状元随笔　解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较．关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧． 方法归纳 (1)证明恒等式常用的思路是：①从一边证到另一边，一般由繁到简；②左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；③比较法(作差，作比法)． (2)常用的技巧有：①巧用“1”的代换；②化切为弦；③多项式运算技巧的应用(分解因式)． (3)解决此类问题要有整体代换思想． 跟踪训练4　求证：＝. 证明：右边＝＝＝＝＝左边， ∴原等式成立． 教材反思 (1)同角三角函数基本关系式的变形形式 ①平方关系：1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α. ②商数关系：sinα＝tan α·cos α，cos α＝. (2)已知sin α±cos α，整体代入求值 已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式： (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α. 所以知道sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出． (3)应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号． 易错点　忽略利用平方关系开方时符号的选择 例5　已知tan α＝，求sin α，cos α的值． 错解：由tan α＝＝得 sin α＝cos α.① 又∵sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得cos2α＋cos2α＝1. ∴cos2α＝. ∴cosα＝. ∴sin α＝cos α＝. 正解：由tan α＝＝得sin α＝cos α.① 又∵sin2α＋cos2α＝1，② 由①②得cos2α＋cos2α＝1.∴cos2α＝. 当α是第三象限的角， ∴cosα＝－.∴sin α＝cos α＝－. 当α是第一象限的角， ∴cos α＝.∴sin α＝cos α＝. 错因分析：忽略利用平方关系开方时符号的选择． 纠错警示：利用平方关系开方时符号的确定，要根据角度的范围选择，有时要进行讨论． $$