1.1.6祖暅原理与几何体的体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

11．1.6　祖暅原理与几何体的体积 新知初探·自主学习 课堂探究·素养提升 课程标准 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．知道球、棱柱、棱锥、棱台的体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 新知初探·自主学习 教 材 要 点 知识点一　祖暅原理 (1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积________，那么这两个几何体的体积________”． (2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积________． 总相等 一定相等 相等 知识点二　柱体、锥体、台体和球的体积公式 其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径． 名称  体积(V) 柱体 棱柱 ________________ 圆柱 πr2h 锥体 棱锥 ________________ 圆锥 πr2h 台体 棱台 ________________ 圆台 πh(r2＋rr′＋r′2) 球 ________________ Sh Sh h(S＋＋S′) πR3 基 础 自 测 1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为(　　) A．27 cm3 B．60 cm3 C．64 cm3 D．125 cm3 答案：B 解析：长方体的体积为3×4×5＝60(cm3)． 2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为(　　) A．15π B．30π C．12π D．36π 答案：C 解析：圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π. 3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 答案：B 解析：设轴截面正方形的边长为a， 由题意知S侧＝πa·a＝πa2. 又∵S侧＝4π，∴a＝2. ∴V圆柱＝π×2＝2π. 4．若一个球的直径是12 cm，则它的体积为________cm3. 288π 解析：由题意，知球的半径R＝6 cm，故其体积V＝πR3＝×π×63＝288π(cm3)． 课堂探究·素养提升 题型1　求柱体的体积 例1　如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积． 【解析】　V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)， V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)， V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)， ∴此几何体的体积： V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)． 方法归纳 计算柱体体积的关键及常用技巧 (1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高． (2)常用技巧： ①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高． ②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积． 跟踪训练1　一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比． 解析：设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r， 则有 由①得r＝a， 由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝a3， ∴V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2. 题型2　求锥体的体积 例2　(1)半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积是(　　) A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3 【答案】　A 【解析】　设圆锥的底面半径为r，则2πr＝l＝π·R.所以r＝R. 所以圆锥的高h＝ ＝R. 所以V锥＝πr2·h＝··R＝πR3. (2)如图三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1的体积之比． 【解析】　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则＝4S. ∴＝S△ABC·h＝Sh， ＝·h＝Sh. 又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh， ∴＝V台＝Sh－＝Sh， ∴体积比为1∶2∶4. 状元随笔　→→ →→ (3)如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1-D1EF的体积． 【解析】　由＝， 因为＝EA1·A1D1＝a2， 又三棱锥F - A1D1E的高为CD＝a， 所以＝×a×a2＝a3. ＝a3. 状元随笔　三棱锥A1-D1EF的高不易求出，可以转换为求三棱锥F-A1D1E的体积． 方法归纳 1．三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法． 2．求几何体体积的常用方法 跟踪训练2　(1)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1-ADC的体积是(　　) A． B． C． D．1 解析：三棱锥D1 - ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝×AD×DC×D1D＝＝. 答案：A (2)如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′-EFQ的体积(　　) A．与点E，F的位置有关 B．与点Q的位置有关 C．与点E，F，Q的位置都有关 D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值 解析：V三棱锥A′ - EFQ＝V三棱锥Q - A′EF ＝×EF×AA′×A′D′＝， 所以其体积为定值，与点E，F，Q的位置均无关． 答案：D (3)如图所示，三棱锥P-ABC的所有棱长都为1，求此三棱锥的体积． 解析：如图所示，把三棱锥放在正方体中． 三棱锥P - ABC可看作正方体切去四个三棱锥得到， 因为正四面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，所以三棱锥P - ABC的体积为－4×＝. 状元随笔　将此三棱锥放在正方体中，看作正方体切去四个三棱锥得到，据此设计算法求解． 题型3　求台体的体积 例3　已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积． 【解析】　如图所示，正四棱台ABCD - A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形． 由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13， 在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5， OE＝AB＝10， ∴O1O＝＝12， V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)． 故正四棱台的体积为2 800 cm3. 状元随笔　可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积． 方法归纳 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系． 跟踪训练3　本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积．” 解析：如图，正四棱台ABCD - A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm， 则O1B1＝ cm，OB＝2 cm， 过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中， BB1＝2 cm，MB＝(2)＝(cm)． 根据勾股定理 MB1＝＝(cm)． S上＝22＝4(cm2)，S下＝42＝16(cm2)， ∴V正四棱台＝×(4＋＋16) ＝×28＝(cm3)． 题型4　求球的体积 例4　(1)过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积． 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形． 【解析】　如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′. ∵AB＝BC＝CA＝3(cm)， ∴O′为正三角形ABC的中心， ∴AO′＝AB＝(cm)． 设OA＝R，则OO′＝R， ∵OO′⊥截面ABC， ∴OO′⊥AO′， ∴AO′＝R＝(cm)，∴R＝2(cm)， ∴V球＝πR3＝π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)． 即球的体积为π cm3，表面积为16π cm2. (2)如图，圆柱内有一内切球(圆柱各面与球面均相切)，若内切球的体积为π，则圆柱的侧面积为(　　) A．π B．2π C．4π D．8π 【解析】　设球的半径为r，则πr3＝π，解得r＝1，所以圆柱的底面半径r＝1，母线长为l＝2r＝2，所以圆柱的侧面积为S＝2πrl＝2π×1×2＝4π. 【答案】　C 方法归纳 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法． 跟踪训练4　如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 解析：半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×(3x)3，其余两个球的体积之和为πx3＋π×(2x)3， ∴π×(3x)3÷＝3. 答案：C 教材反思 1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的表面积． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)求空间几何体的体积的方法． (2)求与组合体有关的体积的方法． 3．本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错． $$