精品解析：山东省威海市环翠区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年山东省威海市环翠区七年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题 1. 下列事件是确定事件的是（　　） A. 等边三角形三条边相等 B. 打开电视，正在播新闻联播 C. 汽车随机经过一个路口，遇到红灯 D. 投硬币刚好正面朝上 2. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形一个外角为，则其顶角为（　　）． A. B. C. 或 D. 或 4. 下列语句中，是真命题的是（　　） A. 不相交的两条直线叫平行线 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 任何数都有立方根 D. 若为实数，则 5. 在一个不透明的袋子中装有若干个黑球、白球、红球，它们除颜色外其他都相同．已知黑球和白球共有个，黑球和红球共个，白球和红球共个．若随机摸球摸到黑球的概率（　　） A. B. C. D. 6. 如图，直线被直线所截，，分别平分，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，，，且．以下各点不在直线上的是（　　） A. B. C. D. 9. 若关于x的不等式组解集为，则m的取值范围（　　） A. B. C. D. 10. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点D，交于点E，分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线交于点G；分别以点B，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于H，J两点，作直线HI分别交于点J，K，连接．下列四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①④ D. ②③ 二、填空题 11. 县林业部门考察某树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的某树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数 成活的棵数 成活的频率 根据表中的信息，估计某树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到）________． 12. 如图，是一张正方形纸片，点E，F分别为的中点．沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在上的点H处，折痕交于点G．若，则_______． 13. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 14. 已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 _______． 15. 如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则_______． 16. 一副三角板如图摆放，点F是边中点，连接．将绕点B旋转．若，则_______． 三、解答题 17. 计算： （1）分别用代入消元法和加减消元法解方程组； （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 18. 某校为增强学生体质，鼓励学生加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元． （1）求购买根跳绳和个毽子需要多少元？ （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元．若要求购买跳绳的数量不多于根，通过计算说明共有哪几种购买方案． 19. 如图，一个均匀的转盘被等分成份，分别标有,这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中选择一种： （1）“猜是奇数”或“猜偶数”的概率； （2）猜“是的倍数”或“不是的倍数”的概率； （3）猜“是大于等于的数”或“小于等于的数”的概率；如果轮到你猜数，那么尽可能的获胜，你将选择哪一种猜数方法？说明理由． 20. 已知，点在直线上，过点的直线交轴于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）点分别在直线，直线上．若，判断是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由． 21. 如图，在长方形中，，，．分别沿，折叠长方形，使点B，D分别落在边上的G，H处．连接，，求和的面积． 22. 将两个等腰直角三角板如图1放置，点是边中点． （1）试判断与的数量关系，并说明理由． （2）若将三角板如图2摆放，使得点重合，且点三点共线，连接．求证：． 23. 一条笔直的公路上依次有三地，两地相距．甲、乙两车同时出发驶往地，甲车中途修车一段时间．设甲、乙出发后与地的距离用表示．根据函数图象回答下列问题． （1）乙车的函数图象是________；（或） （2）若甲从地出发，两地距离________； （3）点坐标 ________； （4）求甲、乙两车距离不超过时的取值范围． 24. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）如图2，其余条件不变，若______． （3）如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年山东省威海市环翠区七年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题 1. 下列事件是确定事件的是（　　） A. 等边三角形三条边相等 B. 打开电视，正在播新闻联播 C. 汽车随机经过一个路口，遇到红灯 D. 投硬币刚好正面朝上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、等边三角形三条边相等，是必然事件，属于确定事件，符合题意； B、打开电视，正在播新闻联播，是随机事件，不符合题意； C、汽车随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D、投硬币刚好正面朝上，是随机事件，不符合题意； 故选：A． 2. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键．先根据数轴的定义可得，且，再根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：由实数a，b，c在数轴上的对应点的位置可知，，且， A．，是成立的，因此选项A不符合题意； B．由于，而，所以，是成立的，因此选项B不符合题意； C．由于，则，而，则，所以是成立的，因此选项C不符合题意； D．由于，则，而，所以，因此选项D符合题意． 故选：D． 3. 若等腰三角形一个外角为，则其顶角为（　　）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况讨论，利用补角的定义及三角形的内角和定理即可解答．本题考查了等腰三角形的性质，补角的定义，三角形的内角和定理，熟练运用等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形一个外角为， 当这个外角与等腰三角形的顶角是邻补角时， ∴等腰三角形的顶角：； 当这个外角与等腰三角形的底角是邻补角时， ∴等腰三角形的一个底角：， ∴等腰三角形的顶角：； 综上所述：这个等腰三角形的顶角为或， 故选：． 4. 下列语句中，是真命题的是（　　） A. 不相交的两条直线叫平行线 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 任何数都有立方根 D. 若为实数，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的定义，平行线的性质，立方根的性质，实数的性质，逐项判断即可．本题考查了平行线的定义，平行线的性质，立方根的性质，实数的性质，熟记相关性质是解题的关键． 【详解】解：∵在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线， ∴“不相交的两条直线叫平行线”是假命题， ∴项不符合题意； ∵两条平行线被第三条直线所截，内错角相等， ∴“两条直线被第三条直线所截，内错角相等”是假命题， ∴项不符合题意； ∵任何数都有立方根， ∴“任何数都有立方根”是真命题， ∴项符合题意； ∵若为实数，则， ∴“若为实数，则，”是假命题， ∴不符合题意； 故选：． 5. 在一个不透明的袋子中装有若干个黑球、白球、红球，它们除颜色外其他都相同．已知黑球和白球共有个，黑球和红球共个，白球和红球共个．若随机摸球摸到黑球的概率（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设黑球有个，白球有个，红球有个，根据题意列方程组解方程组可知黑球有个，白球有个，红球有个，最后利用概率公式即可解答．本题考查了三元一次方程组与实际问题，概率的公式，审清题意找出数量关系和等量关系是解题的关键． 【详解】解：设黑球有个，白球有个，红球有个， 由题意得：， 解得：， 即黑球有个，白球有个，红球有个， ∴随机摸球摸到黑球的概率为， 故选：． 6. 如图，直线被直线所截，，分别平分，．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的性质，解题关键在于找到各角之间的关系． 由平行可知内错角相等，即可求得，由角平分线可知，即可选出． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，，，且．以下各点不在直线上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、点的坐标等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．作轴，垂足为D，则有然后得到点，求出直线的解析式，然后逐一代入即可解题． 【详解】解：如图，作轴，垂足为D， 在和中， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，，在直线上， ，解得， ∴直线解析式为． A、当时，，故点在直线上，不符合题意； B、当时，，故点不在直线上，符合题意； C、当时，，故点在直线上，不符合题意； D、当时，，故点在直线上，不符合题意； 故选：B． 9. 若关于x的不等式组解集为，则m的取值范围（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的值，以及解一元一次不等式，先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的解集，求出m的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 故选：A． 10. 如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点D，交于点E，分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线交于点G；分别以点B，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于H，J两点，作直线HI分别交于点J，K，连接．下列四个结论：①；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确的是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，根据等边对等角推出，据此可判断①；根据等边对等角得到，则，再由三角形外角的性质得到，据此利用三角形内角和定理求出，即可判断②；先证明是等边三角形，进而证明是等边三角形，则，即可判断③；过G作于P：则，由角平分线的性质得到，则，即可判断④． 【详解】解：由作图可知，，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 若，则， 设，则， ∴， ∵∠， ∴， 解得， ∴，故②正确； 当时，是等边三角形， ∴， ∴，，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故③正确； 当时，过G作于P，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； ∴正确的有①②③； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质和尺规作图，线段垂直平分线的性质与尺规作图等等，熟知相关知识是解题的关键． 二、填空题 11. 县林业部门考察某树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的某树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数 成活的棵数 成活的频率 根据表中的信息，估计某树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到）________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是利用频率估计概率，解题关键是熟练掌握利用频率估计概率的方法． 利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案． 【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在， 可估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为， 故答案为：． 12. 如图，是一张正方形纸片，点E，F分别为的中点．沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在上的点H处，折痕交于点G．若，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质及图形的翻折问题，连接，先根据条件证明四边形是矩形，再结合折叠的性质证明是等边三角形，根据同角的余角相等即可求解 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E，F分别为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 由翻折得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 13. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 14. 已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 15. 如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则_______． 【答案】##64度 【解析】 【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ∵的外角的平分线与内角平分线交于点， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 一副三角板如图摆放，点F是边中点，连接．将绕点B旋转．若，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，分2种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵点是边中点， ∴， ∴， 如图， ∵， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 17. 计算： （1）分别用代入消元法和加减消元法解方程组； （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）， 其解集在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】（1）根据代入消元法和加减消元法解二元一次方程即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤即可解答．本题考查了利用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，一元一次不等式组的解，利用数轴表示一元一次不等式，熟练运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． 【小问1详解】 解：代入消元法： ， 由①得：③， 将③代入②，得：， 解得， 将代入③，得：， ∴该方程组的解是； 加减消元法： ， ，得：， 将代入①，得：， ∴该方程组的解是； 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是 18. 某校为增强学生体质，鼓励学生加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元． （1）求购买根跳绳和个毽子需要多少元？ （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元．若要求购买跳绳的数量不多于根，通过计算说明共有哪几种购买方案． 【答案】（1）购买根跳绳和个毽子需要元 （2）共有三种购买方案，方案一：购买跳绳根，则购买毽子个；方案二：购买跳绳根，则购买毽子个；方案三：购买跳绳根，则购买毽子个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程与实际问题，一元一次不等式组与实际问题，审清题意，找出数量关系和等量关系是解题的关键． （1）设购买根跳绳元，购买个毽子元，根据题意列方程解方程即可； （2）设购买跳绳根，则购买毽子个，根据题意列不等式组解不等式组即可． 【小问1详解】 解：设购买根跳绳元，购买个毽子元， 由题意可得：， 解得， ∴（元）， 答：购买根跳绳和个毽子需要元； 【小问2详解】 解：设购买跳绳根，则购买毽子个， ∵购买的总费用不能超过元，要求购买跳绳的数量不多于根， ∴， 解得， ∵为整数， ∴或， ∴共有三种购买方案， 方案一：购买跳绳根，则购买毽子个； 方案二：购买跳绳根，则购买毽子个； 方案三：购买跳绳根，则购买毽子个． 19. 如图，一个均匀的转盘被等分成份，分别标有,这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中选择一种： （1）“猜是奇数”或“猜偶数”的概率； （2）猜“是的倍数”或“不是的倍数”的概率； （3）猜“是大于等于的数”或“小于等于的数”的概率；如果轮到你猜数，那么尽可能的获胜，你将选择哪一种猜数方法？说明理由． 【答案】（1）“猜是奇数”或“猜偶数”的概率都是 （2）“是的倍数”的概率是，“不是的倍数”的概率是 （3） 解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“是大于等于的数”的有种，“小于等于的数”的有种， ∴“是大于等于的数”的概率是，“小于等于的数”的概率是， ∴选择“不是的倍数”，这样获胜的概率为，获胜的可能性最大． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答； （2）根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答； （3）根据题意可知共有种结果，再利用概率的计算公式即可解答．本题考查了概率的定义，概率的计算公式，熟练运用概率的计算公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数，其中“是奇数”的有种，“是偶数”的也有4种， ∴“是奇数”或“猜偶数”的概率都是， ∴“猜是奇数”或“猜偶数”的概率都是； 【小问2详解】 解：∵当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，共有8种等可能出现的结果数， ∴其中“是的倍数”的有种，“不是的倍数”的种， ∴“是的倍数”的概率是，“不是的倍数”的概率是； 【小问3详解】 略 20. 已知，点在直线上，过点的直线交轴于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）点分别在直线，直线上．若，判断是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的值为， （2）存在，最大值 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质可知，利用待定系数法即可解答； （2）根据一次函数的性质可知，再利用一次函数的性质可知随的增大而减小即可．本题考查了一次函数的性质，待定系数法，熟练运用一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵将代入，得：， ∴， ∴设直线解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 解：存在最大值，理由如下： ∵点在直线上，点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， ∴存在最大值． 21. 如图，在长方形中，，，．分别沿，折叠长方形，使点B，D分别落在边上的G，H处．连接，，求和的面积． 【答案】的长为，的面积为3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，垂直平分线的性质和判定，以及等面积法求线段长，利用勾股定理得到，再结合折叠性质得到，， 推出垂直平分，利用等面积法求得，进而得到，再结合勾股定理求出，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解： ，，． ， 由折叠得，，，，，， ，，， ， ， ，， ， ， ， 垂直平分， ， ，且， ， 解得， ， 的长为，的面积为3． 22. 将两个等腰直角三角板如图1放置，点是边中点． （1）试判断与的数量关系，并说明理由． （2）若将三角板如图2摆放，使得点重合，且点三点共线，连接．求证：． 【答案】（1） ，理由如下： 如图，连接， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 证明：如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，再利用全等三角形的判定及性质即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质可知，再利用全等三角形的判定及性质可知，最后利用垂直的定义解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的定义，垂直平分线的性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 一条笔直的公路上依次有三地，两地相距．甲、乙两车同时出发驶往地，甲车中途修车一段时间．设甲、乙出发后与地的距离用表示．根据函数图象回答下列问题． （1）乙车的函数图象是________；（或） （2）若甲从地出发，两地距离________； （3）点坐标 ________； （4）求甲、乙两车距离不超过时的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）（，） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可知是乙车的函数图象； （2）根据函数图象可知，即可解答； （3）根据函数图象可知点表示的意义是：此时甲乙两车到地的距离相等即可解答； （4）根据函数图象可分当甲车在之间，乙车在之间时，甲乙两车都在之间两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵甲车中途修车一段时间， ∴甲车的函数图象应出现时间变化，路程无变化的情况． ∴是甲车的函数图象． ∴是乙车的函数图象． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵当时，， ∴甲从地出发，距离地，乙从地出发， ∴． ∵两地相距， ∴． ∵一条笔直的公路上依次有三地， ∴两地距离为：． 故答案为：； 【小问3详解】 解：点表示的意义是：此时甲乙两车到B地的距离相等． ∵甲车行驶了，乙车行驶了， ∴甲车的速度为，乙车的速度为． 设过了秒甲乙两车到地的距离相等． ∴． ∴． ∴（）． ∴． 故答案为：． 【小问4详解】 解：设行驶两车距离， ①当甲车在之间，乙车在之间时， ． ，不合题意． ②甲乙两车都在之间． Ⅰ、甲车未修车前，两车距离不超过． ． 解得：． Ⅱ、第小时甲车开始修车，此时距离地，乙车此时距离地，两车相距30km． 甲乙两车正好相距的时间（）． ∴． ③乙车到达地，甲乙两车恰好相距时， ∴甲车的速度为, ∴甲车所用的时间为：． ∴甲、乙两车距离不超过时的取值范围为：． 综上：甲、乙两车距离不超过时的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了从函数图象读取信息，速度，路程，时间，不等式与实际问题，能从函数图象读取信息是解题的关键． 24. 如图，在四边形中，平分，且． （1）求证：； （2）如图2，其余条件不变，若______． （3）如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）60 （3） 解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $